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APPENDICE
Sezioni d’urto
Le collisioni giocano un ruolo estremamente importante in gas parzialmente ionizzati e le sezioni d’urto consentono una descrizione quantitativa dei processi microscopici associati alle interazioni tra particelle. Per collisione si intende un’interazione tra particelle dopo la quale si possono registrare alcuni cambiamenti [36]. Se l’energia interna e l’identità delle singole particelle rimane inalterata in seguito all’interazione allora la collisione è chiamata di tipo elastico. In una collisione elastica le particelle cambiano la loro direzione di moto, ma il momento totale e l’energia cinetica delle particelle vengono conservati. Tutti gli altri tipi di collisioni sono definite anelastiche. Nel discutere fenomeni collisionali tra due particelle, per semplicità ci si riferisce ad una particella di prova che si muove relativamente ad una di campo fissa.
Si consideri un fascio uniforme di particelle di prova incidenti su una singola particella di campo come indicato in figura. Sia n1 la densità numerica delle particelle di prova e sia g la velocità relativa tra le particelle di prova e la particella di campo. Una misura dell’intensità del fascio di particelle è data dalla flusso di densità di particelle:
Γଵ = nଵg (7.1)
esso rappresenta il numero di particelle che attraversano l’area unitaria trasversale alla direzione del fascio nell’unità di tempo.
Se L e ߬ rappresentano le dimensioni caratteristiche dello spazio e del tempo, allora l’unità di misura di Γଵ sarà ሾΓଵሿ = (Lିଷ)(Lτିଵ) = Lିଶτିଵ.
La sezione d’urto totale ܳଵଶ(݃) tra una particella di prova (indicata con 1) e una particella di campo (indicata con 2) è definita nel modo seguente:
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ܳଵଶ(݃) = ܰ. ݀݅ ܽݎݐ݈݈݅ܿ݁݁ ݀݅ ݎݒܽ ܿℎ݁ ݈݈ܿ݅݀݊ ܿ݊ ݈ܽ ܽݎݐ݈݈݅ܿ݁ܽ ݀݅ ܿܽ݉ ݈݈݊݁ᇱݑ݊݅ݐà݀݅ ݐ݁݉
Γଵ (7.2)
Le dimensioni di ܳଵଶ(݃) sono le seguenti:ఛ షభ
ሾభሿ
ଶ
.
Dall’equazione 7.2: il numero di collisioni nell’unità di tempo =Γଵܳଵଶ(݃) = (numero di particelle/ unità di tempo / unità d’area) x (Area).
Pertanto ܳଵଶ(݃) può essere interpretata come l’area geometrica effettiva di ostacolo che la particella di campo rivolge al fascio. La sezione d’urto totale è una grandezza atomica, funzione solo della specie di particelle coinvolte e della velocità relativa tra esse.
Fig. 7.1 Definizione di sezione d’urto
La presente descrizione di sezione d’urto non fa distinzione tra tipi di collisioni esistenti. Essa infatti può essere definita come somma delle sezioni d’urto relative a collisioni elastiche e relative a collisioni anelastiche.
ܳଵଶ= ܳଵଶ+ ܳଵଶ (7.3)
Ciascuna di queste sezioni d’urto può essere definita mediante una formula del tipo riportato in 7.2 ma cambiando opportunamente il numeratore. Ad esempio, se la particella di campo è rappresentata da un neutro, allora la sezione d’urto relativa all’eccitazione di primo livello della particella di campo a causa dell’impatto con una particella di prova sarebbe:
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ܳଵଶଵ→ଶ(݃) = ܰݑ݉݁ݎ ݐ݅ ܽݎݐ݈݈݅ܿ݁݁ ݀݅ ݎݒܽ ܿℎ݁ ܿܽݑݏܽ݊ ݑ݊ᇱ݁ܿܿ݅ݐܽݖ݅݊݁ ݀݅ ݎ݅݉ ݈݅ݒ݈݈݁ ݈݈݀݁ܽ ܽݎݐ݈݈݅ܿ݁ܽ ݀݅ ܿܽ݉ ݈݈݊݁ᇱݑ݊݅ݐà ݀݅ ݐ݁݉
1 (7.4)
In tal caso la sezione d’urto dipende anche dal tipo di processo atomico oltre che dalla velocità relativa. Se la particella di prova è un elettrone, allora ܳଵଶଵ→ଶ(݃) sarebbe nulla fino a quando l’energia cinetica relativa tra elettrone ed atomo non è sufficientemente alta da consentire il salto di un elettrone dalla banda di valenza al primo livello disponibile al di sopra di essa. Per valori bassi di g è chiaro che Q=Qe, quando g diviene sufficientemente elevata da consentire collisioni non elastiche allora Qne diviene dello stesso ordine di grandezza di Qe. La tabella sottostante mostra il concetto appena esposto
Tab 7.1 Probabilità relativa dei diversi processi collisionali di elettroni nell’atomo di idrogeno. .
