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CORSO di LAUREA in SCIENZE BIOLOGICHE Appello del 24 Giugno 2008

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(1)

CORSO di LAUREA in SCIENZE BIOLOGICHE Appello del 24 Giugno 2008

1) DINAMICA

Una particella di massa M = 2kg , legata ad una fune di lunghezza L= 2m fissata in un punto O di un piano orizzontale, si muove di moto circolare uniforme attorno ad O con velocità v=2 m/s. Si calcoli:

a) La tensione della fune e la reazione normale esercitata dal piano orizzontale sulla particella;

b) Il numero di giri /minuto che la particella può compiere senza che la fune si spezzi, sapendo che la fune si rompe quando la tensione raggiunge il valore di 100 N. Supponendo infine che la tensione valga 100 N e la fune si spezzi , si determini la lunghezza del tratto percorso dalla particella sul piano orizzontale in un intervallo di tempo di 2 secondi , specificando in quale direzione avverrà il moto.

2) FLUIDI

Un corpo di forma irregolare ha volume V = 0.1 m3 e contiene al proprio interno una cavità vuota di volume VC = V/2. Il corpo galleggia in acqua con 2/3 del proprio volume immerso.

a) Calcolare la spinta di Archimede e la densità del corpo;

b) Determinare modulo, direzione e verso della forza Fapp che si deve applicare per mantenere il corpo completamente immerso in acqua.

3) TERMODINAMICA

Una mole di gas perfetto monoatomico compie il seguente ciclo termodinamico:

trasformazione A→B: variazione lineare della pressione con il volume

dallo stato A (con pressione pA = 2 atm e volume VA = 1 litro) allo stato B (con pressione pB = pA/2 e VB = 4 VA);

trasformazione B→C: compressione isobara allo stato C con volume VC = 2VA; trasformazione C→A: compressione isoterma allo stato A.

a) Disegnare il grafico del ciclo nel piano (p,V) e calcolare le coordinate termodinamiche (p,V,T) negli stati A, B e C;

b) Determinare il lavoro W svolto dal gas, il calore Q scambiato e la variazione di energia interna ∆E, per ciascuna trasformazione e per l’intero ciclo.

[N.B. R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol]

4) ELETTROSTATICA

Due lamine piane infinite e parallele , sono elettricamente cariche con densità di carica opposta, di valore assoluto pari a σ = 2 10-6 C/m2. La lamina positiva è posta lungo l’asse y di un sistema d’assi (x,y) e quella negativa passa per il punto A di coordinate ( 1m, 0) .

a) Determinare modulo direzione e verso del campo elettrico nelle regioni interne ed esterne alle lamine e la forza esercitata su una carica puntiforme positiva q = 10-9 C, posta nel punto B di coordinate (1/3 m, 0 ) b) Determinare il lavoro svolto dalla forza elettrostatica per spostare la carica q dal punto B al punto C, lungo

un percorso rettilineo di lunghezza s = 0.3m, inclinato di +30° rispetto all’asse x.

[N.B. ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2 ]

SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE PROCEDIMENTI SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE SENZA DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA.

Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD) qinf.fisica.unimi.it/~paris (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)

(2)

1) SOLUZIONE DINAMICA

a) La forza centripeta che determina il moto circolare di raggio L è la Tensione T della fune, pertanto : T = Mv 2 / L (*) sostituendo i valori numerici si ottiene T= 4 N

La reazione normale esercitata dal piano orizzontale N è uguale alla forza Peso N= Mg = 19.6 N

b) La velocità in corrispondenza alla quale si rompe la fune si ottiene dalla (*) v = ( T L/ M ) ½ = 10 m/s

La lunghezza della circonferenza percorsa è 2 π L = 12.57 m . Poiché la velocità è 10m/s , il numero di giri compiuti in 1 secondo sarebbe 0.7955 e quelli compiuti in 1 minuto sarebbero 47.7 . Il numero di giri affinché la fune non si spezzi deve essere minore di 47.7.

Quando la tensione vale 100 N e la fune si rompe, la particella si muove sul piano orizzontale con velocità di 10 m/s in direzione tangente alla circonferenza . Poiché il piano è perfettamente liscio il moto è rettilineo uniforme e la particella percorrerà un tratto di 20 m.

(3)

2) SOLUZIONE FLUIDI

a) La spinta di Archimede agisce sul volume di fluido spostato, ossia sul volume di corpo immerso, mentre la forza peso agisce sulla massa del corpo (che in questo cosa occupa solo metà del volume totale)

N

s m m m

kg

Vg g

m

FA f f

3 . 653

/ 8 . 9 1 . 3 0 10 2

3 2

2 3

3 3

=

×

×

×

=

=

= ρ

La densità del corpo si ricava dalla condizione di galleggiamento:

3 3 3

3 1.33 10

3 10 4 3

4

2 3

2

m kg m

kg V g

Vg mg F F

f C

C f

g A

×

=

×

=

=

=

=

=

ρ ρ

ρ ρ

b) La forza Fapp deve essere tale da garantire la condizione di equilibrio, con il corspo completamente immerso in acqua:

N

m s kg

m m

Vg Vg V g Vg

F

F F F

F F F

F F F

f C f

C f

app

g A app

g A app

g A app

2

3 3 2 3

10 27 . 3

10 /

8 . 9 1 . 3 0 1

3) 1 2 (

2 ) ( 1

2 0 0

×

=

×

×

×

=

=

=

=

=

=

− +

= + +

ρ ρ ρ

ρ ρ

r r r

La forza Fapp è diretta verticalmente verso il basso con intensità 327 N.

