Soluzioni della prova parziale n.2 del 19 . 12 . 05 Fila 1
1.
• Per induzione si prova che è x n > 0 ∀n. In particolare questo dimostra che la successione è ben definita.
• an +1≥ an ⇔ 9+4an ≥ an ⇔ an2 -4an -9 ≤ 0 ⇔ 0<an≤ 2+ 13
• Per induzione si prova che è an< 2+ 13 ∀n .
• In conclusione , la successione è crescente e limitata e dunque ammette limite reale L .
• Per calcolare il valore di L , passando al limite nella relazione ricorsiva , si trova che deve essere L = 9+4L e dunque L = 2+ 13.
2.
x x x ) x x 1 (
log + + 3 ≈ + 3 ≈
2 log - x 2 log x x 2 sen log x x 2 sen log - x
log = ≈ =
2 log - 1 x 2 log - x ) x (
f ≈ →
3.
Dobbiamo provare che ∀ε> ∃ > ∀ ∈ > ⇒ ε < < 1+ε x
x - x - 1 M x , A x : 0 M
0 2 .
Poiché A =(- ∞ ,0) ∪ [1 ,+∞), possiamo supporre che sia x > 1 ; possiamo inoltre limitarci a far variare ε in modo che sia 0 < ε < 1.
Riscriviamo le disequazioni nella forma (1 -ε) x < x2- x < (1+ε) x.
La disequazione x2- x < (1+ε) xè sempre verificata , perché x2- x < x < (1+ε) x.
L’altra disequazione , elevando al quadrato e semplificando , equivale a (2ε -ε2) x2- x >0 ed è verificata per x > 1 / ( 2 ε- ε2) ( oltre che per x < 0 , ma queste soluzioni non ci interessano ) .
Poiché 1 / ( 2 ε- ε2) > 1 , nella definizione di limite sceglieremo M = 1 / ( 2 ε- ε2) . 4.
Scritto w nella forma r exp ( i θ ) , deve essere r 7 exp ( i ( 5 θ + π/2 ) ) = √ 2 exp ( - i π/4 ) e dunque
7 2 r 14 2
r = ⇒ = , 5 θ = - 3π / 4 + 2 k π ⇒ θ = - 3π / 20 + 2 k π / 5 ( k = 0 , … , 4 ) .
Soluzioni della prova parziale n.2 del 19 . 12 . 05 Fila 2
1.
• Per induzione si prova che è x n > 0 n∀ . In particolare questo dimostra che la successione è ben definita.
• an +1≥ an ⇔ 3+2an ≥ an ⇔ an2 -3an -2 ≤ 0 ⇔ 0<an≤ (3+ 17) / 2
• Per induzione si prova che è an< (3+ 17 )/ 2 ∀n .
• In conclusione , la successione è crescente e limitata e dunque ammette limite reale L .
• Per calcolare il valore di L , passando al limite nella relazione ricorsiva , si trova che deve essere L = 3L+ e dunque L = 2 (3+ 17 )/ 2.
2.
x 1 - ) x ( xp e 1 - ) x x ( xp
e + 2 ≈ ≈
4 log x x log4 x
x 4 logtg x log - x 4 tg
log = ≈ =
4 log - 1 x 4 log - x ) x (
f ≈ →
3.
Dobbiamo provare che < +ε
< + ε
⇒
>
∈
∀
>
∃
>
ε
∀ 2
x x
x 2 - 2 M x , A x : 0 M
0 2 .
Poiché A =(- ∞ ,-1) ∪ (0 ,+∞), possiamo supporre che sia x > 0 ; possiamo inoltre limitarci a far variare ε in modo che sia 0 < ε < 2 .
Riscriviamo le disequazioni nella forma (2 -ε ) x2+ x < 2 x < (2+ε ) x2+ x .
La disequazione (2+ε ) x2+ x >2 xè sempre verificata , perché x2+ x > x .L’altra disequazione, elevando al quadrato e semplificando, equivale a (4ε -ε2) x2- (4 -4ε+ε2) x >0 ed è verificata per x > ( 4 - 4 ε + ε2) / ( 4 ε - ε2) ( oltre che per x < 0 , ma queste soluzioni non ci interessano ) . Poiché ( 4 - 4 ε + ε2 ) / ( 4 ε - ε2) > 0 , sceglieremo M = ( 4 - 4 ε + ε2 ) / ( 4 ε - ε2) nella definizione di limite.
4.
Scritto w nella forma r exp ( i θ ) , deve essere r 11 exp ( i ( - 7 θ + π / 2 ) ) = √ 2 exp ( i π / 4 ) e dunque
22 11 2 r 2
r = ⇒ = , -7 θ + π /2 = π / 4 + 2 k π ⇒ θ = π / 28 + 2 k π /7 ( k = 0 , … , 6 ) .
Soluzioni della prova parziale n.2 del 19 . 12 . 05 Fila 3
1.
