Limiti di una funzione

26

Limiti di una funzione

Definizioni

I) _x^lim_→+∞ ^f

( )

^x

Cominciamo a studiare il “comportamento” di una funzione quando la diventa sempre più grande: scriveremo e leggeremo “limite per che tende a di ”. Si possono avere vari casi.

a) =+∞

+∞

→ ( ) lim f x

x quando ∀M >0 ∃ x_M :∀ x> x_M f(x)>M Nota: in figura è rappresentato il grafico di y= x²

b) quando ∀M >0 ∃ x_M :∀ x>x_M f(x)<−M

Nota: in figura è rappresentato il grafico di y=−x²

27 c)

^f ( ) ^{x l}

x

=

+∞

lim

→

Si ha che f x l

x =

+∞

→ ( )

lim quando ∀ε >0 ∃x_ε :∀x>x_ε l−ε < f(x)<l+ε

La retta è asintoto orizzontale per

Nota: non dobbiamo pensare che l’asintoto non possa essere intersecato dal grafico.

Possiamo anche avere grafici come il seguente: la cosa essenziale è che le oscillazioni si

“smorzino” cioè che la distanza fra il grafico e la retta tenda a .

d)

Consideriamo . Qual è il suo limite quando ?

In questo caso che in quanto la funzione oscilla e non ha un “comportamento definitivo”.

Nota:

anche y=cosx e y=tgx e in generale le funzioni periodiche non hanno limite quando .

28

II)

a) quando

Osserviamo che questa volta consideriamo perché .

b) Analogamente quando

c) Analogamente f x l

x =

−∞

→ ( )

lim quando ∀ε >0 ∃x_ε :∀x< x_ε l−ε < f(x)<l+ε

è asintoto orizzontale quando

d) quando la per non cresce sempre di più o non decresce sempre di più e neppure si avvicina ad un valore : per esempio anche non esiste.

29

III)

Studiamo adesso dove ma è un punto a cui posso “avvicinarmi” quanto voglio da destra e/o da sinistra.

Se ci avviciniamo a x₀ “da destra” scriveremo ^f

( )

^x

xo

xlim→ ⁺ , se ci avviciniamo a x₀ “da sinistra”

scriveremo ^f

( )

^x

xo

xlim→ ⁻ . a) Il limite è infinito

( )

^=∞

→ f x

x

xlim₀

Abbiamo +∞

+ =

→ ( )

lim f x

xo

x

quando ∀M >0 ∃ Ix⁺_o :∀x∈Ix⁺_o f(x)>M e

−∞

+ =

→ ( )

lim f x

xo

x

quando ∀M >0 ∃ Ix⁺_o :∀x∈Ix⁺_o f(x)<−M

Invece

+∞

− =

→ ( )

lim f x

xo

x

quando ∀M >0 ∃ Ix⁻_o :∀x∈Ix⁻_o f(x)>M e

−∞

− =

→ ( )

lim f x

xo

x

quando ∀M >0 ∃ Ix⁻_o :∀x∈Ix⁻_o f(x)<−M

La retta x=x_o è asintoto verticale per la funzione : il “comportamento” può essere diverso da destra e a sinistra oppure lo stesso (in figura è rappresentato il grafico di ^f

( )

^{x =}

(

^x−11

)

^{2 che è un}

esempio in cui ^f

( )

^x

xo

xlim→ ⁺ = ^f

( )

^x

xo

xlim→ ⁻ =+∞^con x₀ =¹.

30

b) Il limite è un numero finito l

x f

xo

x =

→ ( )

lim quando ∀ε > ∃I_x ∀x∈I_x

{ }

x l−ε < f

( )

x <l+ε

o : \ 0

0 0

c) Il limite non esiste

Consideriamo 



 



=  sen x

y 1

Il suo dominio è . Proviamo a calcolare

Quando abbiamo che ma sappiamo che non esiste.

Analogamente se avremo che e non esiste.

Quindi possiamo concludere che 



 





→ sen x

x

lim 1

0 non esiste.

