Esercitazione su relatività ristretta

(1)

Esercitazione su relatività ristretta

1) Un flash luminoso è misurato da un osservatore in O a t=5x10^-4s in x =100 km, y=10 km, z=1km. Quali sono le coordinate viste da un osservatore O’ in moto rettilineo uniforme rispetto a O con v = -0.8 c lungo l’asse x?

2) Una barra rigida è inclinata di 45° rispetto all’asse x del sistema di riferimento SR in cui esso è in quiete. Nel SR’ che si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v diretta lungo x, la barra appare inclinata di 30° rispetto all’asse x’. Qual è il valore di v?

3) Il raggio della nostra galassia è 3×10²⁰ m, ossia di circa 3×10⁴ anni-luce. Una persona può in linea principio viaggiare dal centro all’estremità della galassia durante una vita media normale? Spiegare.

Quale velocità le sarebbe necessaria per fare il viaggio in 30 anni (tempo proprio)?

4) Un treno lungo 200 m in corsa a velocità v=0.9 c attraversa una galleria lunga 100 m aperta ad entrambi gli estremi. E’ possibile chiudere con due porte le estremità della galleria in modo che il treno si trovi completamente chiuso all’interno prima di colpire la porta di uscita? Discutere la situazione dal punto di vista di un viaggiatore sul treno e di un osservatore fermo sui binari della galleria.

5) Due navi spaziali ciascuna di lunghezza propria 100 m passano l’una accanto all’altra dirigendosi in versi opposti. Se un astronauta posto sulla parte anteriore della nave misura un intervallo di tempo di 2.5×10^-6 s per il passaggio dell’altra nave davanti a lui, qual è la velocità relativa delle navi spaziali?

Quale intervallo di tempo viene misurato sulla prima nave durante il passaggio della parte anteriore della seconda nave dalla parte anteriore a quella posteriore della prima nave?

(2)

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 1 Paolo Maestro

6) Paradosso dei gemelli - Nell’anno 2100, l’astronauta Ziggy parte a bordo dell’astronave “Stardust” alla volta del sistema planetario della stella nana rossa Trappist-1 scoperta nel 2017 e distante 40 anni-luce dalla Terra. Prima di partire Ziggy saluta il suo gemello Marty che rimane ad attenderlo sulla Terra.

L’astronave viaggia a velocità 0.8 c, raggiunge i 7 esopianeti di Trappist-1 e torna sulla Terra. Quanti anni avranno al ritorno Ziggy e Marty supponendo che fossero ventenni alla partenza?

7) Un muone con vita media 2×10^-6s è prodotto in uno sciame atmosferico ad un altezza di 9000 m sul livello del mare. Quando è creato ha velocità 0.998 c ed ha direzione perpendicolare al suolo. Qual è la distanza media che percorre prima di decadere misurata da un osservatore solidale alla Terra?

Calcolare inoltre a che distanza si trova la terra nel sistema di quiete del muone, quando esso decade.

8) Verificare che l’equazione di un’onda e.m. è invariante per trasformazioni di Lorentz

9) Una verifica sperimentale delle leggi di trasformazione di massa ed energia fu fatta da Compton, misurando la lunghezza d’onda di raggi X diffusi da un materiale (carbone) in funzione dell’angolo di diffusione. Assumendo l’ipotesi Planck dei quanti di luce (fotoni), il processo si può interpretare come l’urto elastico di un fotone di energia hν su un elettrone inizialmente fermo. Calcolare l’energia e la lunghezza d’onda del fotone dopo l’urto in funzione dell’angolo di diffusione.

10) Un pione di energia 1.5 GeV decade in un muone e un neutrino Calcolare l’impulso del muone nel sistema del centro di massa (SCM).

Calcolare inoltre l’impulso nel sistema del laboratorio (LAB) sapendo che il muone nel SCM è emesso ad un angolo di 20° rispetto alla direzione di moto del pione.

π⁻ →µ⁻ +ν_µ

(3)

11) Sapendo che la massa a riposo di un elettrone è 9.109×10^-31kg, calcolare l’energia a riposo in J e eV.

Calcolare il momento di un elettrone che ha energia cinetica 1 MeV.

12) Il mesone K⁰ decade a riposo in due π₀. Se la massa a riposo del K⁰ è 498 MeV/c² e quella del π₀ 135 MeV/c², qual è l’energia di ciascun π₀ ?

13) Consideriamo l‘urto di due particelle m₁ e m₂ .Calcolare la massa invariante nei due seguenti casi:

A) La particella m₂ è ferma nel sistema del LAB (collisione a targhetta fissa) B) Le due particelle hanno impulsi uguali e opposti (collisore di particelle)

In entrambi i casi si assuma E₁>>m₁ e m₂ . Considerare come esempio numerico E₁=100 GeV.

