Calcolo delle Probabilità 2012/13 – Foglio di esercizi 8

Calcolo delle Probabilità 2012/13 – Foglio di esercizi 8

Convergenza in legge di variabili aleatorie.

Esercizio 1. Se X_n∼ U (0, +_n¹) allora Xn→ 0 in legge.

Esercizio 2. Sia X_n∼ U ({¹_n, . . . ,ⁿ⁻¹_n }). Allora Z_n⇒ U (0, 1).

Esercizio 3. Siano {X_n}_n∈N variabili aleatorie con X_n∼ Ge(_n¹).

(a) Definendo Y_n:= _n¹X_n per n ∈ N, si mostri che Yn converge in legge e se ne determini il limite.

(b) (*) Supponiamo ora che le variabili {X_n}_n∈N siano indipendenti (dunque sono definite tutte sullo stesso spazio di probabilità). Si mostri che Y_n non converge in probabilità.

Esercizio 4. Siano {X_n}_n∈N i.i.d. U (0, 1) e sia Y_n:= min{Y1, . . . , Yn}.

(a) Si mostri che Y_n→ 0 in legge, in probabilità, in L^p, q.c..

(b) Si determini (a_n)_n∈N successione reale tale che Z_n:= a_nY_nconverge in legge verso una v.a. Z che non sia q.c. nulla. Si determini la distribuzione di Z.

(c) (*) Si mostri che Z_n non converge in probabilità (e dunque neanche q.c. né in L^p).

Esercizio 5. Siano {X_n}_n∈N variabili aleatorie indipendenti assolutamente continue, tutte definite sullo stesso spazio di probabilità, con densità date da

f_Xn(x) = 2n

(1 + nx)³1_{[0,∞)}(x) .

(a) Si calcolino le funzioni di ripartizione F_Xn e si deduca che X_n converge in legge.

(b) Si mostri che la convergenza ha luogo anche q.c. e in probabilità.

(c) Si mostri che la convergenza ha luogo in L^p solo per alcuni valori di p ≥ 1 (quali?).

Esercizio 6. Siano {X_n}_n∈Ni.i.d. U (0, 2) e sia Y_n:= min{Y1, . . . , Yn} per n ∈ N; definiamo inoltre Y₀ := 0. Siano ora {M_n}_n∈Nvariabili aleatorie indipendenti, definite sullo stesso spazio delle {X_n}_n∈N e da esse indipendenti, con M_n∼ P o(λ_n), dove {λn}_n∈N è una successione fissata tale che λ_n→ +∞. Si ponga quindi

Z_n := Y_Mn, cioè Z_n(ω) := Y_Mn(ω)(ω) . (a) Si mostri che la funzione di ripartizione di Z_n è data da

F_Zn(t) =







0 se t ≤ 0

1 − e^−λnt/2+ e^−λn se 0 ≤ t ≤ 2

1 se t > 2

.

Z_n è una variabile aleatoria assolutamente continua?

(b) Si mostri che Z_n→ 0 in legge, in probabilità, in L^p.

†Ultima modifica: 20 dicembre 2012.

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(c) Sia ora λ_n = log n. Si mostri che P(lim sup_n{M_n = 1}) = 1 e si deduca che q.c.

lim sup_n→∞Zn> 0. In particolare, Znnon converge verso 0 q.c..

Esercizio 7. Siano {X_n}_n∈N0 variabili aleatorie i.i.d. Exp(1). Definiamo per n ∈ N

Un := X0

X₁+ . . . + X_n. (a) Si mostri che la funzione di ripartizione di U_n è data da

FUn(t) = 1 − 1 (1 + t)ⁿ.

[Sugg.: si osservi che Y_n:= X₁+ . . . + X_n ha legge . . . ed è indipendente da . . . ] La variabile aleatoria U_n è assolutamente continua?

(b) Si mostri che U_n→ 0 in legge, in probabilità, q.c..

(c) Per ogni n fissato, si determini per quali valori di p si ha U_n∈ L^p.

(d) Si mostri che U_n+1≤ U_n per ogni n ∈ N e, sfruttando il punto precedente, si deduca che U_n→ 0 in L^p per ogni p ≥ 1.

(e) Per quali valori di α > 0 la successione {W_n:= n^αUn}_n∈N converge in legge?