Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 6

Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 6

Variabili aleatorie: distribuzioni congiunte e marginali; indipendenza; massimo e minimo.

Esercizi teorici

Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria definita su (Ω, A, P) a valori in [0, +∞].

(a) Si mostri che la funzione ϕ : [0, ∞] × Ω → R definita da ϕ(t, ω) := 1{X(ω)≥t} è misurabile (rispetto alla σ-algebra prodotto B([0, ∞]) ⊗ A).

(b) Applicando opportunamente il teorema di Fubini-Tonelli alla funzione ϕ, si mostri che E(X) =

Z ∞ 0

P(X ≥ t) dt .

(c) Nel caso in cui X assuma valori in N0= {0, 1, . . .} ∪ {+∞}, si deduca che E(X) =

∞

X

n=1

P(X ≥ n) .

Esercizio 2. Si dimostri che degli eventi (A_n)_n∈N sono indipendenti se e solo se sono indipendenti le rispettive funzioni indicatrici (1_An)_n∈N.

Esercizio 3. Sia U una variabile aleatoria reale con distribuzione U ((0, 1)). Data ϕ : (0, 1) → R misurabile, si ponga X := ϕ(U ).

(a) Si determini ϕ in modo che X ∼ Be(p).

(b) Più in generale, data una probabilità discreta ν =P

k∈Npkδxk su R, si determini ϕ in modo che X ∼ ν, ossia (perché?) in modo che P(X = x_k) = p_k per ogni k ∈ N.

Esercizi “pratici”

Esercizio 4. Sia Z := (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con distribuzione uniforme nel sottoinsieme C := ([0,¹₂] × [0,¹₂]) ∪ ([¹₂, 1] × [¹₂, 1]). Si determinino le distribuzioni delle variabili aleatorie reali X e Y . Esse sono indipendenti?

Esercizio 5. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con densità f data da f (x, y) = c y e^−xy1[0,∞)×[0,2](x, y) .

(a) Si determini il valore di c ∈ R affinché f sia effettivamente una densità.

(b) Si determinino le densità marginali di X e Y e si riconosca la legge di Y . (c) X e Y sono indipendenti?

(d) Si determini una densità g : R²→ [0, +∞] diversa da f ma con le stesse marginali.

(e) (*) Si mostri che V := max(X, Y ) è una variabile aleatoria reale assolutamente continua e se ne determini la densità.

(f) (*) Posto U := X + Y , si dica se U e V sono indipendenti.

[Sugg.: non è necessario calcolare la densità congiunta di (U, V ).]

†Ultima modifica: 15 novembre 2013.

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Esercizio 6. Un segnale viene trasmesso in un istante aleatorio X. Il ricevitore viene acceso in un istante aleatorio Y e resta acceso per un intervallo di tempo aleatorio Z. Supponendo che X, Y, Z siano variabili aleatorie indipendenti con X ∼ U [0, 2] e Y, Z ∼ U [0, 1], qual è la probabilità che il segnale venga ricevuto?

Esercizio 7. (*) Consideriamo n prove ripetute e indipendenti con probabilità di successo p. Si determini la distribuzione congiunta delle variabili aleatorie S := “numero di successi nelle n prove” e Y := “prova in cui si ha il primo successo”.

Esercizio 8. Siano X₁, X₂ variabili indipendenti con distribuzione uniforme discreta sull’insieme {1, . . . , n}, dove n ∈ N. Definiamo la variabile Y := min{X1, X2}.

(a) Si calcolino P(Y > k), P(Y ≤ k) e P(Y = k) per ogni k ∈ N.

(b) Si mostri che lim_n→∞ P(Y ≤ tn) = 2t − t² per ogni t ∈ (0, 1).

Esercizio 9. Sia X₁, X₂, . . . una successione di variabili aleatorie reali i.i.d. con distribuzione uniforme nell’intervallo (0, 1), definite su uno spazio di probabilità (Ω, A, P). Introduciamo la variabile aleatoria T : Ω → N ∪ {+∞} e, per k ∈ N, l’evento Ak definiti da

T (ω) := inf



k ≥ 1 : X_k(ω) ≤ 1 3



, A_k =



X_k≤ 1 3

 .

e definiamo Y := X_T1_{{T <∞}}, cioè Y (ω) := X_{T (ω)}(ω) se T (ω) < ∞ e Y (ω) := 0 altrimenti.

(a) Per ogni fissato n ∈ N, si esprima l’evento {T = n} in termini degli eventi {Ak}_k∈N. (b) Si determini la legge di T .

(c) Si determini la legge di Y . (Sugg.: si calcoli innanzitutto P(Y ≤ x, T = n) per n ∈ N.)