Calcolo delle Probabilità 2014/15 – Foglio di esercizi 5

Calcolo delle Probabilità 2014/15 – Foglio di esercizi 5

Variabili aleatorie, distribuzioni marginali e congiunta, indipendenza.

Esercizi “teorici”

Esercizio 1. Siano (A_n)_n∈N eventi di uno stesso spazio di probabilità. Si dimostri che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(a) gli eventi (A_n)_n∈N sono indipendenti;

(b) le σ-algebre (σ(A_n))_n∈N sono indipendenti;

(c) le variabili aleatorie (1_An)_n∈N sono indipendenti.

Esercizio 2. Sia X una variabile aleatoria reale t.c. P(X ∈ B) ∈ {0, 1} per ogni B ∈ B(R).

Si mostri che esiste c ∈ R tale che X = c q.c..

Equivalentemente, sia µ una probabilità su R tale che µ(B) ∈ {0, 1} per ogni B ∈ B(R).

Si mostri che esiste c ∈ R tale che µ = δc.

Esercizio 3. Sia U una variabile aleatoria reale con distribuzione U (0, 1). Data una funzione ϕ : (0, 1) → R misurabile, si ponga X := ϕ(U ).

(a) Si determini ϕ in modo che X ∼ Be(p).

(b) Dato un sottoinsieme numerabile (x_k)_k∈N ⊆ R e una densità discreta (pk)_k∈N, si determini ϕ in modo che P(X = x_k) = pk per ogni k ∈ N.

Esercizi “pratici”

Esercizio 4. Sia Z := (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con distribuzione uniforme nel sottoinsieme C := ([0,¹₂] × [0,¹₂]) ∪ ([¹₂, 1] × [¹₂, 1]). Si determinino le distribuzioni delle variabili aleatorie reali X e Y . Esse sono indipendenti?

Esercizio 5. Un segnale viene trasmesso in un istante aleatorio X. Il ricevitore viene acceso in un istante aleatorio Y e resta acceso per un intervallo di tempo aleatorio Z. Supponendo che X, Y, Z siano variabili aleatorie indipendenti con X ∼ U (0, 2) e Y, Z ∼ U (0, 1), qual è la probabilità che il segnale venga ricevuto?

Esercizio 6. Un insetto depone un numero aleatorio N ∼ Pois(λ) di uova. Ciascun uovo deposto si schiude con probabilità p ∈ (0, 1), indipendentemente dal numero di uova deposte e dal fatto che le altre si schiudano. Sia X il numero di uova che si schiudono.

(a) Qual è il valore di P(X = k|N = n), per n ∈ N0 e k ∈ R?

(b) Si mostri che la densità discreta congiunta di X e N è data da p_X,N(k, n) =

( _n

k
p^k(1 − p)^n−ke^{−λ λ}_n!ⁿ se 0 ≤ k ≤ n

0 altrimenti .

(c) Si determini la legge di X, riconoscendola come notevole.

†Ultima modifica: 9 novembre 2014.

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Esercizio 7. Siano X ∼ Pois(λ), Y ∼ Pois(µ) variabili aleatorie indipendenti, ossia P(X = k) = e^−λλ^k

k! , P(Y = k) = e^−µµ^k

k! , k ∈ N0= {0, 1, 2, . . .} .

Ricordiamo che X + Y ∼ Pois(λ + µ). Per n ≥ 0 fissato, si determini la distribuzione della variabile aleatoria X rispetto alla probabilità condizionale Q(·) := P( · |X + Y = n).

Esercizio 8. Sia X₁, X2, . . . una successione di variabili aleatorie reali indipendenti con distribuzione uniforme nell’intervallo (0, 1), definite su uno spazio di probabilità (Ω, A, P).

Introduciamo la variabile aleatoria T : Ω → N ∪ {+∞} e l’evento Ak definiti da T (ω) := inf



k ≥ 1 : Xk(ω) ≤ 1 3



, Ak =



Xk≤ 1 3

 .

e definiamo Y := X_T1{T <∞}, cioè Y (ω) := X_{T (ω)}(ω) se T (ω) < ∞ e Y (ω) := 0 altrimenti.

(a) Per ogni fissato n ∈ N, si esprima l’evento {T = n} in termini degli eventi {Ak}_k∈N. (b) Si determini la legge di T .

(c) Si determini la legge di Y . (Sugg.: si calcoli innanzitutto P(Y ≤ x, T = n) per n ∈ N.) Esercizio 9. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con densità f data da

f (x, y) = c y e^−xy1[0,∞)×[0,2](x, y) .

(a) Si determini il valore di c ∈ R affinché f sia effettivamente una densità.

(b) Si determinino le densità marginali di X e Y e si riconosca la legge di Y . (c) X e Y sono indipendenti?

(d) Si determini una densità g : R²→ [0, +∞] diversa da f ma con le stesse marginali.

(e) Si mostri che V := max(X, Y ) è una variabile aleatoria reale assolutamente continua e se ne determini la densità.

(f) (*) Posto U := X + Y , si dica se U e V sono indipendenti.

[Sugg.: non è necessario calcolare la densità congiunta di (U, V ).]

Esercizio 10. Siano X₁, X₂, . . . , X_nvariabili aleatorie indipendenti con leggi U (0, 1).

(a) Si determini la legge di L := min{X₁, X₂} e M := max{X₁, X₂}, mostrando che si tratta di variabili assolutamente continue.

(b) Si determini la legge di L_n:= min{X₁, X₂, . . . , X_n}.

(c) Posto Z_n:= nL_n, si mostri che per ogni r ≥ 0 fissato si ha

n→∞lim FZn(r) = 1 − e^−r.