Esercizio 1
Dimostrare le leggi di De Morgan:
(A ∪ B)C = AC ∩ BC (A ∩ B)C = AC ∪ BC
Svolgimento. Siano A e B sottoinsiemi di un insieme ambiente X . Per provare che (A ∪ B)C = AC∩ BC, si dimostra che hanno gli stessi elementi. Sia infatti x ∈ X . Allora
x ∈ (A ∪ B)C ⇔ x /∈ A ∪ B ⇔ x /∈ A e x /∈ B ⇔
⇔ x ∈ AC e x ∈ BC ⇔ x ∈ AC∩ BC Similmente, per la seconda uguaglianza, dato x ∈ X :
x ∈ (A ∩ B)C ⇔ x /∈ A ∩ B ⇔ x /∈ A o x /∈ B ⇔
⇔ x ∈ AC o x ∈ BC ⇔ x ∈ AC∪ BC
Esercizio 2
Si consideri l’insieme X = Z × (Z \ {0}). Si dimostri che ∼ `e una relazione di equivalenza su X .
(a, b) ∼ (c, d ) ⇔ a · d = b · c
Svolgimento. Per verificare che ∼ `e una relazione d’equivalenze, si dimostra che `e riflessiva, transivita, simmetrica.
I Riflessivit`a:
Dato un qualunque elemento (a, b) ∈ X , si ha ab = ba. Quindi (a, b) ∼ (a, b).
Esercizio 2 (cont.)
I Transitivit`a:
Siano (a, b), (c, d ), (e, f ) elementi qualunque di X , e si assuma che (a, b) ∼ (c, d ) e (c, d ) ∼ (e, f ). Questo significa ad = bc e cf = de.
Moltiplicando la prima uguaglianza per f e la seconda per b, si ottengono le uguaglianze adf = bcf e bcf = bde, da cui adf = bde.
Poich´e d 6= 0, si pu`o dedurre af = be, cio`e (a, b) ∼ (e, f ).
I Simmetria:
Siano (a, b), (c, d ) elementi qualunque di X , e si assuma (a, b) ∼ (c, d ), cio`e ad = bc. Questo significa cb = da, ovvero (c, d ) ∼ (a, b).
Esercizio 3
Sia z ∈ C. Si dimostri che z = ¯z ⇔ Rez = z.
Svolgimento. Sia z = a + ib, con a, b ∈ R. Allora ¯z = a − ib.
Pertanto, se z = ¯z, si ha a + ib = a − ib, da cui b = 0, cio`e z = a = Rez.
Viceversa, se Rez = z, segue b = 0, cio`e z = ¯z.
Esercizio 4
Mettere in forma algebrica oppure in forma trigonometrica, e quando possibile in entrambe le forme, i seguenti numeri complessi:
(1)
z = 2 + i
i + 1 =(2 + i )(i − 1)
(i + 1)(i − 1) =−3 + i
−2 =3 2 −1
2i
Per provare a cercare la forma trigonometrica, si calcola anzitutto il modulo del numero:
|z| = 3 2 −1
2i
= r9
4 +1 4 =
√10 2 Quindi
z =
√10 2
2
√10 3 2 − 2
√10 1 2i
=
=
√10 2
3
√10− 1
√10i
=
√10
2 (cos θ + i sin θ)
Esercizio 4 (cont.)
dove
cos θ = 3
√10, sin θ = − 1
√10
(2) z = (1 −√ 3i )10:
|1 −√ 3i | =√
1 + 3 = 2 quindi, per ottenere la forma trigonometrica di z:
z =
"
2 1 2 −
√3 2 i
!#10
= 210
cos5
3π + i sin5 3π
10
=
= 210
cos50
3 π + i sin50 3 π
= 210
cos2
3π + i sin2 3π
Partendo da quest’ultimo termine, si ottiene la forma algebrica:
Esercizio 4 (cont.)
z = 210 −1 2 +
√3 2 i
!
