Metodi Matematici e Statistici II

Metodi Matematici e Statistici II

Versione Provvisoria 29 marzo 2001

La matematica `e stata applicata ai problemi reali fin dall’antichit`a

Il termine modello matematico `e abbastanza recente.

Si intende il tentativo di descrivere un fenomeno mediante equazioni di- sequazioni o altri strumenti matema- tici, in modo da poter prevedere l’e- voluzione del fenomeno stesso in di- verse condizioni oppure in modo da determinare una situazione ottimale.

Il processo di modellizzazione passa attraver- so vari stadi

Identificazione dei meccanismi e del- le leggi che regolano il problema da modellizzare: Formulare il problema a parole e documentare i dati.

Formulazione delle ipotesi a parti- re dalle quali il modello va costrui- to: Individuare gli elementi importan- ti e quelli che invece possono essere ignorati.

Costruzione del modello attraverso la

traduzione della formulazione in lin-

guaggio matematico di quanto si ` e

Analisi del modello: Risolvere il pro- blema matematico definito al punto precedente.

Interpretazione del modello: Con- frontare la soluzione del problema matematico con la descrizione del fenomeno che si vuole modellizzare.

Validazione del modello: confronto tra le previsioni e i dati sperimentali.

Implementazione del modello: uso

del modello per prevedere l’evoluzio-

ne del fenomeno in tempi futuri o di-

verse condizioni. Determinazione di

parametri ottimali

Modelli differenziali di

crescita delle popolazioni

Modelli di crescita per popolazioni isolate,

comprendono

• crescita dell’inflazione,

• calcolo dell’interesse composto,

• decadimento di materiale radioattivo (modello esponenziale modello logistico)

Modelli di crescita

per popolazioni coesistenti

• in competizione

• in cooperazione.

• in lotta.

comprendono

• diffondersi di un’epidemia,

• combattimento tra due eserciti

Modello di crescita esponenziale

E il pi`` u semplice modello di crescita di una popolazione

`e stato proposto da Malthus nel 1798

prevede che la crescita di una popolazione sia proporzionale al numero di individui.

Se il numero di individui di una popolazione al tempo t ` e

n(t)

la variazione ˙ n(t) della popolazione ` e

assunta proporzionale al numero n(t)

di individui secondo una costante c

(tasso di crescita).

Si avr`a







n(t) = cn(t)˙

n(t₀) = n₀ (1)

e si ottiene facilmente che

n(t) = n₀e^c(t−t0) (2)

Per determinare la costante c occorrono due valori

n₀ = n(t₀) n₁ = n(t₁)

dalla 2 per t = t₁

ln(ⁿ¹

n )

Nel caso in cui n₁ = 2n₀ si parla di tempo di raddoppio mentre nel caso in cui n₁ = ¹₂n₀ si parla di tempo di dimezzamento.

Per come `e stato definito, c rappresenta il tasso di crescita istantaneo

c = n(t)˙ n(t)

In molti casi pu`o essere comodo considerare il tasso di crescita mediato su un periodo T .

Se c `e il tasso di accrescimento della quantit`a n₀ nel periodo T (cio`e `e la frazione di n₀ che si va ad aggiungere ad n₀) avremo che il valore finale `e

n_T = n₀ + cn₀ = n₀(1 + c) (4)

In altre parole l’accrescimento dipende dal valore iniziale n₀ e dal tasso di crescita.

Possiamo usare anche un modello discreto.

Il tasso di accrescimento viene assunto co- stante su un certo intervallo di tempo

Si consideri il caso di una popolazione di individui il cui tasso di accrescimen- to medio su un periodo T ` e γ.

Se assumiamo l’accrescimento sull’in- tero periodo solo gli individui presenti all’istante iniziale

contribuiscono all’aumento della po- polazione;

Possiamo per` o supporre di misurare

l’accrescimento pi` u volte nel periodo

T a intervalli regolari di lunghezza

,

Si verifica che la popolazione, do-

po un tempo T , sar` a cresciuta an-

che per opera degli individui nati nei

periodi [t

+ h

, t

+ (h + 1)

] per

Si consideri un capitale iniziale n

che assicura un rendimento γ nel periodo T .

Calcolare il rendimento sull’intero pe- riodo T significa supporre di contabi- lizzare gli interessi solo alla fine del- l’intero periodo (interesse semplice) Mentre frazionare il periodo signifi- ca capitalizzare gli interessi su ognu- no dei sottoperiodi di lunghezza

k

e quindi percepire anche gli interessi

sugli interessi (interesse composto).

In entrambi i casi si ottengono modelli discre- ti che sono governati da regole di ricorren- za che identificano una successione di valori reali.

Se il tasso di crescita istantaneo `e c, nel pe- riodo T avremo un tasso di crescita pari a γ = cT e la quantit`a in crescita (o decrescita se c < 0) pu`o essere calcolata mediante la







n(t₀ + T ) = n(t₀) + cT n(t₀)

n(t₀) = n₀ (5)

Mentre sull’intero periodo, se consideriamo k suddivisioni, si ha

n(t₀) = n₀

e ^γ

k = ^cT

k `e il tasso di accrescimento medio su [h^T

k, (h + 1)^T

k]

n



t₀ + hT k



= n



t₀ + (h − 1)T k



+ cT k n



t₀ + (h − 1)T k



(6)

per 1 ≤ h ≤ k

Si vede subito che

n



t₀ + hT k



=



1 + cT k



n



t₀ + (h − 1)T k



=

=



1 + cT k

2

n



t₀ + (h − 2)T k



=

=



1 + cT k

h

n(t₀) =

 cT ^h

Confrontando le soluzioni della 2 e della 7, avremo, dopo un tempo T

n(t₀ + T ) = n₀e^cT o n(t₀ + T ) = n₀



1 + cT k

k

(8) Si rileva che per k → +∞



1 + cT k

k

→ e^cT

Il modello di crescita Malthusiano prevede un incremento della popolazione che non `e ragionevole.

