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Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo- sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.
[…] Ho trovato un esercizio gia’ svolto ma non capisco il risultato.
z =10+15i / 3-2i
10+15i / 3-2i = ( 10+15i) (3+2i) / (3-2i) (3+2i) = 30+20i+45i-30 / 9+4 = 65 /i 13 = 5i
Perche’ -30 e non + 30? Perche’ la i sparisce?
[…] Calcolare modulo e argomento del num. complesso 1+i/2-2i z = 1+i/2-2i = (1+i) (2+2i) / (2-2i) (2+2i) =
= 2+2i+2i-2 / 4+4i-4i-4 =
= 4+4i / 4-4 !!!!!!
1. DIVISIONE DINUMERICOMPLESSI
Sparisce perché
(15 i ) (2i) = (30) (i2) = 30 (-1) = -30
RISPOSTA
(2i)(-2i)= (-4)( i2 ) = (-4) (-1) = 4
Può essere utile osservare che questo è il prodotto notevole :
(a+ib) (a-ib) = a2 – (ib)2
= a2 –(i2 b2) = a2 – ( -1)(b2) = a2+b2
Quindi (a+ib) (a-ib) = a2+b2 2.ANCORA SULLA DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI IN FORMA ALGEBRICA
RISPOSTA
2 […] nell'esercizio che riguarda il modulo del rapporto tra z
1e z
2:
dati z
1= - 3 +i , z
2= 1-i determinare il modulo di
2
z
1z
il risultato segnato sul foglio e' radice di 2, io ho fatto più volte i calcoli e ottengo sempre radice di (2 - radice(3)). È riportato esatto il risultato ?
3.DOMANDA SUL MODULO DEI NUMERI COMPLESSI
RISPOSTA Sì, la risposta è riportata correttamente, ecco la soluzione :
2
z
1z
=i 1
i 3
− +
−
=i) i)(1 (1
i) i)(1 3 (
+
−
+ +
−
=2
1 3 i - i
3 + −
−
=2 ) 3 i (1 2
1) 3
( − − + −
.
Allora
2
z
1z
=4 ) 3 1 ( 4
) 1 3
( − −
2+ −
2=
4 8
=
2
OK !Si poteva arrivare al risultato più rapidamente , sapendo che
2
z
1z
=|
|
|
|
2
z
1z
⇒|
|
|
|
2
z
1z
=2
2
=2
.3 […]ho un problema rivedendo gli appunti di Niesi:
A pag. 85 degli appunti il cos ϑ , sin ϑ hanno al denominatore a
2+ b
2Non dovrebbe esserci “
a2+
b2” ?
[…]
ho visto che:
z -2+3i (-2+3i)(3+5i)
--- = --- = --- = ...
w 3-5i 34
ma da dove esce fuori il 34 ? in che modo si ottiene ?
RISPOSTA
RASSICURANTE Sì ! Quello che lei giustamente segnala compare nell’Errata Corrige degli appunti in rete di G.Niesi:
http://www.dima.unige.it/~niesi/MD/a05/Erratacorr.pdf 4. UNAPRECISAZIONESULMODULODIUNNUMEROCOMPLESSOSUGLIAPPUNTI
5. MOLTIPLICAZIONETRACOMPLESSICONIUGATI
RISPOSTA Per mantenere il segno di 'uguale' si moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore , cioè 3+5i , quindi
z -2+3i (-2+3i)(3+5i)
--- = --- = --- = ....
w 3-5i (3-5i)(3+5i) ma (3-5i)(3+5i) = 9+25 = 34 .
Per sveltire il calcolo si usa il prodotto notevole (A-B)(A+B)= A2 - B2,
qua A = 3 e B = 5i (A2= 9 , B2 =(5i)2 = -25).
Quindi moltiplicando due numeri complessi coniugati si ha : (a+ib)(a-ib)=a2+b2 , che è un numero reale !
4 […] Ho un dubbio su un passaggio della risoluzione (che si trova a pag. 107-108)
dell'esercizio n. 7.124 (a pag. 90) degli appunti di Niesi :
l'esercizio chiede di determinare argomento e modulo di ( )
( )
255
3 1
1 i i
− +
Si ha:
z = 1 + i = (cos( ) ( )) 4
2 π 4 π
+ isen
w = 1 - 3 i = (cos( ) ( )) 3 2 − π 3 + − π
isen
quindi si applica la formula di De Moivre e il quoto in un unico passaggio
z^5/w^25 = (cos( ( ) ( )) ( ( ) ( )))
25 3 5 4
25 3 5 4
2 2
25
5
π − − π +
isenπ − − π
Il passaggio successivo, nel quale si riduce l'argomento del coseno e seno, è quello che non capisco :
) cos(
)) ( ) (
cos( π π π
2 15 25 3
5 4 − − =
quali sono i passaggi intermedi che sono stati fatti in questo caso per ridurre gli argomenti dei coseni e seni ?
6. RIDUZIONEDELL’ARGOMENTO NELL’ESERCIZIO…
RISPOSTA La sua richiesta di chiarimento è motivata, mi era già stato segnalato da un suo compagno, che scrive :
[...] in relazione a questo passaggio:
π π
π) ( ) ( )
( 2
15 25 3
5 4 − − =
Dopo miei ripetuti calcoli, continua a venirmi come risultato di questa operazione
(115/12)π, che poi considerando la periodicità del seno e del coseno può essere scritto come (19/12) π [...]
La mia risposta è sì!
E′ esatto il calcolo (19/12)π.
Infatti (115/12) π = [(24*4+19)/12] π = 4*(2pi)+ (19/12) π, che è appunto (19/12) π ( modulo 2π ).