31

IV)

a) Abbiamo lim ( ) ( _o)

x

x f x f x

o

→ = quando ∀ε >0 ∃I_x :∀x∈I_x0 f

( )

x₀ −ε < f

( ) ( )

x < f x₀ +ε

o

In questo caso la funzione si dirà continua in .

b) Vediamo un altro caso considerando il seguente esempio

Si tratta di una funzione definita “a tratti” cioè la funzione ha una definizione per e un’altra definizione per . Il suo grafico risulta “spezzato”:

In questo caso abbiamo un limite destro diverso dal limite sinistro poiché:

e

In generale se e ( ) diciamo che in la funzione ha

una discontinuità di 1° specie o “salto”.

32 c) Consideriamo questa funzione

Quanto vale ?

Se scomponiamo abbiamo che per x≠1

possiamo scrivere

( ) ( )

₁

1 1 1

1

2 1

+

− =

−

⋅

= +

−

− x

x x x

x

x e

quindi il grafico risulta quello in figura:

Quando ci avviciniamo a i valori della funzione si avvicinano a 2 e il fatto che non ha importanza perché conta il comportamento della funzione quando e quindi

In questo caso quindi

e diciamo che in la funzione ha una discontinuità di 3° specie o “eliminabile” poiché potremo “ridefinire” in associandole il valore 2 cioè il valore del limite per .

d) Possiamo avere una funzione per cui non esiste con ?

Se consideriamo

abbiamo che è nel dominio (per definizione ) ma, poiché il valore del limite non dipende dal valore della funzione in , abbiamo che non esiste perché, come avevamo già visto, non esiste .

Nota: anche in questo caso si dice che x=0 è un punto di discontinuità di seconda specie.

33

ESEMPI ED ESERCIZI GUIDATI

I) Per verificare la comprensione del concetto di limite proviamo a “leggere” i limiti di un grafico assegnato. Consideriamo per esempio il seguente grafico:

a)

Vediamo che e abbiamo:

è asintoto orizzontale quando

è asintoto verticale

b) Abbiamo

( asintoto verticale)

( asintoto orizzontale)

34

c)

d)

...

) (

lim =

+∞

→ f x

x

e)

……….

………

……….

……….

35

II) Proviamo adesso a disegnare un grafico che abbia dei limiti assegnati.

a)

Un possibile grafico potrebbe essere:

b)

( )

^=+∞

+∞

→ f x

xlim

Possiamo disegnare un grafico così:

Naturalmente questo è solo un esempio poiché ci possono essere grafici diversi ma che hanno comunque gli stessi limiti.

36

c)

Come potrebbe essere il grafico di una funzione che ha questi limiti?

d)

Come potrebbe essere il grafico di una funzione con questi limiti?

37

III) Tracciamo dei grafici conosciuti e indichiamone i limiti:

a)

asintoto verticale

b)

asintoto orizzontale per

c)

asintoto orizzontale per

asintoto verticale

asintoto orizzontale per

d)

38

ESERCIZI

LIMITI

1) Scrivi quali sono i limiti significativi della funzione con il seguente grafico:

a)

b)

c)

39

2) Disegna il grafico di una funzione che abbia i seguenti limiti:

a) ^lim_→−∞ ^f

( )

^{x =0; lim}_→+∞ ^f(x)=+∞

x x

b) _x^lim_→−∞ ^f

( )

^{x =−∞;} _x^lim_→+∞ ^f(x)=2

c) ^lim_→−∞ ^f

( )

^{x =+∞; lim}_→+∞ ^f(x)=0

x x

d) _x^lim_→−∞ ^f

( )

^{x =+∞;} _x^lim_→+∞ ^f(x)=−∞

e) _x^lim_→−∞ ^f

( )

^{x =−∞; lim}_x→0 ^{f(x)=+∞ ;}_x^lim_→+∞ ^f(x)=1

f)

( )

^{= =+∞ =−∞} _→+∞ ^=−∞

→

−∞ →

→ 1; lim⁻ ( ) ;lim⁺ ( ) ;lim ( ) lim

0 0

x f x

f x

f x

f

x x x x

g) ^lim

( )

^{; lim ( ) ;lim ( ) ;lim ( ) 0}

1

1 =+∞ =−∞ =

+∞

= → → →+∞

−∞

→ f x ⁻ f x ⁺ f x f x

x x x x

h)