Nel 1960 la popolazione mondiale era di 3 × 10⁹ individui; assumendo un fattore di cre- scita del 2% per anno si ha c =

ln(ⁿ¹

n0) t₁−t₀ = ln 1.02 ≈ ^.0198

n(t) = 3 × 10⁹eln(1.02)(t−1960)

per cui

1960 1970 1980

3 × 10⁹ 3.7 × 10⁹ 4.5 × 10⁹

1990 2000 2020

5.4 × 10⁹ 6.6 × 10⁹ 9.8 × 10⁹

2040 2060 2080

14.6 × 10⁹ 21.7 × 10⁹ 32.2 × 10⁹

Il modello esponenziale permette anche di rappresentare, la rendita di un investimento a tasso fisso o gli effetti dell’inflazione.

Ad esempio sapendo che il prezzo di un de- terminato bene `e passato da 1000 lire 20 an- ni orsono a lire 10000 attualmente, possia- mo calcolare il tasso di inflazione ricavando c nell’equazione

10000 = 1000e^c20

da cui

c = ln(10)

20 = 0.115

per ottenere che nel periodo il tasso di infla- zione `e stato di circa l’11%.

Anche il decadimento radioattivo `e modelliz- zato per mezzo di una legge esponenziale.

Ogni elemento radioattivo decade in maniera proporzionale alla propria massa.

Per descrivere il fenomeno basta conoscere il tempo necessario perch`e la massa si riduca a met`a (tempo di dimezzamento.)

Ad esempio il torio ha un tempo di dimezza- mento di 1.65 × 10¹⁰ anni;

pertanto

q = q₀e^ct

dove c si pu`o ricavare mediante la c = ln(¹₂)

= −1.33 × 10⁻¹⁸

Modello di crescita logistica

La crescita di una popolazione non `e ben rap- presentata da un semplice modello esponen- ziale.

Si trascura completamente l’effetto dell’af- follamento e della saturazione dell’ambiente.

Una popolazione in crescita consuma risorse dall’ambiente e tali risorse non sono illimitate e ne condizionano lo sviluppo.

Un modello che tenga conto anche di que- ste condizioni fu proposto da Verhulst , ed assume un fattore di accrescimento del tipo

a − bn a, b > 0 dove n `e il numero di individui.

Il tasso di crescita diminuisce con il nume- ro degli individui secondo una costante di

Il tasso di crescita e‘ lineare decrescente n =¯ a

b

`e il massimo numero di individui sostenibili dall’ambiente.

Il numero di individui n `e regolato dal seguen- te problema di Cauchy:







n(t) = an(t) − bn˙ ²(t) = n(t)(a − bn(t)) n(t₀) = n₀

(9)

prende il nome di equazione logistica,

`e possibile trovare informazioni sulla soluzio- ne (funzione logistica) senza risolverla.

Ci sono due punti di equilibrio (solu- zioni costanti) in corrispondenza dei valori

n(t) = 0 n(t) = a

b = n

Corrispondono al caso in cui la po- polazione si ` e estinta o ha saturato l’ambiente in cui vive.

Il modello esponenziale prevede una crescita illimitata ed ammette come unico punto di equilibrio l’estinzione della popolazione,

La crescita logistica prevede anche

un valore di equilibrio non nullo che

abbiamo indicato con n

poich` e an − bn

> 0 per 0 < n <

La soluzione ` e crescente se n

<

ed ` e decrescente se n

>

inoltre, poich` e

n(t) = (a − 2bn(t)) ˙ ¨ n(t)

La soluzione ` e convessa ( ˙ n crescen- te), se n(t) <

ed ` e concava ( ˙ n decrescente), per

b

> n(t) >

.

per n >

la soluzione risulta

convessa.

Andamento della popolazione nel caso di crescita logistica

a = 4 b = 1

La soluzione tende ad un valore asin- totico n

,

crescendo se n

< n

decrescendo se n

> n

(rimane costante se n

= n

).

Per n(t) =

=

c’` e un punto di flesso

La crescita ` e molto rapida fino a che n(t) =

2b

=

rallenta

avvicinandosi all’asintoto.

L’equazione logistica







n(t) = an(t) − bn˙ ²(t) = n(t)(a − bn(t)) n(t₀) = n₀

(10) pu`o essere facilmente integrata separando le variabili.

Ammette sempre una ed una sola soluzione Ammette due soluzioni costanti

n(t) = 0 , n(t) = a

b (11)

(soluzioni di equilibrio del modello)

identificano le situazioni in cui il numero di

Possiamo determinare la soluzione come se- gue

n(t)˙

n(t)(a − bn(t)) = 1

Z _t t₀

n(s)˙

n(s)(a − bn(s))ds = t − t₀

Z _n(t) n(t₀)

dx

x(a − bx) = t − t₀ (12) e

1

x(a − bx) = 1 a

1

x + b a − bx



da cui

Z _n(t) n₀

dx

x(a − bx)dx = 1 a



ln|x|−ln |a−bx|

_n(t) n₀

= 1 n(t) ^! a − bn ^!

Ne viene

t − t₀ = 1

a ln c n(t) a − bn(t)

!

dove ^n(t)

a−bn(t) ha lo stesso segno di c = _a−bnⁿ⁰

0

in ciascuno degli intervalli in cui `e definita Si ricava

n(t) = a

b + ce^−a(t−t0) = 1

β + γe^−a(t−t0) (14) dove β = _a^b e γ = _a^c e le costanti a, β e γ possono essere determinate se si conoscono

n(t₀ − h) = p₀ (15) n(t₀) = p₁ (16) n(t₀ + h) = p₂ (17)

infatti si ha

1

n(t) = β + γe^−a(t−t0) (18) ed `e sufficiente risolvere il sistema









 1

p₀ = β + γe^ah

1

p₁ = β + γ

1

p₂ = β + γe^−ah

(19)

posto H = e^−ah







 1

p₀ = β + γ_H¹

1

p₁ = β + γ

1

(20)

da cui





 1

p₀ − _p¹

1 = γ ^_H¹ − 1^ = γ^1−H_H

1

p₁ − _p¹

2 = γ(1 − H) (21)

e

1

p₀ − _p¹

1

1

p₁ − _p¹

2

= 1

H (22)

se ne deduce che

1

H = p₁p₂(p₁ − p₀)

p₀p₁(p₂ − p₁) H = p₀p₁(p₂ − p₁) p₁p₂(p₁ − p₀)

(23)

`e poi facile ricavare γ e β dalle 20,21.