= −29+ 29√ 3i
(3)
z =(1−i )(1+i )76 = [(1+i )(1−i )](1−i )6(1−i )77 = (1−i )2713 =217
√2 cos74π + i sin74π13
=
=
√2
27 cos914π + i sin914π = √272 cos34π + i sin34π =
=
√2 27
−
√2
2 +
√2 2 i
= −217 +217i (4)
z =
√2
3−i+1i10
=2(√3+i
3+1 − i10
= 12√
3 +12i − i10
=
= √
3
2 −12i10
= cos116π + i sin116π10
= cos553π + i sin553π =
= cos13π + i sin13π =
= 12+
√3 2 i
Esercizio 4 (cont.)
(5)
z = (1 + i )5=√
2 cosπ4 + i sinπ45
= 4√
2 cos54π + i sin54π =
= 4√ 2
−
√ 2 2 − i
√ 2 2
= −4 − 4i (6)
z = (1 + i√
3)5· (i − 1)7=h 2
1 2+
√ 3 2 ii5h√
2
−√12+√i
2
i7
=
= 28√
2 cosπ3 + i sinπ35
cos34π + i sin34π7
=
= 28√
2 cos53π + i sin53π
cos214π + i sin214π =
= 28√
2 cos53π + i sin53π
cos54π + i sin54π =
= 28√
2 cos3512π + i sin3512π = 28√
2 cos1112π + i sin1112π =
= 28√
2 cos1112π + i 28√
2 sin1112π
Esercizio 5
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false (z indica una variabile complessa):
(1) Se |z| = 1 allora z = ±1.
Risposta. Falso, perch´e anche |i | = 1.
(2) z `e immaginario puro se e solo se z2`e reale e negativo.
Risposta. Vero. Infatti
z `e immaginario puro ⇔ z 6= 0 e un’argomento di z `e π2 o 32π ⇔
⇔ z 6= 0 e un argomento di z2`e π ⇔
⇔ z `e reale negativo (3) i27 `e reale.
Risposta. Vero: i27 = −7.
(4) z4+ 4 ha i ± 1 come uniche radici non reali.
Risposta. Falso. Le radici di z4+ 4, cio`e i numeri z tali che z4= −4, hanno argomenti π4,3π4,5π4,7π4, si tratta dunque di quattro radici non reali.
Richiami sulle relazioni
Sia R una relazione binaria definita sull’insieme X . R `e:
I riflessiva se per ogni x ∈ X si ha xRx
I transitiva se per ogni x , y , z ∈ X tali che xRy e yRz si ha anche xRz
I simmetrica se per ogni x , y ∈ X tali che xRy si ha anche yRx
I antisimmetrica se per ogni x , y ∈ X tali che xRy e yRx si ha x = y ; in altre parole, se dati x , y ∈ X con x 6= y , non possono valere entrambe le relazioni xRy e yRx
Relazioni d’equivalenza e d’ordine
I Una relazione riflessiva, transivita e simmetrica si dice relazione d’equivalenza
I Una relazione riflessiva, transitiva e antisimmetrica si dice relazione d’ordine
I Un ordine R si dice totale se per ogni x , y ∈ X almeno una delle due relazioni xRy e yRx vale
I Se l’ordine non `e totale, si sottolinea (talvolta) dicendo che `e parziale Questo vuol dire che esistono almeno due elementi inconfrontabili rispetto al’ordine R, cio`e tali che non vale n`e xRy , n`e yRx Quando una relazione d’ordine `e denotata con un simbolo del tipo ≤, allora una notazione del tipo
x < y significa
x ≤ y e x 6= y
Esempi
Siano A, B due insiemi, e siano
I ≤A relazione d’ordine su A
I ≤B relazione d’ordine su B
Si definiscono due relazioni d’ordine sul prodotto cartesiano A × B:
l’ordine prodotto e l’ordine lessicografico.
