Tubo a L su carrello e massima gittata

Tubo a L su carrello e massima gittata

Figure 1:

Una pallina di massa m cade da una altezza h in un tubo a L, avente un opportuno raccordo fra la sezione verticale e orizzontale, dove pu`o scivolare senza attrito. Il tubo e’ fissato ad un carrello di massa M , altezza da terra L e lunghezza 2L. La verticale del punto di caduta si trova a met´a della lunghezza del carrello.

1. Nell’ipotesi che il carrello sia bloccato sul binario, determinare la dis- tanza fra il punto nel quale la pallina tocca terra e la verticale di caduta;

2. Nell’ipotesi che il carrello sia libero di muoversi lungo il binario deter- minare la velocit`a del carrello quando la pallina tocca terra e

3. la distanza fra il punto nel quale la pallina tocca terra e la verticale di caduta.

1. Carrello fisso

La velocit`a di fuoriuscita dal tubo si ottiene dalla legge di conservazione dell’energia:

1

2mv₀²= mg(h − L) → v₀ = q

2g(h − L) (1)

1

Il moto successivo `e parabolico con gittata G = v0

q_2L

g , per una distanza totale percorsa lungo l’asse orizzontale pari a:

d = L + 2 q

L(h − L) (2)

2. Carrello mobile

In questo caso, per trovare la velocit`a di fuoriuscita dal tubo, oltre alla conservazione dell’energia `e necessario utilizzare anche la conservazione della quantit`a di moto lungo l’asse x (orizzontale). Si ha:

( ₁

2mv₀²+¹₂M V₀²= mg(h − L)

M V0+ mv0= 0 (3)

Dalla seconda equazione si pu`o ricavare V0 = −<sub>M</sub><sup>m</sup>v0 che, sostituito nella prima, permette di trovare la velocit`a di fuoriuscita della pallina e la velocit`a del carrello:







v₀ =^q_m+M^2M g(h − L)

V0 = −_M^mq_m+M^2M g(h − L) (4) La velocit`a del carrello da questo punto in poi rimane invariata, per cui il V0 ricavato `e la risposta alla seconda domanda.

La gittata si trova con la stessa formula di prima:

G = 2 s M

m + ML(h − L) (5)

Per trovare la distanza percorsa `e necessario determinare il punto nel quale la pallina abbandona il carrello. Prendendo un asse x con origine sulla verticale del punto di caduta, le coordinate della pallina e dello spigolo di uscita (destro nel disegno) del carrello, sono date da:

( x(t) = v₀t

X(t) = −_M^mv₀t + L (6)

La condizione di fuoriuscita e’ data da x(t) = X(t) ≡ x0. Sostituendo ed eliminando t si trova la coordinata del punto di fuoriuscita x₀, da cui la distanza totale percorsa:

d = M

m + ML + 2 s M

m + ML(h − L) (7)

2