Modello di

crescita logistica

con prelievo costante

Supponiamo di esaminare una popolazione con crescita logistica sottoposta ad un pre- lievo costante nel tempo.

Ad esempio un allevamento ittico, da cui vie- ne pescata una quantit`a fissa di pesce.

Oppure una specie in ambiente protetto e senza antagonisti il cui sviluppo deve esse- re controllato mediante un prelievo periodico per mantenere il numero di esemplari stabile.

La popolazione si sviluppa con tasso di cre- scita a − bn

Subisce una costante diminuzione pari ad una quantit`a c.

E utile determinare il massimo prelievo che` non causa l’estinzione della popolazione

occorre modificare il modello logistico.







n(t) = an(t) − bn˙ ²(t) − c

n(t₀) = n₀ (24)

In ogni caso avremo che a, b, c > 0

L’equazione `e a variabili separabili e pu`o es- sere integrata.

Ammette sempre una ed una sola soluzione Ammette soluzioni costanti nel caso in cui l’equazione algebrica

−bx² + ax − c = 0 abbia soluzioni reali.

Possiamo distinguere tre casi a² − 4bc < 0

Non ci sono soluzioni costanti e si ha

n(t)˙

an(t) − bn²(t) − c = 1 (25)

Z _t t₀

n(s)˙

an(s) − bn²(s) − cds = t − t₀ (26)

Z _n(t) n(t₀)

dx

ax − bx² − c = t − t₀ (27)

si ottiene

1

ax − bx² − c = −1 b

1

x − _2b^{a 2} − ^a2

4b² + ^c

b

=

= −1 b

1

x − _2b^{a 2} + δ

=

= − 1 bδ

1

√1 δ

x − ^a

2b

₂

+ 1

= (28)

dove si `e posto

δ = 4bc − a² 4b²

da cui

Z dx

ax − bx² − c =

= − 1 b√

δ arctan 1

√δ



x − a 2b



+ cost. (29) e

− 1 b√

δ arctan 1

√δ



n(t) − a 2b



+ + 1

b√

δ arctan 1

√δ



n₀ − a 2b



= t − t₀ (30) inoltre

n(t) = a 2b + +√

δ tan t₀ + 1 b√

δ arctan 1

√δ



n₀ − a 2b



− t

!

(31)

Andamento della popolazione nel caso di crescita logistica

con prelievo costante nel caso a² − 4bc < 0

a = 2 b = 1 c = 4 a²−4bc = −12 < 0

a² − 4bc = 0

Esiste una soluzione doppia per l’equazione

−bx² + ax − c = 0 e quindi una soluzione costante

n(t) = α = a 2b Si ha inoltre

1

ax − bx² − c = −1 b

1

x − _2b^{a 2}

(32) da cui

Z _n(t) n₀

dx

ax − bx² − c = 1 b

1

n(t) − _2b^{a }

−

− 1 b

1

n₀ − _2b^{a } = t − t₀ (33) e

1 2bn − a ^!

Andamento della popolazione nel caso di crescita logistica

con prelievo costante nel caso a² − 4bc = 0

a = 2 b = 1 c = 1 a² − 4bc = 0

a² − 4bc > 0

−bx² + ax − c = 0

ammette due soluzioni reali e distinte

α = a 2b+

s

a² − 4bc

4b² , β = a

2b−

s

a² − 4bc 4b² e ci sono due soluzioni costanti (di equilibrio per il sistema).

Si ha

−bx² + ax − c = −b(x − α)(x − β) e

1

−bx² + ax − c = b α − β

1

x − α − 1 x − β

!

(35) da cui

Z 1

−bx² + ax − cdx =

= b

α − β (ln|x − α| − ln |x − β|) + ϕ(x) (36) e ϕ `e una funzione costante a tratti

Z _n(t) n₀

1

−bx² + ax − cdx =

= b

α − β ln n(t) − α n(t) − β

n₀ − β n₀ − α

!

= t − t₀ (37) da cui

n(t) =

α − βⁿ_n^0−α

0−βe^(t−t0)

α−β b

1 − ⁿ_n^0−α

0−βe^(t−t0)

α−β b

(38)

Andamento della popolazione con prelievo costante nei casi in cui a² − 4bc > 0

Andamento della popolazione con prelievo costante nei casi in cui a² − 4bc > 0

a = 3 b = 1 c = 2 a²−4bc = 1 > 0

Come si pu`o facilmente osservare dal grafico della soluzione n(t) il modello rende ragione dei seguenti fatti

1. se a² − 4bc < 0 la popolazione si estingue in un tempo finito

2. se a² − 4bc = 0

• la popolazione si estingue in un tempo finito se n₀ < ^a

2b

• mentre tende a stabilizzarsi sul valore

a

2b asintoticamente se n₀ > _2b^a

3. se a² − 4bc > 0

• la popolazione si estingue in un tempo finito se n₀ < β

• mentre tende a stabilizzarsi sul valore

Per c = ^a_4b² risulta a² − 4bc = 0

c `e la pi`u alta quantit`a che si pu`o prelevare senza causare l’estinzione in un tempo finito Tale quantit`a viene detta rendita massima.

In presenza di un prelievo costante il valore asintotico della popolazione diminuisce

da ^a

b ad α = _2b^a +

r

a²−4bc

4b² < ^a_b. Per a² − 4bc = 0 si ha che α = _2b^a

Modelli di crescita

con prelievo non costante

Nel modello di crescita logistica il tasso di crescita della popolazione x `e dato da a − bx Avremo che

x(t) = (a − bx(t))x(t)˙ (39)

Se il prelievo `e costante, il tasso di crescita

`e a − bx − h e l’equazione

x(t) = (a − bx(t))x(t) − h˙ (40)

Se il prelievo `e proporzionale al numero di individui presenti. il termine che indica il prelievo sar`a del tipo αx

e l’equazione diventa

x(t) = (a − bx(t))x(t) − αx(t) =˙

= ((a − α) − bx(t))x(t) (41)

non c`e differenza rispetto al modello di cre- scita logistica standard cambia solo il tasso da a in a − α.