( )

^{=−∞ =+∞ =} _→+∞ ^=+∞

→

−∞ →

→ ; lim⁻ ( ) ;lim⁺ ( ) 0 ;lim ( ) lim

2 2

x f x

f x

f x

f

x x x x

i) ^lim

( )

^{; lim}₃ ^{( ) ;lim ( ) 1}

0 =−∞ =+∞ =

+∞

→

→ ⁺ f x → f x f x

x x x

l) ^lim

( )

^{; lim ( ) ;lim ( ) 1}

0 =+∞ =

−∞

= → →+∞

−∞

→ f x f x f x

x x x

m) ^lim

( )

^{; lim ( ) ;lim ( ) 0}

1 =+∞ 3 =+∞ =

+∞

→

→⁺ f x → f x f x

x x x

n)

( )

^=−∞ _→ ^=−∞ _→+∞ ^=+∞

→ ⁺ ; lim ( ) ;lim ( )

lim2 f x 4 f x f x

x x x

40

3)Disegna i grafici delle seguenti funzioni e scrivine i limiti significativi:

a) 3

1

= +

y x b) y=ln(x+2)

c) y= x² −1 d) y =−2^x

e) y 1x

= f) y = 4−x²

g) = −2 x

y x h) y = senx

i) y=−ln(x+1) l) y =x² −2x

m) y=e^x−1 n) y =2^x +3

o) x

y=1−x

p) y = ln(x−3

q) y =−x² +1 r) y =3^x−2

s) y= x−2 t) y = tgx

41

SCHEDA DI VERIFICA

LIMITI

1. Disegna il grafico delle seguenti funzioni ed indica dominio, caratteristiche e limiti significativi:

a. y=−^ln

(

x+⁴

)

b. 3

1 +

= − x y x

c. y= x² −9

2. Disegna il grafico di una funzione che abbia i seguenti limiti:

a) lim ( )=−1

−∞

→ f x

x

( )

^=+∞

→ f x

x 0

lim _→ ^f

( )

^{x =+∞}

x 2

lim ₋

( )

^=−∞

→ f x

x 5

lim

( )

^=+∞

→ + f x

xlim5 _x^lim_→+∞ ^f

( )

^{x =+∞}

b)

c)

3. Disegna il grafico di

escrivi i limiti significativi.

4. Disegna il grafico di e scrivi i limiti significativi.

42

Calcolo dei limiti Limite della somma di due funzioni

Supponiamo di dover calcolare

e di conoscere e .

Possiamo dire che il limite della somma delle due funzioni sarà la somma dei limiti?

Occorre considerare vari casi e consideriamo per esempio

a) Se e si può dimostrare facilmente che

b) Se e (oppure )

si dimostra facilmente che

(oppure

(lo stesso se e .

c) Se e è chiaro (la dimostrazione è semplice) che

e che, analogamente, se e anche

d) Ma se e (o viceversa)?

43 Vediamo qualche esempio:

•

Poiché ho

•

Poiché ho

•

Poiché ho

•

Poiché ho

Quindi è chiaro che in questo caso non c’è una regola generale: si dice che si ha una “forma

indeterminata” nel senso che quando e

non può essere determinato a priori e il limite dovrà essere calcolato caso per caso con particolari accorgimenti. Riassumiamo quindi i vari casi in questa tabella:

forma indeterminata

44

Limite del prodotto di due funzioni

In questo caso abbiamo la seguente situazione:

(regola dei segni del prodotto) forma indeterminata

Quando scriviamo “regola dei segni del prodotto” significa che

se e allora

se e allora

e così via.

Ma perché risulta una forma indeterminata?

Vediamo qualche esempio:

•

ma poiché ho

•

ma poiché ho

•

ma poiché ho

Quindi è chiaro che non c’è una regola generale per questo limite: dovremo calcolarlo caso per caso con opportuni passaggi.