14) Calcolare l’energia di soglia delle seguenti reazioni considerando come bersaglio la seconda particella dello stato iniziale

15) Un antiprotone di impulso 0.65 GeV/c collide su una targhetta di idrogeno.

E’ possibile che avvenga la reazione ? Spiegare il motivo.

16) Consideriamo la reazione p+p → Δ⁺+p . Che energia deve avere il protone per produrre una Δ⁺, nel sistema del CM e del LAB? (Massa Δ+ = 1238±100 MeV/c², massa protone = 938 MeV/c²)

γ + N → e⁺ + e⁻+ N

π

⁻+ p → Λ⁰ + K⁰ p + p → p + p + p + p

p + p → Λ + Λ

(4)

17) Il Bevatron di Berkeley è stato progettato per produrre antiprotoni tramite la reazione

Qual è l’energia con cui un protone deve colpire un protone a riposo per creare una coppia protone- antiprotone oltre alle particelle originali?

Se invece i protoni fossero accelerati in un collider, quale sarebbe la loro energia minima per produrre le 4 particelle dello stato finale?

18) BaBar è un detector progettato per studiare i decadimenti del mesone B. Che distanza media L percorrono i mesoni B con momento p = 3 GeV/c nel detector prima di decadere sapendo che la vita media è τ_o= 1.54 ps e la massa m_B= 5.28 GeV/c²

19) Calcolare √s per due protoni di energia pari a 300 GeV che collidono ad un angolo di 60° nel sistema di laboratorio. A che velocità si muove il centro di massa ?

20) Si osserva il decadimento di una particella in due fotoni. L'angolo di apertura è 20° e le energie dei due fotoni sono misurate essere 100 MeV e 150 MeV rispettivamente. Determinare la massa della particella originaria e il momento nel sistema del laboratorio prima del decadimento

p + p → p + p + p + p

(5)

Es.1 Trasformazioni di Lorentz

Un flash luminoso è misurato da un osservatore in O a t=5 10^-4s in x = 100 km y=10 km, z=1km. Quali sono le coordinate viste da un osservatore O’ in moto rettilineo uniforme rispetto a O con v = -0.8 c lungo l’asse x?

x ' = γ ( x − β ct )

y' = y z' = z

t ' = γ t − β c x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

β = v

c = −0.8 γ = 1

1− β

²

^{= 1.67}

x ' = γ ( x − β ct ) ^{= 1.67 10} (

⁵

+ 0.8⋅1.510

⁵

) ^{= 367km}

y' = y = 10km z' = z = 1km t ' = γ t − β

c x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 1.67 5⋅10 (

⁻⁴

+ 2.7 ⋅10

⁻⁴

) ^{= 12.8⋅10}

⁻⁴

^s

Soluzione

(6)

Es. 2 Contrazione delle lunghezze

Una barra rigida è inclinata di 45° rispetto all’asse x del sistema di riferimento SR in cui esso è in quiete. Nel SR’ che si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v diretta lungo x, la barra appare inclinata di 30° rispetto all’asse x’.

Qual è il valore di v?

L sin

θ = L

^'

sin θ

^' L cos

θ = γ

L^'

cos θ

^'

⎧ ⎨

⎪

⎩⎪

tan θ = γ tan θ

^'

1− β

²

= tan θ

^'

tan θ β = 1− tan θ

^'

tan θ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= 1− tan 30°

tan 45°

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= 0.816

Soluzione

(7)

Es.3 Il raggio della nostra galassia è 3×10²⁰ m, ossia di circa 3×10⁴ anni-luce. Una persona può in linea principio viaggiare dal centro all’estremità della galassia durante una vita media normale? Spiegare. Quale velocità le sarebbe necessaria per fare il viaggio in 30 anni (tempo proprio)?

Soluzione

Sia τ₀ il tempo proprio della persona che si muove a velocità v rispetto al centro della galassia. Per un osservatore solidale al centro, il tempo T necessario alla persona per arrivare all’estremità della galassia a distanza R è

Il tempo T è dilatato quindi

Se invece considerassimo una vita media normale di 80 anni otterremo β=0.9999964

T = γ τ

₀

R

c γ τ

₀

⁼ β

β = 1

1+ c

²

τ

₀²

R

²

= 1

1+ 30

30000

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= 0.9999995 R

T = v

(8)

Es.4 Un treno lungo 200 m in corsa a velocità v=0.9 c attraversa una galleria lunga 100 m aperta ad entrambi gli estremi. E’ possibile chiudere simultaneamente con due porte le estremità della galleria in modo che il treno si trovi completamente chiuso all’interno della galleria prima di colpire la porta di uscita? Discutere la situazione dal punto di vista del macchinista sul treno e di un ferroviere fermo sui binari della galleria.