Si possono considerare tassi di crescita pi`u generali

ad esempio

f (x) = τ + (β − x)x 1 + αx

!

(42) (f si annulla in x = 0 ed x = β ha un massimo in

√1+αβ−1

α ∈ (0, β))

che corrisponde ad una variazione della po- polazione

x τ + (β − x)x 1 + αx

!

(43)

o pi`u semplicemente si possono considerare a e b funzioni di t, da cui

x(t) = (a(t) − b(t)x(t))x(t)˙ (44)

Equazione di Bernoulli, pu`o essere integrata

Un modello di gestione delle risorse ittiche

La crescita di una popolazione di pesci, pu`o essere descritta mediante un modello logisti- co del tipo

x(t) = f (x(t)) − νy(t)x(t)˙ (45)

dove f (x) = ax − bx²

e dove il termine νy(t)x(t) misura il prelievo dovuto alla pesca proporzionale

al numero di individui x(t),

e alle risorse impegnate nella pesca y(t)

Per avere una migliore rispondenza al mo- dello reale possiamo considerare la crescita regolata da una funzione

f (x) = x τ + (β − x)x 1 + αx

!

Tuttavia supporremo solo che f sia positiva e che

d dx

f (x) x

!

R ^{0 per x} Q ^{xˆ (46)}

Osserviamo che d

dx

f (x) x

!

= xf⁰(x) − f (x) x²

per cui

xf⁰(x) − f (x) R ^{0 ⇔ x} Q ^xˆ

Il ricavato della pesca `e proporzionale al pe- scato.

Si pu`o stimare nella misura y(t)(νpx(t) − c) p `e proporzionale al prezzo unitario di vendita cy(t) `e il costo delle risorse impiegate.

L’incremento delle risorse impegnate `e pro- porzionale a αy(t)(νpx(t) − c)

per cui

y(t) = αy(t)(νpx(t) − c)˙ (47) Quindi







x(t) = f (x(t)) − νy(t)(t)x(t)˙

y(t) = αy(t)(νpx(t) − c)˙ (48)

E interessante studiare la stabilit`` a del siste- ma.

Il sistema ha un punto di equilibrio in

¯x = c

νp y =¯ f (¯x)

ν¯x (49)

Il sistema linearizzato `e











(x(t) − ¯x)⁰ =f⁰(¯x)(x(t) − ¯x) − ν ¯y(x(t) − ¯x) −

− ν¯x(y(t) − ¯y)

(y(t) − ¯y)⁰ = + α¯yνp(x(t) − ¯x) + α(y(t) − ¯y)(νp¯x − c)

(50)

Posto ξ = x − ¯x , η = y − ¯y, il sistema diventa







ξ(t) = f˙ ⁰(¯x)ξ(t) − ν ¯yξ(t) − ν¯xη(t)

η(t) = αη(t)(νp¯˙ x − c) + α¯yνpξ(t) (51)

la cui matrice dei coefficienti `e f⁰(¯x) − ν ¯y −ν¯x

ανp¯y 0

! 



f⁰(¯x) − ^{f (¯}_¯x^x) −_p^c αp^{f (¯}_¯x^x) 0





(52)

Si ha

det A = αcν ¯y > 0 (53)

quindi se la traccia di A che `e f<sup>0</sup>(¯x) − <sup>f (¯</sup><sub>¯x</sub><sup>x)</sup> `e positiva, allora la matrice ha autovalori con parte reale positiva ed il sistema non `e stabile mentre se la traccia di A che `e f⁰(¯x) − ^{f (¯}_x¯^x) `e negativa, allora la matrice ha autovalori con parte reale negativa ed il sistema `e stabile Se la traccia di A che `e f<sup>0</sup>(¯x) − <sup>f (¯</sup><sub>x¯</sub><sup>x)</sup> `e nulla, allora la matrice ha autovalori nulli; si vede facilmente che la soluzione `e stabile per il sistema linearizzato; non si pu`o concludere per il sistema originale.

Per le ipotesi fatte f⁰(¯x) − ^{f (¯}_¯x^x) R 0 se e solo se x Q ^x;ˆ

infatti si ha f⁰(ˆx)−^{f (ˆ}_xˆ^x) e per la 46 f⁰(¯x)−^{f (¯}_¯x^x)

`e positiva prima e negativa dopo ˆx

Nel caso in cui il sistema sia instabile si pu`o provare che per ¯x − ˆx piccolo esiste un ciclo limite.

Un modello di

ottimizzazione del profitto

Consideriamo una societ`a il cui scopo `e quel- lo di assicurare il massimo utile ai soci.

Supponiamo che gli utili siano proporzionali al capitale investito

Se ogni utile `e distribuito ai soci non `e possi- bile ottenere un incremento dell’utile stesso.

Se si reinveste parte degli utili per aumentare il capitale si pu`o invece far aumentare l’utile successivo.

Il problema `e

Determinare quale parte del profitto deve essere distribuita subito in modo che gli utili distribuiti ai soci su un periodo fissato siano massimi

Il problema `e di natura discreta, tuttavia `e comodo supporre che capitale ed utili siano una funzione continua e derivabile del tempo.

Sia x(t) il capitale di cui dispone la societ`a al tempo t;

Se il rendimento istantaneo `e a in [t, t + ∆t]

gli utili ammonteranno ad ax(t)∆t.

Sia k ∈ [0, 1], esprimiamo l’incremento di ca- pitale ∆x nel periodo [t, t + ∆t] mediante la

∆x = kax∆t (54)

Similmente il dividendo distribuito y(t) `e

∆y = (1 − k)ax∆t (55)

Da cui







x(t) = kax(t)˙

y(t) = (1 − k)ax(t)˙







x(0) = α y(0) = 0

(56)

Si tratta di un modello che richiama il mo- dello di crescita malthusiana (esponenziale).