45

Limite della funzione reciproca

Abbiamo i seguenti casi (la dimostrazione è semplice):

(cioè

(cioè

Limite del quoziente di due funzioni

Osservando che otteniamo:

(regola dei segni)

(regola dei segni) forma

indeterminata forma indeterminata Abbiamo due forme indeterminate perché

(forma indeterminata del prodotto) (forma indeterminata del prodotto)

In conclusione, nel calcolo dei limiti, si presentano 4 forme “indeterminate”:

• (per la somma)

• (per il prodotto)

• (per il quoziente)

46

Esempi

Daremo per scontata la continuità e la conoscenza dei limiti significativi delle funzioni elementari.

Per esempio:

₋

= +∞

₊

= −∞

→

→

tgx tgx

x

x 2 2

lim ,

lim

π π

47

Esempi di calcolo di limiti

a) Limiti di somme di funzioni

•

•

•

•

•

•

•

ma non esiste

Osserviamo però che e poiché

•

Si tratta della forma indeterminata : nel caso di funzioni polinomiali possiamo mettere in evidenza e uscire dalla forma di indecisione:

•

•

48

0 0

n° pos.

•

Si tratta di una forma indeterminata: possiamo fare una specie di “razionalizzazione”:

•

Si tratta ancora di una forma indeterminata, ma non conviene fare come prima perché non si semplificherebbe e avremmo un’altra forma indeterminata (

Possiamo mettere in evidenza e portare fuori dalla radice: ricordiamo che , ma se il limite è allora è positivo e .

• (

Anche in questo caso non conviene “razionalizzare” ma occorre mettere in evidenza:

0 0

49

b) Limiti di prodotti di funzioni

•

•

•

•

•

•

•

c) Limiti di quozienti di funzioni

•

•

•

•

•

50

•

•

: s

i tratta di una forma indeterminata : possiamo raccogliere

•

:

anche in questo caso è una forma e raccogliendo:

•

Osserviamo che con e polinomi risulterà:

se grado grado

se grado grado

se grado grado

•

Risulta una forma indeterminata , ma non conviene mettere in evidenza come prima perché e non e quindi non otterremmo termini che tendono a zero: in questo caso scomponendo e semplificando abbiamo

51

ESERCIZI

CALCOLO DI LIMITI

Calcola i seguenti limiti:

1.

2. [

3.

4.

5. [3]

6. [3]

7. [

8.

9.

10.

11.

12. [1/3]

13.

14. [0]

15. [1/3]

52

16. 2 5

1 lim 2₂

3

−

− + +

+∞

→ x x

x x

x [ +∞ ^]

17. 2 1

lim ₃ 2

3

+ +

−

−∞

→ x x

x

x [

2 1 ]

18. 2 1

3 lim 5 ₃

2

+

−

+∞

→ x

x

x [ 0 ]

19. lim ² +2− ² +5

+∞

→

+ x x

x [0 ]

20. lim 3 ² −1− ² +1

+∞

→ x x

x [ +∞ ]

21. lim ² −2− ² +4

−∞

→ x x

x [ 0 ]

22. lim ² −3− 2 ² +1

−∞

→ x x

x [ −∞ ]

23. lim ² +1− 3 ² +5

−∞

→ x x

x [ −∞ ]

24. 3 1

lim 5

2 2

− +

+∞

→ x

x

x [

3 1 ]

25. lim 2 ² −1− 2 ² + −3

−∞

→ x x x

x [

4 2 ]

26. x

x

x −

−

+∞

→ 3

lim 9

2

[ 6 ]

27. lim ² +4− 3 ² +1

+∞

→ x x

x [ −∞]

28. 5

5 lim 4

2

5 −

−

−

→ x

x x

x [ 6 ]

29. 1

lim 1

3

1 −

−

→ x x

x [ 3 ]

30. 4 2

lim 1

4 4

+ +

+

+∞

→ x x

x

x [

4 1 ]

53

Limite di una funzione composta

Supponiamo di dover determinare ^g

(

^f

( )

^x

)

xo

x→

lim oppure ^lim_x→∞^g

(

^f

( )

^x

)

: si può dimostrare che se ( può essere anche oppure si può trattare di un limite per x→∞) allora

Esempi

•

•

Nota:

per calcolare il limite di si scrive

e si calcola come limite di una funzione composta.