Per ciascun processo collisionale che determina una deviazione delle particelle di prova, è appropriato ricavare un’espressione tipo quella relativa alla sezione d’urto totale. Con riferimento alla fig.7.2, la sezione d’urto differenziale per deviazioni all’interno dell’angolo solido dΩ = ݏ݅݊߯݀߯݀߶ definito dalle coordinate polari sferiche ߯ ݁ ߶, è indicata con ܫଵଶ(߯, ߶) ed è definita nel modo seguente:
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ܫଵଶ(߯, ߶)dΩ = Numero di particelle di prova deviate ݈݈݀ܽܽ ܽݎݐ݈݈݅ܿ݁ܽ ݀݅ ܿܽ݉ ݈݈݊݁ᇱ݈ܽ݊݃ ݏ݈݅݀ dΩ nellᇱunità di tempo Γ
ଵ (7.5)
ܫଵଶ(߯, ߶) è correlata alla corrispondente sezione d’urto dalla relazione: ܳଵଶ= න ܫଵଶ(߯, ߶)dΩ (7.6)
ସగ L’angolo ߯ è chiamato angolo di deviazione.
Fig. 7.2 Angoli per la sezione d’urto differenziale.
Quando una particella di prova collide elasticamente con una particella di campo fissa essa perde momento nella direzione del moto iniziale. Con riferimento alla figura 7.3, per le particelle deviate nell’angolo compreso tra ߯ e ߯ + ݀߯ la perdita di momento in direzione z è:
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Fig. 7.3Trasferimento di momento per urti elastici
Siccome il numero di particelle deviate elasticamente dal fascio nell’angolo solido ݀Ω = ݏ݅݊߯݀߯݀߶ è ΓଵIଵଶୣ(χ, ϕ)dΩ per l’unità di tempo, la perdita di momento totale in direzione z nell’unità di tempo è:
න ݉ଵ݃(1 − ܿݏ߯)ΓଵIଵଶୣ(χ, ϕ)dΩ =
ସగ ݉ଵ݃Γଵන (1 − ܿݏ߯)ସ Iଵଶ
ୣ(χ, ϕ)dΩ
݉ଵ݃Γଵ è la densità del flusso di momento nel fascio di particelle di prova, così si ha che: ܳଵଶଵ(݃) = න (1 − ܿݏ߯)Iଵଶୣ(χ, ϕ)dΩ
ସగ
è la sezione d’urto per il trasferimento di momento.
SEZIONI D’URTO PER IONIZZAZIONE ED
ECCITAZIONE RELATIVE ALLO XENON
Le sezioni d’urto relative all’eccitazione ed alla ionizzazione dello Xenon sono disponibili dalle seguenti fonti:
[1] D.Rapp e P.Englander, “Total cross section for ionization and attachment in gases by electron impact” The journal of Chemical Physics, vol 43. N°5.
[2]M.Hayashy, “Determination of Electron-Xenon total excitation cross section from threshold to 100-eV from experimental values of Townsend’s ߙ" Journal of Physics:D Applied Physics vol 16.
[3]K.Sephen e T.D.Mark, “Absolute partial electron impact ionization cross sections of Xe from threshold up to 180eV”, Journal of Chemical Physics,vol81
218
[4]J.A.Syage, “Electron impact cross section for multiple ionization of Kr e Xe”,Physical Review A vol.46
220
Tab 7.2 Sezione d’urto d ionizzazione ed eccitazione per lo Xenon
Mediante una raffinata tecnica spettroscopica di massa, Stephan e Mark sono riusciti a ricavare i valori delle sezioni d’urto per lo Xenon relativi a fenomeni di ionizzazione anche multipla. Tali valori e il loro scostamento dai risultati estrapolati da Rapp Englander sono riportati in tab.7.3.
