Calcolo delle Probabilità 2012/13 – Foglio di esercizi 10
†Catene di Markov.
Esercizio 1 (Norris, Example 1.2.2). Si consideri la seguente matrice di transizione per una catena di Markov con spazio degli stati E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}:
p=
1 2
1
2 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
1
3 0 0 13 13 0 0 0 0 12 12 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
.
Si determino le classi di irriducibilità, gli stati ricorrenti e transitori, le probabilità invarianti.
Si mostri che gli stati5 e 6 hanno periodo 2.
Esercizio 2 (Norris, Exercise 1.2.1). Si consideri la seguente matrice di transizione per una catena di Markov con spazio degli stati E= {1, 2, 3, 4, 5}:
p=
1
2 0 0 0 12 0 12 0 12 0
0 0 1 0 0
0 14 14 14 14
1
2 0 0 0 12
.
Si determino le classi di irriducibilità, gli stati ricorrenti e transitori, le probabilità invarianti.
Si mostri che gli stati1 e 5 sono aperiodici.
Esercizio 3 (Baldi, Esempio 5.21). Si consideri la passeggiata aleatoria X = {Xn}n∈N0 sul seguente grafo:
1 2
5 4
3
Si mostri che la catena di Markov è irriducibile, aperiodica, ricorrente positiva. Si determini la probabilità invariante. Si calcoli quindilimn→∞P2(Xn= 2)/ P2(Xn= 3).
Esercizio 4 (Norris, Esempio 1.3.1). Si consideri la passeggiata aleatoria X = {Xn}n∈N0 sul seguente grafo:
†Ultima modifica: 22 gennaio 2013.
2
1 2 3 4
1 2
1 2 1
2
1 2
Si determino le classi di irriducibilità, gli stati ricorrenti e transitori, le probabilità invarianti.
Si calcoli quindi la probabilità di raggiungere lo stato 4 partendo dallo stato 2, il tempo medio per raggiungere lo stato 4 partendo dallo stato 2, il tempo medio per raggiungere l’insieme {1, 4} partendo dallo stato 2.
Esercizio 5 (Esame del 24/02/2011). Si consideri la passeggiata aleatoria corrispondente al seguente diagramma:
3 10
1 5
1 10 1
10
1 5
1 2
4 3
Si scriva la matrice di transizione. Si determino le classi di irriducibilità, gli stati ricorrenti e transitori, le probabilità invarianti. Si determini quindi, quando la catena parte dallo stato 1, la probabilità di raggiungere lo stato 3, la probabilità di raggiungere lo stato 4, il tempo medio per entrare nell’insieme {3, 4}.
Esercizio 6 (Baldi, esempio 5.25). Si consideri la passeggiata aleatoria su E = {1, 2, 3, 4}
con matrice di transizione
p=
1
2 0 12 0
1 3
1 3 0 13 0 0 14 34 0 0 12 12
.
Si determino le classi di irriducibilità, gli stati ricorrenti e transitori, le probabilità invarianti.
Si determinino quindi, quando la catena parte dallo stato1, oppure dallo stato 2, le probabilità di raggiungere lo stato 3 e il tempo medio per entrare nell’insieme {3, 4}.
Ulteriore esercizio: Baldi, esercizio risolto 5.2.