Si ottiene quindi che

x(t) =αe^akt (57)

y(t) =







(1−k)α

k (e^akt − 1) 0 < k ≤ 1

aαt k = 0 (58)

Se k = 0 si ha redistribuzione dell’intero utile il capitale rimane costante ed uguale ad α Se k = 1 non si ha distribuzione di utile ed il capitale cresce con legge esponenziale.

Assegnato un periodo di tempo fissa- to T come deve essere scelto k in mo- do che sia massimo l’utile distribuito al tempo T ?

Bisogna determinare per quali valori di k si ottiene il massimo di

y(T ) = (1 − k)α

k (e^akT − 1) con 0 < k < 1 (59) Posto ξ = akT la funzione da minimizzare `e

φ(ξ) = αaT − ξ

ξ (e^ξ − 1) con 0 < ξ < aT

Avremo

lim

ξ→0φ(ξ) = αaT lim

ξ→aT φ(ξ) = 0 (61)

inoltre possiamo calcolare che φ⁰(ξ) = aT e^ξ

ξ² −1 + ξ − ξ²

aT + e^−ξ

!

(62)

occorre conoscere il segno di φ⁰ e l’eventuale punto in cui si annulla.

E sufficiente studiare`

ψ(ξ) = −1 + ξ − ξ²

aT + e^−ξ

!

(63)

ed `e utile calcolare

ψ⁰(ξ) = 1 − 2ξ

aT − e^−ξ (64) ψ⁰⁰(ξ) = − 2

aT + e^−ξ (65) Osserviamo ancora che

lim

ξ→0ψ⁰(ξ) = 0 lim

ξ→aT ψ⁰(ξ) = −1 − e^−aT < 0 (66)

lim

ξ→0 ψ(ξ) = 0 lim

ξ→aT ψ(ξ) = −1 + e^−aT < 0 (67)

Possiamo distinguere due casi

2

aT ≥ 1

dalla 65 ψ⁰⁰ ≤ 0

ψ⁰ `e decrescente per la 66 ψ⁰ ≤ 0

per la 64 e la 67 anche ψ ≤ 0 φ⁰ ≤ 0

φ sempre decrescente.

max

ξ≥0 φ(ξ) = φ(0)

2

aT < 1

La 65 si annulla in un punto ξ₀ = ln ^aT₂ `e positiva prima e negativa dopo tale punto.

ψ⁰ ha un massimo in ξ₀ e si annulla (per le 66) in un punto ξ₁ < aT .

ψ `e crescente prima di ξ₁ e decrescente dopo, per cui ψ ammette un punto di massimo in ξ₁ e si annulla (per le 67) in un punto ξ₂, ξ₀ < ξ₁ < ξ₂ < aT .

φ ammette un punto di massimo in ξ₂ ∈ (lnaT

2 , atT )

Modelli di crescita di due specie

in competizione

Consideriamo due specie x e y che condivi- dono le risorse di uno stesso territorio

E ragionevole supporre che`

Ciascuna specie abbia un tasso di crescita di tipo logistico nel caso viva in un ambiente isolato, cio`e







x(t) = (a − Ax(t))x(t)˙ y(t) = (b − By(t))y(t)˙







x(t₀) = x₀ y(t₀) = y₀

(68)

Se si tiene conto dei mutui effetti

il tasso di crescita; della popolazione x `e a − Ax − αy

(diminuisce proporzionalmente a y)

il tasso di crescita della popolazione y `e b − By − βx.

(diminuisce proporzionalmente a x)

Ciascuna specie si sviluppa sottraendo risorse all’altra.

Il sistema che descrive lo sviluppo delle due popolazioni diventa







x(t) = (a − Ax(t) − αy(t))x(t)˙

y(t) = (b − By(t) − βx(t))y(t)˙ (69) con







x(t₀) = x₀

y(t₀) = y₀ (70)

Ove a, b, A, B, α, β sono positivi.

Dalla prima equazione, dividendo per x ed integrando otteniamo che

x(t)˙

x(t) = (a − Ax(t) − αy(t))

Z _x(t) x₀

ds s =

Z _t

t₀(a − Ax(s) − αy(s))ds ln x(t)

x₀ =

Z _t

t₀(a − Ax(s) − αy(s))ds e

x(t) = x₀e

R_t

t0(a−Ax(s)−αy(s))ds

(71)

In maniera simile otteniamo che

y(t) = y₀e

Rt

t0(b−By(s)−βx(s))ds

(72)

Se ne deduce che

x(t), y(t) > 0

Dal sistema 69, per k = max{a, b} che

(x + y)⁰ = (a − Ax(t) − αy(t))x(t) +

+ (b − By(t) − βx(t))y(t) ≤ k(x + y) (73)

Quindi x ed y sono limitate, in quanto

0 ≤ (x + y) ≤ e^kt ≤ e^kT

e quindi esistono in ogni intervallo [0, T ].

Il sistema 69 ammette soluzioni costanti che si ottengono risolvendo il sistema algebrico







0 = (a − Ax − αy)x

0 = (b − By − βx)y (74)

Le soluzioni costanti sono individuate dai pun- ti di intersezione degli assi con le rette

R₁ : (a − Ax − αy) = 0 (75) R : (b − By − βx) = 0 (76)

La retta R₁ interseca gli assi nei punti (ξ, 0) , (0, ¯η)

dove

ξ = a

A η =¯ a α

La retta R₂ interseca gli assi nei punti (¯ξ, 0) , (0, η)

dove

ξ =¯ b

β η = b

B

Le rette R₁ ed R₂ si intersecano nel punto (˜x, ˜y)

dove

˜x = aB − αb

AB − αβ , y =˜ Ab − aβ AB − αβ

Pertanto le soluzioni costanti sono individua- te dai punti

(0, 0) , (0, η) , (ξ, 0) , (˜x, ˜y) (77) L’ultimo punto si considera solo nel caso in cui

1. R₁ ed R₂ non siano parallele (AB − αβ 6= 0)

2. si trovi nel primo quadrante (˜x > 0 , ˜y > 0).

