Espressione intrinseca della velocita’ e della accelerazione

l’ equazione oraria

r = r t ( )

( )

x = x t y = y t ( ) z = z t ( )

sul moto del corpo nel sistema di riferimento prescelto

la conoscenza di queste funzioni consente di determinare la traiettoria e definisce anche l’andamento nel tempo

Espressione intrinseca della velocita’ e della accelerazione

in coordinate cartesiane

con cui avviene il moto lungo la traiettoria stessa

contiene le informazioni cinematiche

x

z

y

peraltro la terna intrinseca e’ specifica di ogni traiettoria

➢ sarebbe possibile separare l’informazione geometrica da quella temporale ? inoltre il tempo evolve

strettamente matematico, ha un ruolo equivalente ad un qualunque altro parametro reale

e sempre nello stesso verso quindi, da un punto di vista

ˆ_c

u ^ˆt ˆ_b u ˆ_c

u ˆ_b u ˆt

ˆ_c u uˆ_b

ˆt

ˆ_c u ˆt uˆ_b

con continuita’

si puo’ separare l’aspetto piu’ prettamente geometrico da quello piu’

specificatamente cinematico utilizzando l’ ascissa curvilinea

( ) x = x s

( ) y = y s

( ) z = z s

( ) s = s t

equazioni parametriche della traiettoria

equazione oraria

s

ˆ_c

u ^ˆt ˆ_b u

x

z

y

ˆ_c u

ˆ_b u ˆt

ˆ_c u uˆ_b

ˆt

ˆ_c u ˆt uˆ_b O s

s = lunghezza

“rettificata”

della curva

( )

r = r s x = x s ( ) ( ) y = y s

( ) z = z s

( ) s = s t ( )

s = s t

in termini di ascissa curvilinea la descrizione del moto di un punto materiale

equazioni parametriche della traiettoria

equazione oraria

➢ l’andamento di

s

➢ la dipendenza del vettore posizione in funzione di

s

in coordinate

cartesiane “intrinseco” alla traiettoria stessa

espresse in funzione del parametro s si puo’ fare se si conoscono

v ˆ v

dr t

dr = =

il versore e’ sempre tangente

questa e’ la relazione che occorreva: fornisce la dipendenza del vettore

alla traiettoria

ascissa curvilinea

ds

spostamento infinitesimo in funzione di un incremento infinitesimo della

ma,come evidenziato in precedenza, per il vettore

dr

dr = ds dr dr ˆ

dr = ds = t

quindi

e dei versori tangente, normale e binormale e’ detta

Espressione intrinseca della velocita’ e della accelerazione

l’ espressione della velocita’ (accelerazione) in funzione dell’ ascissa curvilinea

s

“ espressione intrinseca della velocita (accelerazione) “

v dr

= dt dr ds ds dt

=

dati due punti P e P’ infinitesimamente vicini tra loro

dr ˆ

ds = t

e dato che

v ds ˆ dt t

=

riesce

grazie alle regole di derivazione di funzioni composte

ascisse curvilinee

s(t)

s(t +dt)

a cui corrispondono le

nel testo si usa la notazione :

ds

dt = s v = st ˆ

lo spazio infinitesimo percorso lungo la curva G e’ dato da

per definizione lo spazio percorso e’ sempre maggiore di zero, o al minimo e’

uguale a zero se il corpo e’ fermo

v

ds = dt

2

1

t

v( )

t

t dt



lo spazio percorso nel tempo

t

- t

G

Espressione intrinseca della accelerazione

v ds ˆ dt t v =

a d

= dt

( ds ˆ )

d t

a dt

= dt

ˆ

d s ˆ ds dt dt t dt dt

= + ^{dt ˆ}

dt = ˆ

( ) u

ds

 dt

=

quindi

2

2 2

ˆ 1 ( ) ˆ

d s ds

a t u

dt  dt

= +

quindi se

per definizione ne consegue :

ma

dove



dt ds ˆ

ds dt

t

ˆ

a = st

s

ˆ

a u

=  a = + a

a

posto e

nel testo si usa la notazione :

2 2

d s s dt =

ˆ s

ˆ

a st u

= + 

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