(4)

3) SOLUZIONE TERMODINAMICA a) Le coordinate termodinamiche nel piano (p,V) sono:

p

V

VA

VB

A

B C

A

C V

V =2 2

C A B

p p p = =

pA

p

V

VA

VB

A

B C

A

C V

V =2 2

C A B

p p p = =

pA

stato A:

K

moleK J m mole m

N nR V p T

m l

m N atm

p

A A A A A

07 . 24

/ ) 31 . 8 /( 1 ) 10 10

2 (

/ 10 1

/ 10 2 2

3 3 2 5

3 3

2 5

=

×

×

=

=

=

=

×

=

=

V

stato B:

K T

nR V p nR p V

nR V p

m l

V

m N atm

p p

A A

A A

A B B B

A B

A B

13 . 48 2 / 2 / ) 2 4 (

/

10 4 4 4

/ 10 1 1 2 /

3 3

2 5

=

=

=

=

=

×

=

=

=

×

=

=

=

T V

stato C:

V

K T

T

m l

V

m N atm

p p

A C

A C

A C

07 . 24

10 2 2 2

/ 10 1 1 2 /

3 3

2 5

=

=

×

=

=

=

×

=

=

=

b) Calcolo di ∆Eint, Q e W per le tre trasformazioni:

trasformazione A→B:

J V

p V p V p V p RT W E Q

J V

V p V p

p V V p W p

J K moleK

J RT

T T R T nc E

A A A

A A A A A A

A A A

A A

A A B B A

A A

B V

4 750 15 4

9 2

3 4

9 2

3

4 450 9 2

) 4 ( ) 2 / (

2

) ( ) (

300 07 . 24 /

31 . 2 8 3 2

) 3 2 (

3

int int

=

= +

= +

= +

=

=

=

×

= +

×

= +

=

×

×

=

=

=

=

trasformazione B→C:

J V

p V

p V p V

p RT W

Q E

J K

moleK J

RT T

T R T nc

J V

p V p V

V V p W

A A A

A A A A

A A

A B

C P

A A A A A

B C B

2 300 3 2

5 2

5

500 07

. 24 /

31 . 2 8 5 2

) 5 2 (

5

200 )

4 2 2 ( ) (

int = = + = + = =

=

×

×

=

=

=

=

=

=

×

=

×

= Q

trasformazione C→A:

J K

moleK J

V nRT nRT V

V nRT V V dV

pdV nRT W

E

A A

A A C

A A A

C A A

C

6 . 138 2 ln 07 . 24 /

31 . 8

2 2 ln

ln ln

int 0

=

×

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Q

Per l’ intero ciclo:

J J

J RT

V V p

nRT V V p V p

pdV V

V p V p

V p W p

E

A A A A C A A A A A

C

A C B C B A B B A

4 . 111 6 . 138 250 2 4 ln

ln 5 4

9

) (

) 2 (

) (

) (

int 0

=

=

=

=

=

×

×

= +

=

=

Q

(5)

4) SOLUZIONE ELETTROSTATICA

a) Il campo elettrico prodotto da una distribuzione piana infinita, uniformemente carica, è costante, perpendicolare alla superficie della lamina, con verso uscente (entrante) se la lamina è carica positivamente (negativamente).

Il modulo del campo vale: E = σ/2ε0.

Da ciò segue che per due lamine parallele, infinitamente estese ed uniformemente cariche con densità opposte di segno (ma uguali in valore assoluto):

E = 0 nelle regioni esterne alle lamine;

E = σ/ε0 (con verso dalla lamina positiva a quella negativa), nella regione interna.

Nel caso in esame:

E = σ/ε0 = (2 10-6 C/m2)/ (8.85 10-12 C2/Nm2) = 0.23 x 106 N/C

La forza esercitata sulla carica q è diretta perpendicolarmente alle lamine, con verso uscente dalla lamina positiva e vale:

F = qE = 10-9C × 0.23 x 106 N/C = 0.23 10-3 N

b) Il lavoro fatto dalla forza elettrostatica (costante) lungo il percorso s vale:

J 10 598

Nm 10 0.0598

2 0.3m 3 N

10 0.23

30 cos

7 -

3 - 3 -

×

=

×

=

×

×

×

=

°

=

=F s Fs L r r

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