Sia data

(1)

Es. 8.

Sia data

f _n (x) = (tan(x)) ⁿ

cos ² (x) ∀ x ∈

− π 2 , π

2 studiare la convergenza puntuale e uniforme di {f _n } _n>0

discutere l’applicazione del teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale negli intervalli [0, ^π ₆ ] e [0, ^π ₄ ].

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Successioni di funzioni Analisi II 46 / 88

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Es. 9.

Sia

f _n (x) =



 

 

1 n

²

x ∈ [0, n ² ] 0 se x < 0 n se x > n ² .

Calcolare il limite puntale f di {f _n } _n∈N su R. La convergenza `e uniforme?

Discutere la convergenza uniforme sugli intervalli del tipo [0, a] con a > 0.

(9)

(10)

(11)

(12)

Convergenza uniforme.

(13)

Convergenza uniforme su [0, a].

(14)

Notazione: dato A ⊂ R, indichiamo con χ A la funzione caratteristica di A χ _A : R → R data da χ A (x) =

( 1 se x ∈ A, 0 altrimenti.

Esercizio 11. Calcolare il limite puntuale e discutere la convergenza uniforme di

f _n (x) = (−1) ⁿ e ⁻

^x2+1n3

χ _[n−1,n] (x).

Dimostrare che si ha convergenza uniforme su [0, a] per ogni a > 0.

(15)

Convergenza puntuale:

(16)

(17)

(18)

(19)

Es. 12.

Studiare, al variare di α ∈ R, il limite puntuale e discutere la convergenza uniforme di

f _n (x) = n ^α arctan x

n ² χ _]−n,n[ (x) .

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

Es. 15.

Convergenza puntuale e uniforme di f _n (x) = log

1 + n x 7

_n x 7

_n−1

, x ∈ [0, +∞).

(32)

(33)

(34)

Sia data

Es. 8.

Sia data

f n (x) = (tan(x)) n

cos 2 (x) ∀ x ∈ 

− π 2 , π

2



studiare la convergenza puntuale e uniforme di {f n } n>0

discutere l’applicazione del teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale negli intervalli [0, π 6 ] e [0, π 4 ].

Es. 9.

Sia

f n (x) =



 

 

1

n

x ∈ [0, n 2 ] 0 se x < 0 n se x > n 2 .

Calcolare il limite puntale f di {f n } n∈N su R. La convergenza `e uniforme?

Discutere la convergenza uniforme sugli intervalli del tipo [0, a] con a > 0.

Convergenza uniforme.

Convergenza uniforme su [0, a].

Notazione: dato A ⊂ R, indichiamo con χ A la funzione caratteristica di A χ A : R → R data da χ A (x) =

( 1 se x ∈ A, 0 altrimenti.

Esercizio 11. Calcolare il limite puntuale e discutere la convergenza uniforme di

f n (x) = (−1) n e −

χ [n−1,n] (x).

Dimostrare che si ha convergenza uniforme su [0, a] per ogni a > 0.

Convergenza puntuale:

Es. 12.

Studiare, al variare di α ∈ R, il limite puntuale e discutere la convergenza uniforme di

f n (x) = n α arctan x

n 2 χ ]−n,n[ (x) .

Es. 15.

Convergenza puntuale e uniforme di f n (x) = log 

1 + n  x 7

 n   x 7

 n−1

, x ∈ [0, +∞).

f _n (x) = (tan(x)) ⁿ

cos ² (x) ∀ x ∈

studiare la convergenza puntuale e uniforme di {f _n } _n>0

discutere l’applicazione del teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale negli intervalli [0, ^π ₆ ] e [0, ^π ₄ ].

f _n (x) =

x ∈ [0, n ² ] 0 se x < 0 n se x > n ² .

Calcolare il limite puntale f di {f _n } _n∈N su R. La convergenza `e uniforme?

Notazione: dato A ⊂ R, indichiamo con χ A la funzione caratteristica di A χ _A : R → R data da χ A (x) =

f _n (x) = (−1) ⁿ e ⁻

χ _[n−1,n] (x).

f _n (x) = n ^α arctan x

n ² χ _]−n,n[ (x) .

Convergenza puntuale e uniforme di f _n (x) = log

1 + n x 7

_n x 7

_n−1