Esempio: _x^lim_→+∞

(

^x+1

)

^{x =}_x^lim_→+∞^{ex⋅ln( )x+1 =}_y^lim_→+∞^{ey =+∞}

Un limite importante

Se proviamo a calcolare



 



+

⋅

∞

→

∞

→  =



 



 + ^{x x}

x x

x e

x

1 1 ln

1 lim 1

lim ci accorgiamo che non riusciamo a calcolarlo

perché all’esponente compare la forma indeterminata ∞⋅0: se, utilizzando la calcolatrice, proviamo a calcolare sostituendo a x numeri molto grandi in valore assoluto (sia positivi che negativi) , notiamo che ci stabilizziamo su un numero che risulta circa 2,71…..

Questo valore limite è stato indicato con la lettera e cioè abbiamo la seguente definizione del numero e

Nota: con la scrittura si intende che il limite vale sia per che per

NOTA: e viene chiamato numero di Eulero o numero di Nepero e lo avevamo già trovato quando abbiamo studiato i logaritmi.

54

ESERCIZI

LIMITE DI FUNZIONE COMPOSTA

1.

2.

3.

4. [0]

5.

6.

7.

8.

9. ²

1 ²

lim

⁺

−

∞ +

x x

x

e

[ 0 ]

10. 









− +

+∞

→ 3 1

lim 3

3 4

x arctg x

x [

2 π ]

55

11. ^{2 5}

1

2 3

lim

⁻

+ +∞

→ x x

x

e

_{[ +∞ ]}

12.







 



− + +

+∞

→

7

ln 1

lim

₃

2

x x x

x [ −∞ ]

13.







 



− +

−

+∞

→

2

lim

₃

1

3

x x arctg x

x [

4 π ]

14. _x

^lim

_→+∞

( ^{2 x − 1} )

^{x [ +∞]}

15. ⁴

4 1

lim

^x

x

x

e

+ +∞

→ [ e ]

16. lim ² +1− 5 ² −1

+∞

→ x x

x [ −∞ ]

17. ¹

1

1

2

2 lim

⁺

−

−

→ x x

x [

4 1 ]

18. _x^lim_→+∞

(

^x+1

)

^{2xx+3 [ +∞ ]}

19.





 



 +

−

+∞

→

3

ln 1

lim x

x

x [ 0 ]

20.

x

x x x

x 









+

− +

+∞

→ 1

5 lim 2₃

3

[ +∞ ^]

56

Limiti e asintoti di una funzione

Abbiamo già visto che

• se e/o è asintoto verticale

• se è asintoto orizzontale per

è asintoto orizzontale per

Ma come possiamo determinare, con il calcolo dei limiti, un asintoto obliquo del grafico di f(x)?

Ricordiamo che il grafico di una funzione può avere anche due asintoti obliqui diversi (vedi figura).

Consideriamo per esempio .

Quali sono le condizioni che si devono verificare perché il grafico di abbia come asintoto

obliquo la retta per ?

1)

2)

Infatti se per allora

3) (con anche 0)

57

Esempio

Verifichiamo ha asintoto obliquo per (si tratta infatti di un

“pezzo” di iperbole equilatera).

Vediamo se

haasintoti obliqui. Cominciamo a studiare i limiti per .

Quindi è asintoto obliquo per .

Per si ottiene lo stesso asintoto (verificalo).

Nota:

osserviamo che una funzione razionale fratta f(x) in cui il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore avrà sempre un asintoto obliquo (lo stesso per ) (che si può ottenere anche facendo la divisione tra il polinomio “numeratore” e il polinomio “denominatore”).

58

Esercizio svolto

Ora che abbiamo esaminato il metodo di ricerca di eventuali asintoti obliqui, possiamo, data una funzione, determinare tutti i suoi eventuali asintoti.

Consideriamo

Per prima cosa determiniamo il dominio di :

Per determinare eventuali asintoti cominceremo proprio studiando i limiti quando o .

È importante in questo caso distinguere limite destro e limite sinistro:

Quindi è asintoto verticale.

Nota: per stabilire il segno dello zero al denominatore basta ricordare che quando

Quindi se avrò

se avrò ecc...

Analogamente:

Quindi è asintoto verticale.

