Tubo a L su carrello e massima gittata
Figure 1:
Una pallina di massa m cade da una altezza h in un tubo a L, avente un opportuno raccordo fra la sezione verticale e orizzontale, dove pu`o scivolare senza attrito. Il tubo e’ fissato ad un carrello di massa M , altezza da terra L e lunghezza 2L. La verticale del punto di caduta si trova a met´a della lunghezza del carrello.
1. Nell’ipotesi che il carrello sia bloccato sul binario, determinare la dis- tanza fra il punto nel quale la pallina tocca terra e la verticale di caduta;
2. Nell’ipotesi che il carrello sia libero di muoversi lungo il binario deter- minare la velocit`a del carrello quando la pallina tocca terra e
3. la distanza fra il punto nel quale la pallina tocca terra e la verticale di caduta.
1. Carrello fisso
La velocit`a di fuoriuscita dal tubo si ottiene dalla legge di conservazione dell’energia:
1
2mv02= mg(h − L) → v0 = q
2g(h − L) (1)
1
Il moto successivo `e parabolico con gittata G = v0
q2L
g , per una distanza totale percorsa lungo l’asse orizzontale pari a:
d = L + 2 q
L(h − L) (2)
2. Carrello mobile
In questo caso, per trovare la velocit`a di fuoriuscita dal tubo, oltre alla conservazione dell’energia `e necessario utilizzare anche la conservazione della quantit`a di moto lungo l’asse x (orizzontale). Si ha:
( 1
2mv02+12M V02= mg(h − L)
M V0+ mv0= 0 (3)
Dalla seconda equazione si pu`o ricavare V0 = −Mmv0 che, sostituito nella prima, permette di trovare la velocit`a di fuoriuscita della pallina e la velocit`a del carrello:
v0 =qm+M2M g(h − L)
V0 = −Mmqm+M2M g(h − L) (4) La velocit`a del carrello da questo punto in poi rimane invariata, per cui il V0 ricavato `e la risposta alla seconda domanda.
La gittata si trova con la stessa formula di prima:
G = 2 s M
m + ML(h − L) (5)
Per trovare la distanza percorsa `e necessario determinare il punto nel quale la pallina abbandona il carrello. Prendendo un asse x con origine sulla verticale del punto di caduta, le coordinate della pallina e dello spigolo di uscita (destro nel disegno) del carrello, sono date da:
( x(t) = v0t
X(t) = −Mmv0t + L (6)
La condizione di fuoriuscita e’ data da x(t) = X(t) ≡ x0. Sostituendo ed eliminando t si trova la coordinata del punto di fuoriuscita x0, da cui la distanza totale percorsa:
d = M
m + ML + 2 s M
m + ML(h − L) (7)
2
