Esercizi di Statistica ∼ Laurea in Biologia Molecolare Francesco Caravenna
Foglio 3. (26–30 aprile 2010)
Esercitazione del 29 aprile 2010
Esercizio 1. Lancio tre volte un dado regolare a sei facce. Indichiamo con X il numero di volte che è uscito “1”. Abbiamo visto che X è una variabile aleatoria che assume i valori X(S) = {0, 1, 2, 3}, P (X = 0) = (56)3 con probabilità P (X = 0) = (56)3, P (X = 1) = 3(16)(56)2, P (X = 2) = 3(16)2(56) e P (X = 3) = (16)3.
a) Si determinino E(X), E(X2) e V ar(X), mediante calcolo diretto oppure notando che. . .
[E(X) = 12, V ar(X) = 125 ≈ 0.42, E(X2) = 23 ≈ 0.67; si noti che X ∼ B(3,16).]
b) Decido di partecipare al gioco seguente: pago 1e come prezzo di entrata; viene lanciato tre volte il dado e ricevo 2.5e per ogni volta che esce “1”. Indichiamo con Y il mio guadagno (con segno!). Si esprima Y in funzione di X e si calcolino E(Y ), E(Y2), V ar(Y ), P (Y > 0).
[Y = 2.5X − 1, E(Y ) = 2.5E(X) − 1 = 0.25, V ar(Y ) = (2.5)2V ar(X) = 6.25125 = 12548 ≈ 2.6, E(Y2) = V ar(Y ) + E(Y )2 = 12548 + 161 = 12848 = 83 ≈ 2.67, P (Y > 0) = P (X > 2.51 ) = P (X > 0.4) = P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − (56)3 ≈ 0.42. Si osservi in particolare che E(Y ) > 0 ma P (Y > 0) < 50%!]
Esercizio 2. Acquistiamo una confezione di 20 DVD registrabili. Supponiamo che ciascun DVD abbia la probabilità dell’1% di essere guasto, indipendentemente dagli altri. Si indichi con X il numero di DVD guasti presenti nella confezione.
a) Si determini l’insieme dei valori X(S) assunti da X e le corrispondenti probabilità.
[X ∼ B(20, 0.01), dunque X(S) = {0, . . . , 20} e P (X = k) = 20k(1001 )k(10099)n−k, per ogni k ∈ X(S)]
b) Qual è la probabilità che nella confezione ci siano esattamente 2 DVD guasti? E che ce ne siano almeno 2? [P (X = 2) = 202(1001 )2(10099)18 ≈ 0.016, P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − 200(1001 )0(10099)20− 201(1001 )1(10099)19≈ 0.017]
Esercizio 3. Si sa che nei libri prodotti da una certa casa editrice ciascuna pagina può contenere refusi con probabilità 201, indipendentemente dalle altre pagine. Qual è la probabilità che, scelto un libro a caso di 100 pagine, questo contenga al più una pagina con refusi? [P (B(100,201) ≤ 1) = (1920)100+ 100 · 201 · (1920)99 ≈ 0.037]
Esercizio 4. Si sa che i libri prodotti da una certa casa editrice contengono in media 5 pagine con refusi. Qual è la probabilità che, scelto un libro a caso, questo contenga al più una pagina con refusi? [P (Po(5) ≤ 1) = e−5(1 + 5) ≈ 0.0404 – si noti che P (B(100, 1/20) ≤ 1) ≈ 0.037]
1
2
Esercizio 5 (Da svolgere a casa). In una fabbrica vengono prodotti 10000 circuiti stampati al giorno. Si sa che ciascun circuito ha probabilità 1/2500 di essere guasto.
a) Qual è la probabilità che domani vengano prodotti più di 2 circuiti stampati difettosi? [P (B(10000, 1/2500) > 2) = 1 − P (B(10000, 1/2500) ≤ 2) ≈ 76.195%]
b) Si esegua il calcolo al punto precedente usando l’approssimazione di Poisson.
[10000 · 1/2500 = 4 quindi P (Po(4) > 2) = 1 − P (Po(4) ≤ 2) ≈ 76.190%]