L’ordine prodotto
L’ordine prodotto ≤A×B `e definito ponendo, per ogni (a, b), (a0, b0) ∈ A × B:
(a, b) ≤A×B (a0, b0) ⇔ a ≤Aa0 e b ≤B b0 Si tratta effettivamente di un ordine:
I riflessivit`a: dato un qualunque elemento (a, b) ∈ A × B si ha a ≤Aa e b ≤B b (perch´e ≤A e ≤B sono relazioni riflessive), e quindi (a, b) ≤A×B (a, b)
L’ordine prodotto
I transitivit`a: siano (a, b), (a0, b0), (a00, b00) ∈ A × B, e si assuma che (a, b) ≤A×B (a0, b0) e (a0, b0) ≤A×B (a00, b00) Questo vuol dire che:
a ≤Aa0, b ≤B b0, a0≤Aa00, b0≤B b00 Poich´e ≤A e ≤B sono relazioni transitive, segue che
a ≤A a00 e b ≤B b00 cio`e
(a, b) ≤A×B (a00, b00)
L’ordine prodotto
I antisimmetria: siano (a, b), (a0, b0) ∈ A × B tali che (a, b) ≤A×B (a0, b0) e (a0, b0) ≤A×B (a, b) ci`o che significa
a ≤A a0, b ≤B b0, a0 ≤Aa, b0≤B b Poich´e le relazioni ≤A e ≤B sono antisimmetriche, segue
a = a0, b = b0 cio`e
(a, b) = (a0, b0)
L’ordine prodotto
Se A e B hanno almeno due elementi, l’ordine ≤A×B non `e totale:
Presi due elementi distinti di A, per l’antisimmetria di ≤A non `e possibile che ognuno sia ≤A dell’altro. Quindi esistono a, a0∈ A tali che a Aa0. Similmente, esistono b, b0∈ B tali che b B b0. Di conseguenza
(a, b0) A×B (a0, b) e (a0, b) A×B (a, b0)
L’ordine lessicografico
L’ordine lessicografico ≤lex `e definito ponendo per ogni (a, b), (a0, b0) ∈ A × B:
(a, b) ≤lex (a0, b0) ⇔ a <Aa0; oppure a = a0 e b ≤B b0 Si tratta effettivamente di una relazione d’ordine.
I riflessivit`a: dato un qualunque elemento (a, b) ∈ A × B, si ha a = a e b ≤B b
per la riflessivit`a di ≤B. Allora
(a, b) ≤lex(a, b)
L’ordine lessicografico
I transitivit`a: Siano (a, b), (a0, b0), (a00, b00) ∈ A × B tali che (a, b) ≤lex (a0, b0) e (a0, b0) ≤lex(a00, b00) Ci`o significa che
[a <A a0 o (a = a0 e b ≤B b0)]
e
[a0<Aa00o (a0= a00 e b0≤B b00)]
Queste relazioni generano quattro casi da considerare:
•1: a <Aa0<Aa00. Allora per la transitivit`a di ≤A segue a ≤Aa00. Inoltre a 6= a00, altrimenti a ≤Aa0≤Aa e dunque, sempre per la transitivit`a di ≤A, seguirebbe a = a0, contraddizione. Pertanto a <Aa00, da cui
(a, b) ≤lex (a00, b00)
L’ordine lessicografico
•2: a <Aa0, a0= a00, b0≤B b00. Allora basta la disuguaglianza a <A a00 per concludere
(a, b) ≤lex (a00, b00)
•3: a = a0, b ≤B b0, a0<Aa00. Allora basta la disuguaglianza a <Aa00 per concludere
(a, b) ≤lex (a00, b00)
•4: a = a0, b ≤B b0, a0= a00, b0≤B b00. Da ci`o segue che a = a00 e, per la transitivit`a di ≤B, che b ≤B b00, e quindi ancora
(a, b) ≤lex (a00, b00)
L’ordine lessicografico
I antisimmetria: Siano (a, b), (a0, b0) ∈ X tali che (a, b) ≤lex (a0, b0) e (a0, b0) ≤lex (a, b) cio`e
[a <A a0 o (a = a0 e b ≤B b0)]
e
[a0 <A a o (a0= a e b0≤B b)]
Di nuovo, ci`o produce quattro casi:
•1: a <Aa0 e a0<Aa. Questo caso `e impossibile, perch´e per l’antisimmetria di ≤A produrrebbe a = a0, una contraddizione.
•2: a <Aa0, a0= a, b0≤B b. Anche questo caso `e impossibile: dalle prime due relazioni si ha a <Aa, contraddizione.
•3: a = a0, b ≤B b0, a0<Aa. Anche questo caso `e impossibile, ottenendo di nuovo la contraddizione a <A a.
•4: a = a0, b ≤B b0, a0= a, b0≤B b. Oltre a a = a0, dalla seconda e quarta relazione, per l’antisimmetria di ≤B, si ottiene anche b = b0, per cui
(a, b) = (a0, b0)
L’ordine lessicografico
Se entrambi ≤A e ≤B sono ordini totale, anche ≤lex risulta essere totale.