Soluzione

La velocità del treno è β=0.9 e quindi il fattore di Lorentz γ=2.295.

La lunghezza del treno è L’=200 m nel suo sistema di riferimento SR’.

La lunghezza della galleria è L_g = 100 m nel sistema di riferimento del ferroviere SR.

Per il ferroviere fermo sui binari, a causa della contrazione delle lunghezze, il treno è lungo L=L’/γ = 87.4 m. Pertanto ad un certo istante vedrà la testa e la coda del treno all’interno della galleria e potrà azionare un dispositivo che chiude contemporaneamente le due porte. Per evitare che il treno si schianti, il ferroviere riaprirà le porte immediatamente dopo.

Il macchinista vedrà la galleria accorciata L_g’=L_g/γ = 43.6 m, mentre il treno è lungo L’>L_g’. Quindi sembrerebbe che il treno non possa stare sotto la galleria e dovrebbe quindi schiantarsi sulla porta in uscita o essere colpito da quella in entrata!

Quindi per il ferroviere il treno attraverserà la galleria, mentre per il ferroviere avverrà un incidente? Come si risolve questo apparente paradosso?

(9)

La chiusura delle porte sono due eventi simultanei in SR, ma poiché le porte si trovano in luoghi diversi (le due estremità della galleria), i due suddetti eventi NON sono simultanei in SR’ .

Quindi il macchinista in SR’ le vede chiudersi e riaprirsi in tempi diversi.

Indichiamo con t_C il tempo di chiusura/riapertura delle porte in SR. Le porte si trovino alle coordinate x_E e x_U=x_E+100 e il treno viaggi lungo x.

Il ferroviere chiude le porte non appena vede la coda del treno coincidere con x_E. A questo istante la testa del treno si trova a x_T=x_E+L=x_E+87.4 m < x_U

Calcoliamo con le trasformazioni di Lorentz i tempi di chiusura e riapertura delle due porte in SR’

Quindi il macchinista vede chiudersi e riaprirsi prima la porta di uscita di quella di entrata.

t

_CI^'

= γ ( t

_C

− β x

_E

)

t

_CU^'

= γ ( ^t

_C

− β ^x

_U

)

Δt ' = t

_CU^'

− t

_CI^'

= γ β ( ^x

_E

− x

_U

) < 0 ⇒ t

_CU^'

< t

_CI^'

(10)

Una volta chiuse e riaperte le porte in SR il treno impiegherà ancora un tempo

per arrivare con la testa alla porta di uscita (ora aperta). Ciò avverrà in SR’ al tempo

Anche in SR’ il treno inizia ad uscire dalla galleria dopo l’apertura della porta di uscita, e quindi non si schianta su di essa, in accordo con quanto vede il ferroviere in SR.

Δt

_U

= t

_U

− t

_C

=

L_g

− L β

^c

^{> 0}

t_U

= t

_C

+

L_g

− L

β

^c

t_U^'

= γ (

t_U

− β

x_U

) ⁼ ^γ

^t^C

⁺

^L^g

^{− L}

β

c

− β

x_U

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ > t

CU '

(11)

Es.5 Due navi spaziali ciascuna di lunghezza propria 100 m passano l’una accanto all’altra dirigendosi in versi opposti. Se un astronauta posto sulla parte anteriore della nave misura un intervallo di tempo di 2.5×10^-6 s per il passaggio dell’altra nave davanti a lui, qual è la velocità relativa delle navi spaziali? Quale intervallo di tempo viene misurato sulla prima nave durante il passaggio della parte anteriore della seconda nave dalla parte anteriore a quella posteriore della prima nave?

Soluzione

Sia Δt₀ = 2.5×10^-6 s il tempo misurato dall’astronauta per il passaggio dell’altra nave (da testa a coda) davanti a lui. La lunghezza della seconda nave nel sistema di riferimento della prima è contratta come L₀/γ. Si ha quindi

Il tempo misurato sulla prima nave per il passaggio della punta della seconda nave dalla cima al fondo della prima è semplicemente

Δt

₁

= L

₀

β c = 2.525 ×10

⁻⁶

s

L₀

γ

v = Δt₀ L²₀

c²

β

²

(

¹⁻

β

²

)

^{= Δt}⁰²

β

= L₀

Δt₀²c² + L²₀ = 0.132

(12)

Es.6 Paradosso dei gemelli - Nell’anno 2100, l’astronauta Ziggy parte a bordo dell’astronave “Stardust” alla volta del sistema planetario della stella nana rossa Trappist-1 scoperta nel 2017 e distante 40 anni-luce dalla Terra. Prima di partire Ziggy saluta il suo gemello Marty che rimane ad attenderlo sulla Terra. L’astronave viaggia a velocità 0.8 c, raggiunge i 7 esopianeti di Trappist-1 e torna sulla Terra. Quanti anni avranno al ritorno Ziggy e Marty supponendo che fossero ventenni alla partenza?

