Dominio o Insieme di Definizione

(1)

analisi

Dominio o Insieme di Definizione

Per calcolare il dominio di una funzione è necessario tener conto delle condizioni riportate nella tabella seguente. Se ci sono più condizioni esse vanno messe a sistema.

Il dominio della funzione è dato dalla soluzione della singola disequazione o del sistema.

funzione condizione

𝑦𝑦 =

^{𝑓𝑓(𝑥𝑥)}_{𝑔𝑔(𝑥𝑥)}

𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠ 0

funzione fratta

si pone il denominatore 𝑔𝑔(𝑥𝑥) diverso da 0

𝑦𝑦 = �𝑓𝑓(𝑥𝑥)

^𝑛𝑛 ⁿnumero naturale

pari diverso da zero

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0

funzione radice n-sima ad indice pari si pone il radicando 𝑓𝑓(𝑥𝑥) maggiore o uguale di 0

𝑦𝑦 = log

_𝑎𝑎

[𝑓𝑓(𝑥𝑥)] 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0

funzione logaritmo si pone l’argomento 𝑓𝑓(𝑥𝑥) maggiore di 0

𝑦𝑦 = log

_{𝑔𝑔(𝑥𝑥)}

[𝑓𝑓(𝑥𝑥)] � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 𝑔𝑔(𝑥𝑥) > 0 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠ 1

funzione logaritmo con una funzione alla base si pone �𝑙𝑙^′𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0

𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑔𝑔(𝑥𝑥) > 0 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠ 1

𝑦𝑦 = [𝑓𝑓(𝑥𝑥)]

^𝜶𝜶

^{α > 0}numero irrazionale

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0

funzione potenza con esponente irrazionale positivo si pone la funzione alla base 𝑓𝑓(𝑥𝑥) maggiore o uguale di 0

𝑦𝑦 = [𝑓𝑓(𝑥𝑥)]

^𝜶𝜶

^{α < 0}numero irrazionale

𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0

funzione potenza con esponente irrazionale negativo si pone la funzione alla base 𝑓𝑓(𝑥𝑥) maggiore di 0

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

^{𝑔𝑔(𝑥𝑥)}

𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0

funzione esponenziale con base una funzione si pone la funzione alla base 𝑓𝑓(𝑥𝑥) maggiore di 0

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 [𝑓𝑓(𝑥𝑥)] 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ 𝜋𝜋

2 + 𝑘𝑘𝜋𝜋

funzione tangente

si pone l’argomento 𝑓𝑓(𝑥𝑥) diverso da ^𝜋𝜋₂+ 𝑘𝑘𝜋𝜋

𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎 [𝑓𝑓(𝑥𝑥)] 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ 𝑘𝑘𝜋𝜋

funzione cotangente

si pone l’argomento 𝑓𝑓(𝑥𝑥) diverso da 𝑘𝑘𝜋𝜋

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎 [𝑓𝑓(𝑥𝑥)] −1 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 1

funzione arcoseno

si pone l’argomento 𝑓𝑓(𝑥𝑥) compreso o uguale tra −1 e 1

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑏 [𝑓𝑓(𝑥𝑥)] −1 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 1

funzione arcocoseno

si pone l’argomento 𝑓𝑓(𝑥𝑥) compreso o uguale tra −1 e 1

osservazione

le seguenti funzioni sono definite

∀ x ∈ R :

potenza n-sima, radice con indice dispari, esponenziale, seno, coseno, arcotangente, arcocotangente

(2)

analisi

Dominio o Insieme di Definizione

1. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥²+ 3𝑥𝑥 − 5

è possibile assegnare qualunque valore alla 𝑥𝑥. Il dominio è:

∀ 𝒙𝒙 ∈ 𝑹𝑹

2. 𝑦𝑦 =𝑥𝑥²+ 3𝑥𝑥 − 5

𝑥𝑥 − 4

si pone il denominatore diverso da zero. Il dominio è:

𝑥𝑥 − 4 ≠ 0 → 𝒙𝒙 ≠ 𝟒𝟒

3. 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 + 2

si pone il radicando maggiore o uguale a zero. Il dominio è:

𝑥𝑥 + 2 ≥ 0 → 𝒙𝒙 ≥ −𝟐𝟐

4. 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑎𝑎 �𝑥𝑥 − 2

3 − 𝑥𝑥�

si pone l’argomento del logaritmo maggiore di zero e il denominatore diverso da zero. Il dominio è:

�𝑥𝑥 − 2 3 − 𝑥𝑥 > 0

3 − 𝑥𝑥 ≠ 0 → � 𝑥𝑥 − 2 > 0 3 − 𝑥𝑥 > 0

𝑏𝑏𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑎𝑎𝑓𝑓𝑙𝑙𝑠𝑠𝑎𝑎 ∗ → � 𝑥𝑥 > 2 𝑥𝑥 < 3 → 𝟐𝟐 < 𝒙𝒙 < 3

(*) perché la condizione è già contenuta algebricamente nella precedente

5. 𝑦𝑦 = �𝑥𝑥²− 4

𝑥𝑥 + 3

si pone il radicando maggiore o uguale a zero e il denominatore diverso da zero. Il dominio è:

�𝑥𝑥²− 4 𝑥𝑥 + 3 ≥ 0 𝑥𝑥 + 3 ≠ 0

→ �𝑥𝑥²− 4 ≥ 0 𝑥𝑥 + 3 > 0

𝑏𝑏𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑎𝑎𝑓𝑓𝑙𝑙𝑠𝑠𝑎𝑎 ∗→ −𝟑𝟑 < 𝑥𝑥 ≤ −2 ⋁ 𝑥𝑥 ≥ 2

(*) perché la condizione è già contenuta algebricamente nella precedente

6. 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎^{√𝑥𝑥−5}

lg(𝑥𝑥 − 6)

si pongono a sistema le condizioni di esistenza della radice, del logaritmo e del denominatore. Il dominio è:

�𝑥𝑥 − 5 ≥ 0 𝑥𝑥 − 6 > 0

lg(𝑥𝑥 − 6) ≠ 0 → �𝑥𝑥 ≥ 5 𝑥𝑥 > 6

𝑥𝑥 − 6 ≠ 1 → �𝑥𝑥 ≥ 5 𝑥𝑥 > 6

𝑥𝑥 ≠ 7 → 𝒙𝒙 > 6 − {𝟕𝟕}

0 𝑦𝑦

𝑥𝑥

0 𝑦𝑦

𝑥𝑥 4 ×

0 𝑦𝑦

𝑥𝑥

−2

0 𝑦𝑦

𝑥𝑥 2 × × 3

0 2 𝑥𝑥

−3 −2 𝑦𝑦

×

0 6 7 𝑥𝑥

𝑦𝑦

× ×