1) Determinare l’insieme di definizione della funzione

PROVA FINALE

(corso di Matematica B - Ambiente & Territorio) A.A. 2002/2003 – 23 aprile 2003 (1/2)

tempo a disposizione: 2 ore

1) Determinare l’insieme di definizione della funzione

f (x, y) :=

log

Ã

2 − 2x

− y

2

!

1 − x

− y

arcsin(x − y).

2) Studiare la continuit`a e la differenziabilit`a della funzione

f (x, y) :=

 



 

(x

+ y) sin 1

x

+ y

, se (x, y) 6= (0, 0)

0 , se (x, y) = (0, 0).

3) Calcolare _ZZ

D

sin y

dxdy ove D :=

½

(x, y) : 1

2 x ≤ y ≤ x , y ≤ √ π

¾

.

4) Risolvere l’equazione differenziale

y

− 2y

− 7y

− 4y = xe

+ e

.

5) Studiare la fdl

à y

1 + x

y

+ 2xy cos x

y

!

dx +

à x

1 + x

y

+ x

cos x

y

!

dy

e determinarne, se esatta, le primitive. Calcolarne, poi, l’integrale curvilineo lungo la curva

Γ :=

 



 

x = 1 + cos t

, t ∈ [0, π].

y = sin t

6) Definire la normale esterna ad un dominio piano regolare ed enunciare e dimostrare il teorema della divergenza.

COGNOME (in stampatello):

NOME (in stampatello):