Soluzione

Dal punto di vista di Marty, Ziggy viaggia sulla “Stardust” con β=0.8 e γ=1.666 e impiega un tempo T_A= L/(βc) = 40/0.8 = 50 anni per raggiungere Trappist-1 e un tempo T_R= T_A per tornare dalla stella sulla Terra. Per Marty, al ritorno di Ziggy saranno passati 100 anni, e avrà quindi 120 anni.

Marty ragiona così: dato che Ziggy è fermo nel suo riferimento SR’ dell’astronave che si muove a velocità relativistiche, il tempo scorre più lentamente per Ziggy che misura T_A’= T_A/γ= 30 anni. Quindi Ziggy impiega 60 anni per il viaggio di andata e ritorno, e rincontrerà Marty all’età di 80 anni. Quindi Ziggy sarà rimasto più giovane di Marty.

Però si può ribaltare il ragionamento così. Ziggy in SR’ è fermo e vede la Terra (e quindi Marty) allontanarsi e Trappist avvicinarsi con velocità -0.8 c all’andata, e viceversa al ritorno . Inoltre in SR’ la distanza Terra-Trappist è contratta e vale L’=L/γ= 24 anni-luce.

Pertanto Ziggy misura T_A’= L’/β = L/(γβc) = 30 anni, e ritiene che per Marty, che viaggia a velocità relativistiche sia trascorso meno tempo T_A= T_A’/γ= 18 anni. Secondo Ziggy, lui al suo ritorno avrà 80 anni (in accordo con il ragionamento di Marty), ma il fratello Marty sarà più giovane avendo 20+18×2 = 56 anni.

(13)

Ecco mostrato il paradosso dei gemelli! Le due conclusioni sono opposte e quindi non possono essere simultaneamente vere. Qual è il ragionamento sbagliato? Quale dei due gemelli resta effettivamente più giovane?

In realtà il paradosso non c’e’ perché Marty si trova in un sistema di riferimento inerziale, mentre Ziggy no!

L’apparente violazione del principo di Relatività è spiegata dal fatto che Ziggy al momento dell’inversione di rotta a Trappist-1 cambia da un sistema SR’ che si allontana dalla Terra ad un sistema SR’’ che si avvicina alla Terra, e quindi subisce anche se per un breve tempo un’accelerazione necessaria per invertire la rotta. Pertanto la storia dell’astronauta Ziggy non è assimilabile a quella di un osservatore inerziale.

La conclusione corretta è quella che si raggiunge ragionando nel riferimento inerziale di Marty e cioè che Ziggy è effettivamente molto più giovane di Marty quando lo incontra nuovamente alla fine del suo lungo viaggio interstellare.

Vediamo ora il paradosso spiegato con un grafico nello spazio di Minkowski

(14)

t (anni)

x (anni-luce)

O=(0,0)

T=(40, 50) P₂=(0, 50)

R=(0, 100)

•  Per Ziggy, le linee di simultaneità sono linee con t’=cost. Dato che all’andata

nel grafico si rappresentano come rette con coefficiente angolare β.

•  Le linee di simultaneità al ritorno sono rette con coefficiente angolare -β

t ' = γ ( t − β ^x ) ^{⇒ t =} ^γ

⁻¹

^{t '+} ^β ^x

•  La linea di universo di Marty è l’asse x=0

•  Le linee di universo di Ziggy sono 2 rette con coefficienti angolari 1/β (SR’), -1/β (SR’’)

•  Le linee di simultaneità di Marty sono rette con t=cost, quindi parallele asse x

P₁=(0, 18) P₃=(0, 82)

T’=T’’=(0, 30) R’’=(0, 60)

(15)

Soluzione

Sia τ₀ la vita media del muone nel sistema di quiete. Per l’ossevatore sulla Terra il tempo di decadimento τ è dilatato

Classicamente invece si avrebbe τ=τ₀ e quindi il muone percorrerebbe una distanza 0.998 c x 2 10^-6= 599 m e non raggiungerebbe il suolo.

Il fatto che misuriamo muoni al livello del mare è una prova sperimentale della dilatazione del tempo.