Possiamo disegnare il campo di vettori asso-

Si presentano quattro casi nei quali

1. Prevale la popolazione x

2. Prevale la popolazione y

3. A seconda dei valori iniziali prevale x op- pure y

4. Comunque si scelgano i valori iniziali, la situazione tende ad un unico punto di equilibrio

Nel primo, secondo e quarto caso c’`e un pun- to asintoticamente stabile

Nel terzo ci sono due punti asintoticamente stabili ed un punto instabile

Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizione nel caso in cui la popolazione prevalente

dipenda dai dati iniziali

Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizione

nel caso in cui

la popolazione prevalente sia la seconda

Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizione nel caso in cui le due popolazioni

tendano a raggiungere un equilibrio stabile

Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizione

nel caso in cui la popolazione prevalente sia la prima

Per studiare la stabilit`a delle soluzioni costan- ti possiamo considerare il sistema linearizza- to relativamente ad ognuna delle soluzioni costanti (¯x, ¯y).

Il sistema linearizzato in (¯x, ¯y) `e associato alla matrice

M = a − 2A¯x − α¯y −α¯x

−β¯y b − 2B¯y − β¯x

!

(78)

Per (¯x, ¯y) = (0, 0)

M = a 0 0 b

!

(79)

M ha autovalori positivi e quindi la relativa soluzione `e instabile

Per (¯x, ¯y) = (ξ, 0)

M = a − 2A_A^a −α_A^a 0 b − β_A^a

!

=

= −a −α_A^a 0 β ^_β^b − _A^a

!

=

= −a −α_A^a 0 β(¯ξ − ξ)

!

(80)

M ha autovalori −a e β(¯ξ − ξ), la stabilit`a dipende dalla mutua posizione di ξ e ¯ξ

Per (¯x, ¯y) = (0, η)

M = a − α_B^b 0

−β_B^b b − 2B_B^b

!

=

=





α ^_α^a − _B^{b } 0

−β_B^b −b



 =

= α(¯η − η) 0

−β_B^b −b

!

(81)

M ha autovalori −b e α(¯η − η), la stabilit`a dipende dalla mutua posizione di η e ¯η

Per (¯x, ¯y) = (˜x, ˜y)

M = −A˜x −α˜x

−β˜y −B˜y

!

(82) se indichiamo con D il determinante di M e con T la traccia di M , avremo che

D = ˜x˜y(AB − αβ) T = −(A˜x + B˜y)(< 0) (83) Poich`e si ha sempre

t²

4 − D = (˜xA − ˜yB)² + 4˜x˜yαβ > 0

dal momento che ˜x > 0, ˜y > 0, Gli autovalori di M sono sempre reali e distinti.

Se D > 0 M ha due autovalori con lo stesso segno di T (soluzione stabile)

Se D < 0 M ha due autovalori reali di segno opposto. (soluzione instabile)

Modello di crescita di due popolazioni

in cooperazione

Cooperazione obbligatoria

1. La popolazione x, isolata, decrescerebbe secondo la legge

x(t) = −ax(t)˙ (84)

2. La popolazione y, isolata, decrescerebbe secondo la legge

y(t) = −by(t)˙ (85)

3. Il tasso di crescita della x aumenta pro- porzionalmente ad y, cos`ı che

x(t) = (−a + βy(t))x(t)˙ (86)

4. Il tasso di crescita della y aumenta pro- porzionalmente ad x, cos`ı che

y(t) = (−b + αx(t))y(t)˙ (87)

ne consegue che







x(t) = (−a + βy(t))x(t)˙

y(t) = (−b + αx(t))y(t)˙ (88)

Il sistema ammette come soluzioni costanti (punti critici)

(0, 0) , (a β, b

α)

La stabilit`a pu`o essere studiata linearizzando

∇ (−a + βy)x (−b + αx)y

!

= −a + βy βx αy −b + βx

!

(89)

Per x = 0, y = 0, otteniamo

−a 0 0 −b

!

(90)

La matrice ha autovalori entrambi negativi La soluzione nulla `e asintoticamente stabile.

Per x = _β^a, y = _α^b si ha

0 b_α^β b^α_β 0

!

(91)

La matrice ha autovalori

√

ab , −√

ab

La soluzione nulla `e instabile.

Esempio di cooperazione tra due popolazioni.

Cooperazione facoltativa

1. La x, in assenza della y, crescerebbe se- condo la legge logistica

x(t) = (a − b(x(t))x(t)˙ (92)

2. La y, in assenza della x, crescerebbe se- condo la legge logistica

y(t) = (c − dy(t))y(t)˙ (93)

3. La presenza della y aumenta il tasso di crescita della x proporzionalmente ad x, cos`ı che

x(t) = (a − b(x(t) + γy(t))x(t)˙ (94)

4. La presenza della x aumenta il tasso di crescita della y proporzionalmente ad x, cos`ı che

y(t) = (c − dy(t) + δx(t))y(t)˙ (95)

ne consegue che







x(t) = (a − b(x(t) + γy(t))x(t)˙

y(t) = (c − dy(t) + δx(t))y(t)˙ (96)

Che ammette come punti critici

E₁ = (0, 0) , E₄ = (A D, B

D) (97) E₂ = (a

b, 0) , E₃ = (0, c

d) (98) dove

A = cγ + ad (99)

B = cb + aδ (100)

D = bd − γδ (101)

La matrice Jacobiana per ¯E = (¯x, ¯y) `e

M = a − 2b¯x + γ¯y γ¯x

δ¯y c − 2d¯y + δ¯x

!

(102)

Il punto E₁ = (0, 0) `e un nodo instabile

M = a 0 0 c

!

a, b > 0 (103)

Il punto E₂ = (^a

b, 0) `e un punto sella

M = −a γ^a_b 0 c + δ^a_b

!