Si considerino infatti due elementi (a, b), (a0, b0) ∈ A × B. Poich´e ≤A `e totale, si ha
a ≤Aa0 o a0≤Aa e quindi
a <Aa0 o a = a0 o a0 <Aa
•1: Se a <Aa0, allora (a, b) ≤lex (a0, b0)
•2: Se a0 <A a, allora (a0, b0) ≤lex(a, b)
•3: Resta il caso a = a0. Poich´e ≤B `e totale, si ha b ≤B b0 oppure b0≤B b. Nel primo caso (a, b) ≤lex (a0, b0), nel secondo caso (a0, b0) ≤lex (a, b).
In tutti i casi si `e dimostrato che (a, b) e (a0, b0) sono ≤lex-confrontabili, dunque ≤lex `e totale.
Osservazione
Se (a, b) ≤A×B (a0, b0), allora anche (a, b) ≤lex (a0, b0).
Infatti, (a, b) ≤A×B (a0, b0) significa a ≤A a0 e b ≤B b0, e si hanno due casi, a seconda se a <A a0 o a = a0. Nel primo caso si deduce subito che (a, b) ≤lex (a0, b0); nel secondo caso tale conclusione si ottiene usando il fatto che b ≤B b0.
Il viceversa invece non vale.
Per esempio, considerando su R l’usuale relazione d’ordine ≤, si ha in R × R:
(0, 1) ≤lex (1, 0), ma (0, 1) R×R(1, 0)
Relazioni d’equivalenza: un esempio
Sia X = R2\ {(0, 0)}. Su X si definisca una relazione ∼ ponendo
(x , y ) ∼ (x0, y0) ⇔
x = x0 = 0 oppure
y x = yx00
∼ `e una relazione di equivalenza:
I riflessivit`a: Sia (x , y ) ∈ X . Allora:
•1: se x = 0 segue (x , y ) ∼ (x , y ), dalla prima clausola della definizione di ∼
•2: se x 6= 0, si ha yx = yx e quindi ancora (x , y ) ∼ (x , y ) dalla seconda clausola della definizione di ∼
Esempio (cont.)
I transitivit`a: Siano (x , y ), (x0, y0), (x00, y00) ∈ X tali che (x , y ) ∼ (x0, y0) e (x0, y0) ∼ (x00, y00).
Se x = 0, da (x , y ) ∼ (x0, y0) segue x0= 0, e allora da (x0, y0) ∼ (x00, y00) segue che anche x00= 0; pertanto
(x , y ) ∼ (x0, y0). Se invece x 6= 0, allora anche x0 6= 0 e inoltre
y
x = yx00; pertanto anche x006= 0 e xy00 = yx0000; di nuovo, (x , y ) ∼ (x00, y00).
I simmetria: Siano (x , y ), (x0, y0) ∈ X tali che (x , y ) ∼ (x0, y0). Se x = 0 segue che x0 = 0 e quindi anche (x0, y0) ∼ (x , y ); altrimenti,
y
x = yx00, e ancora (x0, y0) ∼ (x , y ).
Esempio (cont.)
Dato (x , y ) ∈ X la classe d’equivalenza di (x , y ) `e:
I se x = 0: l’insieme di tutti i punti (x0, y0) ∈ X tali che x0= 0, cio`e la retta verticale passante per l’origine, tranne l’origine (che non appartiene a X )
I se x 6= 0: l’insieme di tutti i punti (x0, y0) ∈ X tali che yx00 = yx, cio`e la retta per l’origine di coefficiente angolare yx, tranne l’origine Quindi le classi di equivalenza di ∼ sono tutte le rette passanti per l’origine, private dell’origine medesima (che non `e un elemento di X ) La circonferenza unitaria S di centro l’origine interseca ogni classe d’equivalenza di ∼ esattamente in un punto. I punti di S possono quindi essere presi come rappresentanti delle classi d’equivalenza di ∼: c’`e quindi una corrispondenza naturale tra l’insieme quoziente X /∼ (insieme delle rette per l’origine, a eccezione dell’origine medesima) e S (insieme dei punti che distano 1 dall’origine).