γ = 1 1−

v²

c²

= 1

1− 0.998 ( )

²

= 15.8

τ = γ τ

₀

= 2⋅10

⁻⁶

× 70.7 = 3.2⋅10

⁻⁵

s

L =

β

c

τ = 0.998 × 3⋅10

⁸

× 3.2⋅10

⁻⁵

= 9472 m

Es. 7 Vita media del µ

Un muone con vita media 2×10^-6s è prodotto in uno sciame atmosferico ad un altezza di 9000 m sul livello del mare. Quando è creato ha velocità 0.998 c ed ha direzione perpendicolare al suolo. Qual è la distanza media che percorre prima di decadere misurata da un osservatore solidale alla Terra?

Calcolare inoltre a che distanza si trova la terra nel sistema di quiete del muone, quando esso decade.

(16)

In SR’ la distanza iniziale da terra vista dal muone è minore rispetto a D=9000 m misurata in SR (contrazione delle lunghezze)

Inoltre in SR’ si vede la Terra avvicinarsi con velocità -0.998 c

Quindi quando il muone decade dopo τ₀, la Terra si sarà avvicinata

Anche per l’osservatore in SR’ solidale al muone, il muone raggiunge la terra prima di decadere!

D' = D

γ ⁼

9000

15.8 = 569.6 m

L ' = β ^c τ

₀

= 0.998 × 3⋅10

⁸

× 2 ⋅10

⁻⁶

= 599 m

(17)

∂

²

φ

∂x

²

+ ∂

²

φ

∂y

²

+ ∂

²

φ

∂z

²

− 1 c

²

∂

²

φ

∂t

²

= 0

x ' = γ ( x − β ct )

y' = y z' = z

ct ' = γ ( ct − β x )

Es. 8 Covarianza delle equazioni di Maxwell

Verificare che l’equazione di un’onda e.m. è invariante per trasformazioni di Lorentz

J =

∂x '

∂x

∂x '

∂y

∂x '

∂z

∂x '

∂t

∂y'

∂x

∂y'

∂y

∂y'

∂z

∂y'

∂t

∂z'

∂x

∂z'

∂y

∂z'

∂z

∂z'

∂t

∂t '

∂x

∂t '

∂y

∂t '

∂z

∂t '

∂t

⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟⎟

=

γ 0 0 −βcγ

0 1 0 0

0 0 1 0

−β

c γ 0 0 γ

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟ Soluzione

L’equazione di un onda (per semplicità limitiamoci al caso unidimensionale) è:

dove la velocità di propagazione è c.

Scriviamo la matrice Jacobiana per le trasformazioni di Lorentz da SR a SR’ (in moto con velocità cβ diretta lungo x rispetto a SR)

(18)

∂ φ

∂x = ∂ φ

∂x '

∂x + ∂ φ

∂y'

∂x + ∂ φ

∂z'

∂x + ∂ φ

∂t '

∂x = γ ^∂ φ

∂x ' − β

c γ ^∂ φ

∂t '

∂

²

φ

∂x

²

= ∂

∂x

∂ φ

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ∂x '

∂x

∂

∂x ' d φ

dx

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + ∂t '

∂x

∂

∂t '

∂ φ

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = γ ^∂

∂x ' γ ^∂ φ

∂x ' − β

c γ ^∂ φ

∂t '

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ − β c γ ^∂

∂t ' γ ^∂ φ

∂x ' − β

c γ ^∂ φ

∂t '

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

= γ

²

^∂

2

φ

∂x '

²

+ β

²

c

²

γ

²

^∂

2

φ

∂t '

²

− 2 β

c γ

²

^∂

2

φ

∂x '∂t '

Le derivate parziali rispetto a y e z sono invariate

Calcoliamo la relazione fra le derivate parziali rispetto a x di φ nei due SRI

∂ φ

∂y = ∂ φ

∂x '

∂y + ∂ φ

∂y'

∂y + ∂ φ

∂z'

∂y + ∂ φ

∂t '

∂y = ∂ φ

∂y'

∂

²

φ

∂y

²

= ∂

∂y

∂ φ

∂y

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ∂y'

∂y

∂

∂y' d φ

dy

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + ∂t '

∂y

∂

∂t '

∂ φ

∂y

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ∂

∂y'

∂ φ

∂y'

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ∂

²

φ ^'

∂y'

²

(19)

∂ φ

∂t = ∂ φ

∂x '

∂t + ∂ φ

∂y'

∂t + ∂ φ

∂z'

∂t + ∂ φ

∂t '

∂t = − β ^c γ ^∂ φ

∂x ' + γ ^∂ φ

∂t '

∂

²

φ

∂t

²

= d

∂t

∂ φ

∂t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ∂t '

∂t

∂

∂t '

∂ φ

∂t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + ∂x '

∂t

∂

∂x '

∂ φ

∂t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = γ ^∂

∂t '