59

Poiché il dominio della funzione me lo permette, passo al calcolo dei limiti quando e .

In questo caso mi rendo subito conto che si tratta di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore e quindi ci sarà un asintoto obliquo (lo

stesso sia per che per ).

Lo determino studiando i limiti per

Quindi è asintoto obliquo per .

Infatti alla stessa conclusione si arriva facendo la divisione fra numeratore e denominatore della funzione:

e quindi poiché per si ha che

In conclusione la funzione ha

e come asintoti verticali come asintoto obliquo per

60

ESERCIZI

ASINTOTI Determina gli asintoti delle seguenti funzioni:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

61

SCHEDA DI VERIFICA

CALCOLO DEI LIMITI

1) Calcola i seguenti limiti:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

[ ]

^−∞

g.







 

 +

+∞

→ 2

3

1

ln 2

lim x

x

x

[ ]

^+∞

h.







 

 −

−∞

→

x

arct x

x

2

lim 2

2

_^− _^

2 π

2) Determina dominio e asintoti delle seguenti funzioni:

a.

( )

³ ₂²

1 2

x x x x

f −

+

= +

b.

( )

^



 





= − ln 1

x x x

f

62

Complemento

Successioni e serie numeriche

Successioni

Una successione numerica è una funzione cioè una legge che associa ad ogni numero naturale un numero reale ^f

( )

ⁿ che in genere viene indicato con la scrittura o

bn ecc. (elemento n-esimo della successione o termine n-esimo).

Esempio 1:

cioè

I termini di questa successione (definita per ) sono:

,

Esempio 2:

cioè .

In questo caso si ha:

,

Esempio 3:

cioè .

Stavolta abbiamo:

, Possiamo studiare _n

n a

+∞

lim→ e si possono presentare tre casi:

• a_n l

n =

+∞

lim→ in questo caso si dice che la successione converge a l . Per esempio 1 0

lim =

+∞

→ n

n

• =+∞ =−∞

+∞

→ +∞

→ n

n n

nlima oppure lim a : allora la successione si dice divergente.

Per esempio

• Se in tal caso la successione si dice indeterminata.

Se per esempio consideriamo an =

( )

−1ⁿ i termini della successione saranno:

....

1

; 1

; 1

;

1 − −

e quindi in questo caso non esiste _n

n a

+∞

lim→ .

63

Serie numeriche

Data una successione numerica a_n posso considerare



^+∞

=

+ + + +

=

0

1

0

... ...

n

n

n

a a a

a

Consideriamo la successione s_n delle somme “parziali”:

n

n a a a a

s

a a a a s

a a a s

a a s

a s

+ + + +

=

+ + +

=

+ +

= +

=

=

...

...

2 1 0

3 2 1 0 3

2 1 0 2

1 0 1

0 0

Se consideriamo _n

n

s

+∞

lim

→ si possono presentare tre casi:

• s_n S

n =

+∞

lim→ : si dice che la serie converge e S è chiamata “somma” della serie;

• =∞

+∞

→ n

nlim s (+∞ ^o −∞ ) : si dice che la serie diverge ;

• non esiste _n

n s

+∞

lim→ : si dice che la serie è indeterminata.

Esempio

Una serie particolarmente importante è la cosiddetta serie geometrica (somma dei termini di una successione geometrica):



^+∞

=

+ + + + +

=

0

2 ... ....

1

k

n

k a a a

a E’ chiaro che se a=1 la serie diverge.

Consideriamo a≠1.

Osserviamo che la successione delle somme parziali può anche essere scritta così:

a a a

a a s

n n

n −

= − + + + +

= ⁺

1 ... 1

1

1 2

Calcolando _n

n s

+∞

lim→ avremo:

• se a>1 la serie diverge a +∞

• se a≤−1 la serie è indeterminata

• se −1<a<1 la serie converge a S a

= − 1

1 poiché

a a

a a a

a ⁿ

n n

n = −

− −

= −

−

− ⁺

+∞

→ + +∞

→ 1

1 1

1 lim 1 1

lim1

1 1

poiché in questo caso 0

lim1

1 =

−

+ +∞

→ a

aⁿ

n