− a < 0 c + δa

b > 0 (104)

Il punto E₃ = (0, _d^c) `e un punto sella

M = a + γ_d^c 0 γ_d^c −c

!

a + γc

d > 0 − c < 0 (105)

Il punto E₄ = (^A

D, _D^B) appartiene al primo quadrante solo se D > 0 e perch`e il model- lo abbia senso questa condizione deve essere soddisfatta. In tal caso il punto `e stabile.

M = −b_D^A −γ_D^A δ_D^B −d_D^B

!

(106) e

det M = (bd − γδ)AB = DAB > 0 (107)

mentre la traccia di M `e negativa.

Esempio di cooperazione tra due popolazioni.

Diffusione di un’epidemia di tipo

SIS o SIR

E un modello simile a quello precedente` descrive la diffusione di una epidemia.

SIS significa

S uscettibili (all’infezione) I nfetti

S uscettibili (nuovamente all’infezione) mentre SIR sta ad indicare

S uscettibili I nfetti

Sia x il numero di individui infetti

Sia y il numero di individui suscettibili,

L’accrescimento degli infetti `e proporzionale al numero di incontri tra x e y diminuito della parte di infetti che guariscono.

b `e il tasso di guarigione cio`e il coefficiente che indica la frazione ^guariti

infetti

a `e il tasso di infettivit`a, cio`e la frazione

infettati incontri,

avremo

(SIS)















x(t) = ax(t)y(t) − bx(t)˙ y(t) = −ax(t)y(t) + bx(t)˙ x(t₀) = x₀

y(t₀) = y₀

(108)

I guariti (−bx(t)) rientrano nel numero dei suscettibili (SIS)

mentre nel caso (SIR)

(SIR)















x(t) = ax(t)y(t) − bx(t)˙ y(t) = −ax(t)y(t)˙

x(t₀) = x₀ y(t₀) = y₀

(109)

Nel caso del sistema (SIS),

Il numero degli infetti ed il numero dei su- scettibili ha somma costante uguale al nu- mero totale degli individui della popolazione N

Il sistema pu`o essere ridotto ad una singola equazione tenendo conto che

y = N − x

In tal caso si ha

x(t) = ax(t)(N − x(t)) − bx(t)˙ (110)

e ci si riduce allo studio della solita equazione logistica.

Nel caso del sistema (SIR) osserviamo che x(t) = x₀e

R_t

t0(ay(s)−b)ds

(111) y(t) = y₀e

R_t

t0 −ax(s)ds

(112) e quindi

x, y > 0

Inoltre sommando membro a membro in (SIR) si ottiene

x(t) + ˙˙ y(t) = −bx(t) ≤ 0 (113) t 7→ x(t) + y(t)

`e decrescente e quindi limitata da x(t<sub>0</sub>) + y(t<sub>0</sub>) = N perci`o x, y sono limitate ed esisto- no per ogni t ≥ t₀.

Integrando la 113 e ricordando che per la 111 x, y > 0, si ha che

b

Z _t

t₀ x(s)ds ≤ N − x(t) − y(t) ≤ N (114) l’integrale a primo membro esiste in senso improprio per t → +∞ ed `e convergente.

(si ricordi che x ≥ 0 e che y ≥ 0);

Ne segue che (se x ammette limite all’infini- to) x(t) → 0 per t → +∞.

Possiamo rappresentare le soluzioni del siste- ma (SIR) nel piano (x, y).

Se ϕ rappresenta localmente la x in funzio- ne della y dove x ed y sono le soluzioni del sistema dato, avremo

x(t) = ϕ(y(t)) = 0 e

x(t) = ϕ˙ ⁰(y(t)) ˙y(t) da cui

ϕ⁰(y) = axy − bx

−axy = −1 + b ay Se ne ricava

x = −y + b

a ln y + cost (115) e ci`o consente di disegnare facilmente le or-

Andamento del numero degli individui infetti x e del numero degli individui suscettibili y

nel caso di una epidemia di tipo SIR (piano delle fasi)

Andamento del numero degli individui infetti x e del numero degli individui suscettibili y

nel caso di una epidemia di tipo SIR

Modelli

Preda Predatore di Lotke-Volterra

Descrive l’andamento di due popolazioni una delle quali si nutre dell’altra.

Si fonda sulle seguenti ipotesi:

x(t) `e il numero di individui della popolazione preda

y(t) `e il numero di individui della popolazione di predatori

1. In assenza di predatori x (le pre- de) seguono un modello malthusiano (esponenziale)

x(t) = ax(t)˙

2. Il tasso di crescita a delle prede diminui- sce in proporzione al numero di predatori a − αy(t)

3. In assenza di prede i predatori si estin- guono secondo un modello malthusiano (esponenziale)

y(t) = −by(t)˙

4. Il tasso di accrescimento b dei predato- ri aumenta in maniera proporzionale al numero di prede −b + βx(t)

la dinamica delle due popolazioni pu`o esse- re descritta dal seguente sistema differenziale (Equazioni di Lotka-Volterra)







x(t) = ax(t) − αy(t)x(t)˙

y(t) = −by(t) + βx(t)y(t)˙ (116)

con i dati iniziali







x(t₀) = x₀

y(t₀) = y₀ (117)

ciascuna popolazione cresce proporzionalmen- te al numero dei suoi individui ed il nume- ro degli incontri xy con gli individui dell’altra popolazione aumentano la crescita di una e diminuiscono la crescita dell’altra

1. Il sistema ammette due punti stazionari (

β

,

), (0, 0)

2. Le orbite che giacciono nel primo quadrante sono curve chiuse

3. Le soluzioni del sistema sono periodiche

4. Vale per le soluzioni del sistema un principio di conservazione delle medie in quanto si vede che, posto Si ha

1 T

Z T

0

x(s)ds = b

β , 1 T

Z T

0

y(s)ds = a

α

(118)

Il sistema 116 ha soluzioni costanti (x(t), y(t)) = (ξ, η)

se







0 = aξ − αηξ

0 = −bη + βηξ (119)

cio`e quando

ξ = 0, η = 0

oppure quando

ξ = b

β, η = a α

Il sistema linearizzato relativo a 116 ha come matrice dei coefficienti

a − αy −αx βy −b + βx

!