∂ φ

∂t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ − β ^c γ ^∂

∂x '

∂ φ

∂t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

= γ ^∂

∂t ' − β ^c γ ^∂ φ

∂x ' + γ ^∂ φ

∂t '

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ − β ^c γ ^∂

∂x ' − β ^c γ ^∂ φ

∂x ' + γ ^∂ φ

∂t '

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = −2 β ^c γ

²

^∂

2

φ

∂x '∂t ' + γ

²

^∂

2

φ

∂t '

²

+ β

²

^c

²

γ

²

^∂

2

φ

∂x '

²

∂²φ

∂x² +∂²φ

∂y² +∂²φ

∂z² − 1 c²

∂²φ

∂t² = 0 γ² ^∂

2φ

∂x '² + β²

c² γ² ^∂φ

∂t '² − 2β

c γ² ^∂

2φ

∂x '∂t '+ ∂²φ

∂y'² + ∂²φ

∂z'² − 1

c² −2β^cγ² ^∂

2φ

∂x '∂t '+γ² ^∂

2φ

∂t '² +β²^c²γ² ^∂

2φ

∂x '²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 0 γ² −β²γ²

( )

_{∂x '}^∂²^φ² ⁺_∂y'^∂²^φ² ⁺_∂z'^∂²^φ² ⁻ _c¹²

(

^γ² ⁻^β²^γ²

)

_{∂t '}^∂²^φ² ^{= 0}

γ² −β²γ²

( )

⁼₁₋¹_β² ⁻₁₋^β_β² ² ^{= 1}

∂²φ

∂x '² + ∂²φ

∂y'² + ∂²φ

∂z'² − 1 c²

∂²φ

∂t '² = 0 L’equazione dell’onda è invariante per trasformazioni di Lorentz

Calcoliamo la derivata di φ rispetto al tempo

Sostituiamo le espressioni trovate nell’equazione di Laplace

(20)

Es. 9 Cinematica dell’effetto Compton

Una verifica sperimentale delle leggi di trasformazione di massa ed energia fu fatta da Compton, misurando la lunghezza d’onda di raggi X diffusi da un materiale (carbone) in funzione dell’angolo di diffusione.

Assumendo l’ipotesi Planck dei quanti di luce (fotoni), il processo si può interpretare come l’urto elastico di un fotone di energia hν su un elettrone inizialmente fermo.

Calcolare l’energia e la lunghezza d’onda del fotone dopo l’urto in funzione dell’angolo di diffusione.

Soluzione

Il fotone è una particella a massa nulla, quindi

Per l’elettrone invece vale

E

_f²

− c

²

!

p

_f ²

= 0 h

²

ν

²

− c

²

!

p

_f ²

= 0 ⇒ !

p

_f

= hν c

E

_e²

− !

p

_e ²

= m

_e²

c

²

(21)

P_f + Pe = Pf

' + Pe '

hν^{, c} ^hν c

⎛

⎝⎜ ⎞

⎟ + m⎠

(

ec², 0

)

^{= h}

(

^ν^'^{, c}^p^!^'^f

)

^{+ E}

(

^e^'^{, c}^p^!^e^'

)

P_f + P_e

( )

² ^{= P}

(

^f^' ^{+ P}^e^'

)

²

hν + m_ec²

( )

² ^{− c}²^⎛_⎝^⎜^h_c^ν ^⎞_⎠^⎟

2

= h

(

ν^' + E_e^'

)

² ^{− c}²

(

^p^!^'^f ⁺ ^p^!^e^'

)

²

m_e² + 2hν ^me = h²ν^{' 2} + Ee

' 2 + 2hν^'^Ee

' − !

p^'_f ² − !

p_e^{' 2} − 2! p^'_f ⋅ !

p_e^' Studiamo l’urto nel SR in cui l’elettrone è inizialmente fermo.

Applichiamo la conservazione del quadrimomento

h ν ^{+ m}

_e

( )

²

^{− h}

²

^ν

²

^{= h} ( ^ν

^'

^{+ E}

^e^'

)

²

⁻ ( ^p ^!

^'^f

⁺ ^p ^!

^e^'

)

²

m

_e²

+ 2h ν ^m

_e

= h

²

ν

^{' 2}

+ E

_e^{' 2}

+ 2h ν

^'

^E

_e^'

− !

p

^'_f ²

− !

p

_e^{' 2}

− 2 !

p

^'_f

⋅ ! p

_e^'

h ν ^m

_e

= h ν

^'

^E

_e^'

− !

p

^'_f

⋅ ! p

_e^'

p si misura in MeV/c, la massa in MeV/c², l’energia in MeV, pertanto si può assumere con queste unità di misura la convenzione c=1.