221
Tab 7.3 Sezione d’urto di assoluta e parziale ionizzazione in funzione dell’energia elettronica per i seguenti processi:ࢄࢋ + ࢋ → ࢄࢋା+ ࢋ, ࢄࢋ + ࢋ → ࢄࢋା+ ࢋ, ࢄࢋ + ࢋ → ࢄࢋା+ ࢋ . Nell’ultima colonna sono rappresentati gli scostamenti tra le sezioni d’urto di ionizzazione totale così calcolate e i valori estrapolati da
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Altri dati relativi alle sezioni d’urto per ionizzazione multipla fino a valori di energia di 1000eV sono riportati nell’articolo: B.Rejoub, B.G.Lindsay, R.F.Stebbingd, “Cross section for electron impact ionization of the rare gas”. I risultati di tale analisi sperimentale sono riportati in tabella:
Tab 7.4 Sezioni d’urto di ionizzazione per lo Xenon.
Hayashi, arriva ai seguenti risultati sperimentali relativi alle sezioni d’urto di eccitazione, ionizzazione, e urto elastico reativi allo Xenon, La somma di tali tre contributi da una
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stima della sezione d’urto totale la quale sembra non scostarsi molto dai valori della sezione d’urto totale relativa allo Xenon misurati sperimentalmente.
Tab 7.5 Valori di qt, qe, qi, rispettivamente sez.urto per collisioni elastiche, eccitazione, ionizzazione, e loro somma rappresentante una stima della sezione d’urto totale per gli atomi di Xenon. I valori così ottenuti sono stati confrontati con i valori raccomandati della sezione d’urto totale presenti in letteratura.
SEZIONI D’URTO PER COLLISIONI DI TIPO ELASTICO
RELATIVE ALLO XENON
Le collisioni di tipo elastico riguardano solo il trasferimento di momento tra le particelle interagenti. Per collisioni tra atomo ed atomo un modello utilizzabile per la stima delle sezioni d’urto è il seguente: VHS (Variable Hard Sphere). Per lo Xenon:
ߪா(ܺ݁, ܺ݁) =2.12 × 10 ିଵ଼
݃ଶఠ ݉ଶ
In cui: g è la velocità relativa delle particelle e ߱ = 0.12 è l’esponente della temperatura nell’espressione della viscosità. Per urti di tipo elastico tra atomi e ioni, si utilizza, si solito, la seguente legge sperimentale introdotta da Dalgarno:
ߪா(ܺ݁, ܺ݁) =6.42 × 10 ିଵ
݃ ݉ଶ
Alcuni modelli, ritengono non ci sia differenza tra le sezioni d’urto per interazioni di tipo elastico tra atomi- ioni singoli, atomi-ioni doppi.
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SEZIONI D’URTO PER COLLISIONI CON SCAMBIO DI
CARICA RELATIVE ALLO XENON
Gli scambi di carica consistono nel trasferimento di uno o più elettroni tra un atomo ed uno ione. Tale tipo di interazione coinvolge sezioni d’urto relativamente grandi se confrontate alle sezioni d’urto relative alle collisioni di tipo elastico. Questa categoria di processi collisionali gioca un ruolo importante specie all’interno del plume di un HET. Infatti, in corrispondenza della sezione d’uscita, atomi e ioni hanno velocità che differiscono tra loro di circa due ordini di grandezza. Mentre gli ioni sono stati accelerati elettrostaticamente, gli atomi rimangono alla velocità termica. Per tale motivo, fenomeni di scambio di carica tra atomi e ioni portano ad un rallentamento degli ultimi e ad un’ accelerazione dei primi. Per ioni monovalenti, viene utilizzata la seguente formula teoretica di Rapp e Francis per la stima delle sezioni d’urto:
ߪா(ܺ݁, ܺ݁ା) = (−0.882 log(݃) + 15.1262)ଶ × 10ିଶ݉ଶ
In alternativa può essere utilizzata la seguente legge sperimentale introdotta da Sakabe e Izawa:
ߪா(ܺ݁, ܺ݁ା) = (−21.2 logଵ(݃) + 140)(ܫ/ܫ)ିଵ.ହ × 10ିଶ݉ଶ
Dove I è il potenziale di ionizzazione dell’atomo e ܫ il valore per l’idrogeno. Tali espressioni sono comunque congruenti tra loro. Per ioni doppi che scambiano due elettroni con un atono di Xenon, si può utilizzare la seguente legge sperimentale di Hasted e Hussein:
ߪா(ܺ݁, ܺ݁ଶା) = (−2.7038 log(݃) + 35.006)ଶ × 10ିଶ݉ଶ
Chiaramente, in tutte le formule esposte, g rappresenta la velocità relativa tra le due particelle. Le collisioni con scambio di carica, sono fenomeni che avvengono in un ampio raggio, pertanto non c’e alcun scambio di momento che accompagna il trasferimento di elettroni.
