Esercizi di Statistica ∼ Laurea in Biologia Molecolare Francesco Caravenna
Foglio 4. (3–7 maggio 2010) Esercitazione del 5 maggio 2010
Esercizio 1. In una fabbrica vengono prodotti 10000 circuiti stampati al giorno. Si sa che ciascun circuito ha probabilità 1/2500 di essere guasto.
a) Qual è la probabilità che domani vengano prodotti più di 2 circuiti stampati difettosi? [P (B(10000, 1/2500) > 2) = 1 − P (B(10000, 1/2500) ≤ 2) ≈ 76.195%]
b) Si esegua il calcolo al punto precedente usando l’approssimazione di Poisson.
[10000 · 1/2500 = 4 quindi P (Po(4) > 2) = 1 − P (Po(4) ≤ 2) ≈ 76.190%]
Esercizio 2. In ogni estrazione del Lotto sulla ruota di Venezia vengono scelti 5 numeri a caso tra 1 e 90.
a) Si determini la probabilità q che nelle prossime 27 estrazioni della ruota di Venezia non esca mai il numero 79? [Ponendo p = 894/ 905 = 5/90 = 1/18 si ha q = P (B(27, p) = 0) = (1 − p)27= (1 − 1/18)27 = (1718)27 ≈ 0.21]
b) (Esercizio per casa) Si calcoli q usando l’approssimazione di Poisson. [27· p = 17/18 = 1.5 dunque q ≈ P (Po(1.5) = 0) = e−1.5 ≈ 0.22]
Esercizio 3. Sia X una variabile casuale discreta che assume i valori {−1, 0, 3} con probabilità
P (X = −1) = 1
2, P (X = 0) = 1
6, P (X = 3) = c ,
dove c ∈ R. Si determini il valore di c e si calcolino E(X) e Var(X). [c = 13, E(X) = 12, E(X2) = 72, Var(X) = 134]
Calcolo delle probabilità per la distribuzione normale standard:
• funzione di ripartizione Φ(x) := P (Z ≤ x);
• uso della tavola con esempi;
• formula Φ(x) = 1 − Φ(−x).
Esercizio 4. Sia Z una variabile normale standard. Quanto valgono P (Z ≤ 1.55), P (Z > −0.87), P (−0.3 ≤ Z ≤ 1.27)? [0.93942; 0.80785; 0.51587]
Esercitazione del 7 maggio 2010
Uso “inverso” della tavola della distribuzione normale.
Esercizio 5. Data Z ∼ N (0, 1), determinare x tale che P (Z > x) = 0.01, 0.05, 0.95.
[x = 2.325, 1.645, −1.645]
1
2
Calcolo delle probabilità per variabili normali non standard: procedura di standardizzazione.
Esercizio 6. La durata delle lampadine di una certa marca segue approssimati- vamente una distribuzione normale con media µ = 900 giorni e varianza σ2 = 40000 (giorni)2.
a) Qual è la probabilità che una lampadina scelta a caso duri più di 3 anni (3 · 365 = 1095)? [1 − Φ(195/200) = 1 − Φ(0.975) ≈ 1 − 0.83 = 0.17]
b) Qual è la probabilità che una lampadina scelta a caso duri tra 1 e 2 anni (2 · 365 = 730)? [Φ(−170/200) − Φ(−535/200) = Φ(−0.85) − Φ(−2.675) = Φ(2.675) − Φ(0.85) ≈ 0.996 − 0.802 = 0.194]
c) Se la ditta produttrice vuole indicare che il 99% delle lampadine durano più di x0 giorni, quanto vale x0? [Φ(x0200−900) = 0.01 → Φ(−x0200−900) = 0.99 → −x0200−900 ≈ 2.33 → x0 = 434 giorni]
Esercizio 7. Il consumo energetico giornaliero di un’abitazione è una variabile casuale con media 13 kWh e varianza 9 kWh2. Una centrale che fornisce energia elettrica a un complesso di 2000 abitazioni ha una disponibilità energetica di 26300 kWh al giorno.
a) Qual è la probabilità che domani ci sia un blackout, cioè che la richiesta di energia superi la disponibilità? [P (N (26000, 18000) > 26300) = P N (0, 1) >
26300−26000
134.16 = 1 − Φ(2.24) ≈ 1.25%]
b) (Esercizio per casa) Quanto dovrebbe essere la disponibilità energetica per garantire che la probabilità di blackout sia 0.1%? [P (N (26000, 18000) > x) = P N (0, 1) > x−26000134.16
= 0.001 → Φ(x−26000134.16 ) = 0.999 → x−26000134.16 = 3.09 → x = 26415]
Esercizio 8. Supponiamo che la probabilità che un figlio sia maschio oppure femmina sia pari a 0.5.
a) Dato un campione di 100 nascite, si stimi la probabilità che ci siano 55 o più femmine? [1 − Φ( 5
0.5·√
100) = 1 − Φ(1) ≈ 15.866%; con correzione di continuità 1 − Φ(0.5·4.5√100) = 1 − Φ(0.9) = 18.406%; la probabilità esatta vale 18.410%]
b) (Esercizio per casa) Dato un campione di 100 nascite, si stimi la probabilità che ci siano 550 o più femmine? [1 − Φ(0.5·√501000) = 1 − Φ(3.16) ≈ 0.08%]
c) (Esercizio per casa) Dato un campione di 100 nascite, si stimi la probabilità che ci siano 5500 o più femmine? [1 − Φ(0.5·√50010000) = 1 − Φ(10) ≈ 0]