Utilizzando la conservazione della quantità di moto si trova ^p^!^'^f ⁺ ^p^!^e^' ⁼ ^p^!^f

p !

^'

⋅ !

p

^'

= !

p

^'

⋅ !

p − ! p

^'

( ) ⁼ ^p ^!

^'

^⋅ ^p ^! ⁻ ^p ^!

^{' 2}

^{= h} ^ν ^h ^ν

^'

^cos ^φ ^{− h}

²

^ν

^'2

(22)

h

ν

^m_e = h

ν

^'^E_e^' − h

ν

^h

ν

^' ^cos

φ

+ h²

ν

^{' 2}

h

ν

^m_e = h

ν

^'

(

^h

ν

+ m_e − h

ν

^'

)

^{− h}

^ν

^h

^ν

^' ^cos

^φ

^{+ h}²

^ν

^{' 2}

ν

^m_e =

ν

^'

(

^h

ν

+ m_e − h

ν

^cos

φ )

ν

^' =

ν

1+ h

ν

m_e

(

1− cos

φ )

Inoltre utilizzando la conservazione dell’energia

Sostituendo queste due ultime relazioni nell’equazione

E_e^'

+ h ν

^'

= h ν + m

_e

h

ν

^' = h

ν

1+ h

ν

m_ec²

(

1− cos

φ )

λ

^' = c

ν

^' ⁼

λ

+ h

m_ec

(

1− cos

φ )

h

m

_e

c = λ

_C

= 0.242631⋅10

⁻¹⁰

m

Lunghezza d’onda Compton dell’elettrone

λ

^' −

λ

= h

m_ec

(

1− cos

φ )

(23)

Es. 10 Cinematica del decadimento a due corpi

Un pione di energia 1.5 GeV decade in un muone e un neutrino

Calcolare l’impulso del muone nel sistema del centro di massa (SCM).

Calcolare inoltre l’impulso nel sistema del laboratorio (LAB) sapendo che il muone nel SCM è emesso ad un angolo di 20° rispetto alla direzione di moto del pione.

Soluzione

Il problema rientra nel caso generale della cinematica di un decadimento a due corpi.

Siano M la massa della particella che decade, e m₁ e m₂ le masse dei prodotti di decadimento. Indichiamo con p₁^* E₁^* la quantità di moto e l’energia della particella 1 nel SCM, e analogamente per la particella 2.

Studiamo il decadimento nel SCM, che coincide con il sistema di quiete di M. Nel SCM m₁ e m₂ sono emessi con quantità di moto uguali e opposte.

Possiamo scrivere la conservazione del quadrimomento nel SCM

Osserviamo che il decadimento è possibile solo se

π

⁻

→ µ

⁻

+ ν

_µ

P = P

₁

+ P

₂

( M, 0 ) ^{= E} (

¹^*

^, ^p ^!

¹^*

) ^{+ E} (

²^*

^{, −} ^p ^!

¹^*

)

M = E (

₁^*

+ E

₂^*

) ^p ^!

²^*

^{= −} ^p ^!

¹^*

p !

₁^*

M

SCM

θ

^*

β ! = p ! E

M ≥ m + m

(24)

Usando le relazioni relativistiche che legano energia e impulso

e quadrando la conservazione dell’energia, abbiamo

E con un po’ di passaggi algebrici si ricavano energie e momenti delle particelle nel SCM M² = E

(

₁^*+ E₂^*

)

² ^{= E}¹^*2^{+ E}²^*2^{+ 2E}¹^*^E²^* ^{= 2E}¹^*2^{− m}¹²^{+ m}²² ^{+ 2E}¹^* ^E¹^*2 ^{− m}¹² ^{+ m}²²

E₁^*2

= p

₁^*2

+ m

₁²

E₂^*2

= p

₂^*2

+ m

₂²

= p

₁^*2

+ m

₂²

⇒ E

₂^*2

= E

₁^*2

− m

₁²

+ m

₂²

M² = E

(

₁^*+ E₂^*

)

² ^{= E}¹^*2^{+ E}²^*2^{+ 2E}¹^*^E²^* ^{= 2E}¹^*2^{− m}¹²^{+ m}²² ^{+ 2E}¹^* ^E¹^*2 ^{− m}¹²^{+ m}²²

M²− 2E₁^*2+ m₁²− m₂²

( )

² ^{= 4E}¹^*2

(

^E¹^*2^{− m}¹²^{+ m}²²

)

M⁴+ 4E₁^*4+ m

(

₁²− m₂²

)

² ^{− 4M}²^E¹^*2^{+ 2M}²

(

^m¹² ^{− m}²²

)

^{− 4E}¹^*2

(

^m¹²^{− m}²²

)

