Calcolo delle Probabilità 2011/12 – Foglio di esercizi 9
†Convergenza debole di probabilità e convergenza di variabili aleatorie.
Esercizio 1. Se Xn∼ U (0, +n1) allora Xn→ 0 in legge.
Esercizio 2. Sia Xn∼ U ({1n, . . . ,n−1n }). Allora Zn⇒ U (0, 1).
Esercizio 3. Siano {Xn}n∈N i.i.d. U (0, 2) e sia Yn := min{Y1, . . . , Yn}. Allora Yn→ 0 in legge, in probabilità, in Lp, q.c..
Esercizio 4. Come nell’esercizio precedente, siano {Xn}n∈N i.i.d. U (0, 2) e sia Yn :=
min{Y1, . . . , Yn} per n ∈ N; definiamo inoltre Y0 := 0. Siano ora {Mn}n∈Nvariabili aleatorie indipendenti, definite sullo stesso spazio delle {Xn}n∈N e da esse indipendenti, con Mn∼ P o(λn), dove {λn}n∈N è una successione fissata tale che λn→ +∞. Si ponga quindi
Zn := YMn, cioè Zn(ω) := YMn(ω)(ω) . (a) Si mostri che la funzione di ripartizione di Zn è data da
FZn(t) =
0 se t ≤ 0
1 − e−λnt/2+ e−λn se 0 ≤ t ≤ 2
1 se t > 2
.
Zn è una variabile aleatoria assolutamente continua?
(b) Si mostri che Zn→ 0 in legge, in probabilità, in Lp.
(c) Sia ora λn = log n. Si mostri che P(lim supn{Mn = 1}) = 1 e si deduca che q.c.
lim supn→∞Zn> 0. In particolare, Znnon converge verso 0 q.c..
Esercizio 5. Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie con Xn ∼ Ge(pn), dove {pn}n∈N è una successione reale fissata tale che pn→ 0.
(a) Definendo Yn:= pnXn per n ∈ N, si mostri che Yn converge in legge e se ne determini il limite.
(b) (*) Supponiamo ora che le variabili {Xn}n∈N siano indipendenti (dunque sono definite tutte sullo stesso spazio di probabilità). Si mostri che Yn non converge in probabilità.
Esercizio 6. Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie indipendenti assolutamente continue, tutte definite sullo stesso spazio di probabilità, con densità date da
fXn(x) = 2n
(1 + nx)31{[0,∞)}(x) .
• Si calcolino le funzioni di ripartizione FXn e si deduca che Xn converge in legge.
• Si mostri che la convergenza ha luogo anche q.c. e in probabilità.
• Si mostri che la convergenza ha luogo in Lp solo per alcuni valori di p ≥ 1 (quali?).
†Ultima modifica: 22 dicembre 2011.
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Esercizio 7. Siano {Xn}n∈N0 variabili aleatorie i.i.d. Exp(1). Definiamo per n ∈ N
Un := X0
X1+ . . . + Xn. (a) Si mostri che la funzione di ripartizione di Un è data da
FUn(t) = 1 − 1 (1 + t)n.
[Sugg.: si osservi che Yn:= X1+ . . . + Xn ha legge . . . ed è indipendente da . . . ] La variabile aleatoria Un è assolutamente continua?
(b) Si mostri che Un→ 0 in legge, in probabilità, q.c..
(c) Per ogni n fissato, si determini per quali valori di p si ha Un∈ Lp.
(d) Si mostri che Un+1≤ Un per ogni n ∈ N e, sfruttando il punto precedente, si deduca che Un→ 0 in Lp per ogni p ≥ 1.
(e) Per quali valori di α > 0 la successione {Wn:= nαUn}n∈N converge in legge?
Esercizio 8. Date due probabilità µ, ν su R, la loro convoluzione µ ∗ ν è per definizione la probabilità su R data dalla legge della variabile aleatoria X + Y , dove indichiamo con X, Y due variabili aleatorie indipendenti con leggi rispettivamente µ e ν.
(a) (*) Si spieghi perché che la definizione di µ ∗ ν è ben posta, cioè non dipende dalle variabili X, Y scelte (purché siano indipendenti e abbiano leggi marginali µ e ν).
(b) Siano ora W, Z variabili aleatorie reali, non necessariamente indipendenti, definite sullo stesso spazio di probabilità (Ω, A, P). Si mostri che per ogni successione reale {εn}n∈N tale che εn→ 0 si ha W + εnZ → W in legge per n → ∞.
(c) Si deduca che, per ogni probabilità µ su R fissata e per ogni successione reale positiva {σn2}n∈N tale che σn2 → 0, si ha µ ∗ N (0, σ2n) ⇒ µ.
(d) Si concluda che, date due probabilità µ, µ0 su R con la proprietà che µ ∗ N (0, σ2) = µ0∗ N (0, σ2) per ogni σ2∈ (0, ∞), si ha necessariamente µ = µ0.