(120)

Per (x, y) = (0, 0) la matrice diventa a 0

0 −b

!

(121)

e si vede che la soluzione nulla `e instabile.

Per (x, y) = ^_β^b, _α^a la matrice diventa 0 −a

b 0

!

(122)

Gli autovalori sono complessi coniugati con parte reale nulla; il sistema linearizzato `e sta- bile ma non si pu`o concludere per il sistema

Per ottenere informazioni sulle soluzioni del sistema possiamo operare in maniera pi`u di- retta.

Possiamo cio`e tracciare le orbite del sistema, Ovvero le curve descritte parametricamente da







x = x(t)

y = y(t) (123)

Ci`o viene fatto considerando un integrale pri- mo del sistema.

Riscriviamo il sistema nella forma nella forma







x(t) = ax(t) − αy(t)x(t) = φ(x(t), y(t))˙ y(t) = −by(t) + βx(t)y(t) = ψ(x(t), y(t))˙

(124)

Cerchiamo soluzioni che possano essere de- scritte da funzioni y(x) In tal caso si potr`a porre







x(t) = x

y(t) = y(x(t)) = y(x)

e si potr`a ricavare che ˙y(t) = y⁰(x(t)) ˙x(t), per cui sostituendo nella 124

y⁰(x) = φ(x, y(x))

ψ(x, y(x)) = −by(x) + βxy(x) ax − αxy(x)

(125)

Separando le variabili si ottiene y⁰(x) a

y(x) − α

!

=

−b

x + β



(126)

Integrando

a ln y(x) − αy(x) = −b ln x + βx + c (127)

Ora se poniamo

g(y) = a ln y − αy f (x) = −b ln x + βx (128) possiamo riscrivere la 127 come

g(y) = f (x) + c (129)

La seguente figura rappresenta l’andamento della funzione g;

y₀ = a

α (130)

g₀ = g(y₀) = a ln a

α − αa

α = a



ln a

α − 1



> 0 (131) Poich`e `e ragionevole supporre le costanti a, b

La seguente figura rappresenta l’andamento della funzione f + c;

Si ha x₀ = ^b

β f₀ = f (x₀) < 0

Se g⁻¹ `e l’inversa di una opportuna restrizio- ne di g dalla 129

y(x) = g⁻¹(f (x) + c) (132)

Osserviamo (si veda la figura seguente) che 129 ha soluzioni se e solo se

[f₀ + c, g₀] = (−∞, g₀] ∩ [f₀ + c, +∞) 6= ∅ e che

f (x_m) + c = f (x_M) + c = g₀

g(y_m) = g(y_M) = f₀ + c

Inoltre il grafico delle inverse di g (inverse perch`e occorre considerare separatamente di- verse restrizioni) `e dato da

la funzione f `e decrescente per x ∈ [x_m, x₀] ed assume tutti i valori compresi tra g₀ e f₀+ c,

g `e crescente ed invertibile sull’intervallo [y_m, y₀] ed assume valori compresi tra g₀ e f₀ + c.

g⁻¹ `e definita da [f₀+c, g₀] a valori in [y_m, y_M] g⁻¹(f + c) risulta definita e decrescente su [x_m, x₀]

Analogamente su [x₀, x_M] risulta crescente.

Tenendo conto anche dell’inversa relativa al- l’intervallo [y₀, y_M] possiamo disegnare le tra- iettorie del sistema

L’andamento della curva definita dalla 129 si pu`o osservare nella seguente figura

La funzione U (x, y) = a ln y − αy + b ln x − βx ottenuta nella 127, si chiama integrale primo del sistema

Le orbite del sistema costituiscono le sue cur- ve di livello: infatti si ha, proprio dalla 127

U (x, y(x)) = c (133)

Se

U (x(t), y(t)) = 0 (134) allora

U_x(x(t), y(t)) ˙x(t) + U_y(x(t), y(t)) ˙y(t) = 0 (135) da cui

φ(x(t), y(t))

ψ(x(t), y(t)) = x(t)˙

y(t)˙ = −U_x(x(t), y(t)) U_y(x(t), y(t))

(136)

Dalla 136 il gradiente di U `e proporzionale al secondo membro del sistema differenziale in esame;

Il campo di direzioni definito dal sistema ed il campo di direzioni definito dal gradiente di un integrale primo coincidono.

(coincidono le direzioni, non i vettori in quan- to il fattore di proporzionalit`a pu`o non so- lo non essere 1 ma pu`o anche non essere costante.)

Lo studio delle orbite del sistema consente anche di verificare che

1. Le orbite del sistema sono chiuse

2. Le orbite contengono al loro interno il punto stazionario (x₀, y₀)

3. Le orbite sono contenute nel primo quadrante (x_m, x_M, y_m, y_M > 0)

4. le orbite non passano per nessun pun- to stazionario (gli unici punti stazionari diversi da (x₀, y₀) sono sugli assi)

Poich`e il sistema `e autonomo, le traslate di una soluzione sono ancora soluzioni;

cio`e se (x(t), y(t)) risolve il problema allora anche (x(t + T ), y(t + T )) `e soluzione.

Per ogni punto del piano delle fasi passa una ed una sola orbita in virt`u di quanto visto sulle orbite dei sistemi lineari .

Le soluzioni del sistema sono periodiche;

infatti poich`e la curva `e costituita di due tratti che possono essere rappresentati co- me funzioni su un intervallo limitato la sua lunghezza `e finita `,

inoltre

x˙²(t) + ˙y²(t) =

= φ²(x(¯t), y(¯t)) + ψ²(x(¯t), y(¯t)) >

> min

(x − ˜x)² + (y − ˜y)² >  x > 0 , y > 0

{φ²(x, y)+ψ²(x, y)} > m > 0

(137) in quanto φ, ψ si annullano contemporanea-

mente solo nei punti (0, 0) e (˜x, ˜y)