Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna
Foglio 2. (21–25 gennaio 2008)
Esercizio 1. Da un mazzo di 52 carte da poker si estraggono a caso una dopo l’altra 5 carte.
a) Qual `e la probabilit`a che tutte e cinque le carte siano dello stesso seme (5 cuori, oppure 5 quadri, ecc.)? [4 · 135/ 525 ≈ 0.00198]
b) Qual `e la probabilit`a di fare poker, cio`e che tra le 5 carte ce ne siano 4 dello stesso tipo (4 assi, oppure 4 re, ecc.)? [13 · 48/ 525 ≈ 0.00024]
Esercizio 2. Una coppia ha due figli(e). Assumiamo che il sesso dei due figli possa essere descritto dallo spazio campionario S = {(M M ), (M F ), (F M ), (F F )} (dove (ab) indica che il primogenito `e di sesso a e il secondogenito di sesso b) munito della probabilit`a uniforme, cio`e P (M M ) = P (M F ) = P (F M ) = P (F F ) = 14.
a) Se sappiamo che il primogenito `e maschio, qual `e la probabilit`a che il secondo- genito sia maschio? [12]
b) Se sappiamo che il secondogenito `e maschio, qual `e la probabilit`a che il primo- genito sia maschio? [12]
c) Se sappiamo che almeno un figlio `e maschio, qual `e la probabilit`a che anche l’altro sia maschio? [13]
Esercizio 3 (Paradosso di Monty Hall). Vi propongo di scegliere tra tre buste chiuse, una delle quali contiene un premio mentre le altre due sono vuote. Una volta effet- tuata la scelta, io guardo di nascosto il contenuto delle due buste rimaste e ve ne mostro una vuota (tra le mie due buste ce n’`e almeno una vuota, dunque lo posso sempre fare). A questo punto vi propongo di cambiare la busta che avete scelto con quella che mi `e rimasta in mano. Vi conviene cambiare? [S`ı, la prob. 13 → 23]
Esercizio 4. Viene effettuato uno screening test a un individuo per rivelare la pre- senza di una malattia. Definiamo gli eventi
A := “l’individuo risulta positivo allo screening test ” B := “l’individuo `e affetto dalla malattia” . La sensibilit`a del test `e definita dai valori
P (A|B) = 0.96 P (A|Bc) = 0.02 .
1
2
Indichiamo col parametro x ∈ (0, 1) l’incidenza della malattia nella popolazione, cio`e la frazione di persone affette dalla malattia, per cui vale x = P (B). Si determinino le probabilit`a condizionate P (B|A) e P (B|Ac) (che descrivono la preddittivit`a del test) in funzione di x e se ne calcoli il valore per x = 4%, x = 0.4% e x = 0.04%. [P (B|A) =
0.96x
0.94x+0.02 → 66.7%, 16.1%, 1.9%, P (B|Ac) = 0.98−0.94x0.04x → 0.17%, 0.016%, 0.0016%]
Esercizio 5. Ho due monete distinte, che indico con α e β. La moneta α `e regolare, mentre la moneta β `e “truccata”: la probabilit`a di ottenere testa vale 0.7. Scelgo una delle due monete a caso e la lancio.
a) Qual `e la probabilit`a di ottenere testa? [0.6]
b) Se ottengo testa, qual `e la probabilit`a che la moneta lanciata sia stata α? [0.42]
Esercizio 6. Si lanciano due dadi regolari a sei facce.
a) Si dimostri che gli eventi A := “il primo dado d`a come risultato 2” e B := “la somma dei due dadi vale 7” sono indipendenti.
b) Si dimostri che gli eventi A := “il primo dado d`a come risultato 2” e B := “la somma dei due dadi vale 5” non sono indipendenti.
Esercizio 7. Si lancia per due volte una moneta equilibrata. Si considerino gli eventi A := “nel primo lancio esce testa” B := “nel secondo lancio esce testa”
C := “nei due lanci, presi insieme, esce esattamente una testa” . Naturalmente gli eventi A e B sono indipendenti.
a) Si dimostri che gli eventi A e C sono indipendenti, cos`ı come anche gli eventi B e C.
b) Si dimostri che i tre eventi {A, B, C} non sono indipendenti.