• Per induzione si prova che è x n > 0 ∀n. In particolare questo dimostra che la successione è ben definita.
• an +1≤ an ⇔ 5+3an ≤ an ⇔ an2 -3an -5 ≥ 0 ⇔ an≥ (3+ 29 ) /2
• Per induzione si prova che è an > (3+ 29 ) /2 ∀n .
• In conclusione , la successione è decrescente e limitata e dunque ammette limite reale L .
• Per calcolare il valore di L , passando al limite nella relazione ricorsiva , si trova che deve essere L = 5+3L e dunque L = (3+ 29 ) /2.
2.
x x x sen x x
sen 2+ 4 ≈ 2 ≈ =
2 log 2 / x log x x cos - 1 log x ) x cos - 1 ( log - x log
2 2
2
2 ≈ →
=
2 log 1 x 2 log x ) x (
f ≈ →
3.
Dobbiamo provare che ∀ε> ∃ > ∀ ∈ > ⇒ ε < < 2+ε x
x - x 4 - 2 M x , A x : 0 M
0 2 .
Poiché A = (-∞ ,0) ∪ [4 ,+∞), possiamo supporre che sia x > 4 ; possiamo inoltre limitarci a far variare ε in modo che sia 0 < ε < 2.
Riscriviamo le disequazioni nella forma (2 -ε) x < 4 x2- x < (2+ε) x.
La disequazione 4 x2- x < (2+ε) xè sempre verificata , perché 4 x2- x < 2 x < (2+ε) x.
L’altra disequazione , elevando al quadrato e semplificando , equivale a (4ε -ε2) x2- x >0 ed è verificata per x > 1 / ( 4 ε- ε2) ( oltre che per x < 0 , ma queste soluzioni non ci interessano ) .
Poiché 1 / ( 4ε- ε2) > 4 , nella definizione di limite sceglieremo M = 1 / ( 2 ε- ε2) .
4.
Scritto w nella forma r exp ( i θ ) , deve essere 2 r 8 exp ( i ( 4 θ + π / 6 ) ) = exp ( i 3 π / 2 ) e dunque
8 1 r 1 /8 2 r
2 = ⇒ = , 4 θ + π / 6 = 3 π / 2 + 2 k π ⇒ θ = π / 3 + k π / 2 ( k = 0 , … , 3 ) .
Soluzioni della prova parziale n.2 del 19 . 12 . 05 Fila 4
1.
• Per induzione si prova che è x n > 0 ∀n. In particolare questo dimostra che la successione è ben definita.
• an +1≤ an ⇔ 5an+4 ≤ an ⇔ an2 -3an -5 ≥ 0 ⇔ an≥ (5+ 41 ) /2
• Per induzione si prova che è an > (5+ 41 ) /2 ∀n .
• In conclusione , la successione è decrescente e limitata e dunque ammette limite reale L .
• Per calcolare il valore di L , passando al limite nella relazione ricorsiva , si trova che deve essere L = 5+3L e dunque L = (5+ 41 ) /2.
2.
x x tg ) x x (
tg + 2 ≈ ≈
2 log - x 2 x log 1 - e x log ) 1 - e ( log - x
log 2 x = 2 x ≈ →
2 log - 1 x 2 log - x ) x (
f ≈ → .
3.
Dobbiamo provare che < +ε
+
<
ε
⇒
>
∈
∀
>
∃
>
ε
∀ 2
1 x x 4 x 2 - 1 M x , A x : 0 M
0 2 .
Poiché A =(- ∞ ,-1 / 4) ∪ (0 ,+∞) , possiamo supporre che sia x > 0 ; possiamo inoltre limitarci a far variare ε in modo che sia 0 < ε < 1 / 2 .
Riscriviamo le disequazioni nella forma (1/2 - ε ) 4 x2+ x < x < (1/2+ε ) 4 x2+ x .
La disequazione (1/2+ε ) 4 x2+ x > x è sempre verificata , perché 4 x2+ x >2 x .L’altra disequazione, elevando al quadrato e semplificando, equivale a 4 (ε -ε2) x2- (1/4- ε+ε2) x >0 ed è verificata per x > (1/4 - ε + ε2) / 4 (ε - ε2) ( oltre che per x < 0 , ma queste soluzioni non ci interessano ) .
Poiché (1/4 - ε + ε2) / 4 (ε - ε2) > 0 , sceglieremo M = (1/4 - ε + ε2) / 4 (ε - ε2) nella definizione di limite .
4.
Scritto w nella forma r exp ( i θ ) , deve essere r 9 exp ( i ( 5 θ + π / 2 ) ) = 2 exp ( i π / 6 ) e dunque
9 9 2 r 2
r = ⇒ = , 5 θ + π / 2 = π / 6 + 2 k π ⇒ θ = - π / 15 + 2 k π / 5 ( k = 0 , … , 4 ) .