^{= 4E}¹^*4^{− 4E}¹^*2

(

^m¹² ^{− m}²²

)

M⁴+ m

(

₁² − m₂²

)

²^{− 4M}²^E¹^*2^{+ 2M}²

(

^m¹²^{− m}²²

)

^{= 0}

4M²E₁^*2 = M⎣^⎡ ²+ m

(

₁² − m₂²

)

⎤

⎦

2

E

₁^*

= M

²

+ m

₁²

− m

₂²

2M

E

₂^*

= M

²

− m

₁²

+ m

₂²

2M

p

₁^*

= − p

₂^*

= E

₁^*2

− m

₁²

= M

⁴

+ m (

₁²

− m

₂²

)

²

^{− 2M}

²

( ^m

¹²

^{+ m}

²²

)

4M

²

(25)

Casi particolari:

1)  m₁=m₂=0

2) m₂=0 cinematica decadimenti e.m. con emissione fotone o deboli con emissione neutrino

3) m₁=m₂

Fin qui la trattazione generale. Il problema specifico dato, rientra nel caso 2).

Massa pione= 140 MeV/c² Massa muone= 105 MeV/c²

E₁^*

= M

²

+ m

₁²

2M E

₂^*

= M

²

− m

₁²

2M

E₁^*

= E

₂^*

=

M

2 p

₁^*

= M

²

4 − m

₁²

p₁^* = M² − m₁² 2M E₁^*

= E

₂^*

= M

2 = p

₁^*

π

⁰

→ γ γ

E_µ^*

=

m_π²

+ m

_µ²

2m

_π

= ( 140 )

²

^{+ 105} ( )

²

2 ⋅140 = 109.375 MeV

p_µ^*

=

m_π²

− m

_µ²

2m

_π

= ( 140 )

²

^{− 105} ( )

²

2 ⋅140 = 30.625 MeV/c

(26)

Osservazione:

il decadimento a due corpi è monoenergetico perché l’energia dei prodotti può assumere un solo valore.

Non è così per decadimenti a tre o più corpi. L’esistenza del neutrino è stata ipotizzata proprio osservando l a d i s t r i b u z i o n e c o n t i n u a dell’energia dell’elettrone nel decadimento del neutrone

(n → p + e⁻ + ν_e).

(27)

Per calcolare l’impulso del muone nel SLAB, dobbiamo usare le trasformazioni di Lorentz del quadrimpulso dal SCM a SLAB

Per trovare β e γ del CM, utilizziamo le trasformazioni inverse (da SLAB a SCM)

e applichiamole al momento del pione

Poiché nel SCM si ricava che la velocità del CM coincide con quella del pione

E p

_||

p

_⊥

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟ =

γ

_CM

β

_CM

γ

_CM

0 β

_CM

γ

_CM

γ

_CM

0 0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E

^*

p

_||^*

p

_⊥^*

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

β

_CM

=

p_π

E_π

= ( ) 1.5

²

^{− 0.140} ( )

²

1.5 = 1.4934

1.5 = 0.9956 γ =

E_π

= 10.71 E

^*

p

_||^*

p

_⊥^*

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

⎟ =

γ

_CM

− β

_CM

γ

_CM

⁰

− β

_CM

γ

_CM

γ

_CM

⁰

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E p

_||

p

_⊥

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

p

_||^*_π

= γ

_CM

( p

_||_π

− β

_CM

γ

_CM

E

_π

)

p

_||π^*

= 0

p !

_ν^*

= − ! p

_µ^*

p !

_µ^*

m

_π

SCM

θ

^*

!

β

_CM

=

p !

_π

E

_π

(28)

Applichiamo ora la trasformazione da SCM a SLAB al caso del muone considerando che θ_µ^*=20°

E

_µ

p

_||_µ

p

_⊥_µ

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

⎟

=

γ

_CM

β

_CM

γ

_CM

⁰ β

_CM

γ

_CM

γ

_CM

⁰

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E

_µ^*

p

_||^*_µ

p

_⊥^*_µ

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

=

γ

_CM

β

_CM

γ

_CM

⁰ β

_CM

γ

_CM

γ

_CM

⁰

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟⎟

E

_µ^*

p

_µ^*

cos θ

_µ^*

p

_µ^*

sin θ

_µ^*

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

E

_µ

p

_||_µ

p

_⊥_µ

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

=

10.71 0.9956 ⋅10.71 0 0.9956 ⋅10.71 10.71 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

109.375 30.625⋅ cos(20°)

30.625⋅sin(20°)

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

=

1478.26 1474.47

10.47 ⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

p !

_ν

p !

_µ

m

_π

LAB

θ

₁

!

p

_π

θ

₂

Esercitazione su relatività ristretta