ESERCIZIO CONTINUITA' - A. Verifica che la funzione f (x)= 1 è continua nel punto di ascissa X = 2

(1)

ESERCIZIO CONTINUITA' - A

Verifica che la funzione è continua nel punto di ascissa X = 2 SVOLGIMENTO

Per verificare che una funzione f(x) è continua in un punto di ascissa X = a è necessario applicare la regola, verificando che vale l'uguaglianza

Dove

f(a) è il valore della funzione nel punto di ascissa X = a.

E' il limite della funzione per X che tende ad "a" per difetto.

E' anche detto LIMITE SINISTRO che possiamo abbreviare con LS.

E' il limite della funzione per X che tende ad "a" per eccesso.

E' anche detto LIMITE DESTRO che possiamo abbreviare con LD.

Calcoliamo, una alla volta le tre quantità:

Partiamo da f(a). Nel nostro esempio è f(2) e si calcola sostituendo il valore 2 al posto della X nel testo della funzione.

Dal calcolo deduciamo che f(2) = -1

Calcoliamo adesso il limite sinistro per X che tende a 2

Dal calcolo deduciamo che LS = -1

Calcoliamo infine il limite destro per X che tende a 2

Dal calcolo deduciamo che LD = -1

Abbiamo verificato che LS = LD = f(a), per cui la funzione è continua nel punto X = 2 f (x)= 1

X−3

f (2)= 1

2 −3 = 1

−1 = −1

lim

x"2^-

x - 3

1 =

1.99 - 3

1 =

- 1.01 1 = - 1 lim

x"a^-

f(x) lim

x"a⁺

f(x)

lim

x "2⁺

x - 3

1 =

2.01 - 3

1 =

- 0.99 1 = - 1

(2)

ESERCIZIO CONTINUITA' - B

Spiega il motivo per cui la funzione NON è continua nel punto di ascissa X = 5

SVOLGIMENTO

Per spiegare il motivo per cui una funzione f(x) NON è continua in un punto di ascissa X = a è necessario far vedere che NON vale la regola, verificando che una delle uguaglianze "fallisce". Ricordiamo la regola:

Dove

Affinchè valga la regola è, quindi, necessario che le tre quantità siano:

• TUTTE CALCOLABILI (esista il loro valore e sia un NUMERO FINITO)

• TUTTE E TRE UGUALI

Partiamo da f(a). Nel nostro esempio è f(5) e si calcola sostituendo il valore 5 al posto della X nel testo della funzione.

Il fatto che f(5) non esista risulta evidente anche dal dominio della funzione che, essendo una razionale fratta sarà

D = R – {5} La funzione ESISTE per tutti i valori della X, tranne per X = 5.

Abbiamo verificato che f(a) NON ESISTE, questo basta per affermare che la funzione NON è continua nel punto X = 5. Non è necessario calcolare LS e LD.

f (x)= X +4 X −5

f (5)= 5 +4

5 −5 = 9

0 = NON ESISTE

lim

x"a^-

f(x) lim

x"a⁺

f(x)

(3)

ESERCIZIO CONTINUITA' - C

Spiega il motivo per cui la funzione NON è continua nel punto di ascissa X = 3

SVOLGIMENTO

Per spiegare il motivo per cui una funzione f(x) NON è continua in un punto di ascissa X = a è necessario far vedere che NON vale la regola, verificando che una delle uguaglianze "fallisce". Ricordiamo la regola:

Dove

Affinchè valga la regola è, quindi, necessario che le tre quantità siano:

• TUTTE CALCOLABILI (esista il loro valore e sia un NUMERO FINITO)

• TUTTE E TRE UGUALI

Partiamo da f(a). Nel nostro esempio è f(3) e si calcola sostituendo il valore 3 al posto della X nel testo della funzione, ed osservando che se X = 3 il tratto da prendere in considerazione è X – 2.

Dal calcolo deduciamo che f(3) = 1

Calcoliamo adesso il limite sinistro (LS) per X che tende a 3 osservando che se X tende ad un valore più piccolo di 3 il tratto da prendere in considerazione è X – 2.

Dal calcolo deduciamo che LS = 1

lim

x"a^-

f(x) lim

x"a⁺

f(x)

f (x)=

{

^x+4^x−2 ^{se x≤3}^{se x}^>3

f (3)=3−2 f (3)=1

lim

x→ 3⁻

f ( x) = f (3

⁻

) = f (2,99) = 2,99−2 = 0,99

(4)

A questo punto è necessario calcolare il Limite Destro (LD). Se LD vale anch'esso 1 allora la funzione sarà continua in X = 3, se, invece, LD dovesse valore un qualsiasi valore diverso da 1 allora la funzione non sarà continua in X = 3.

Calcoliamo quindi il limite destro (LD) per X che tende a 3 osservando che se X tende ad un valore più grande di 3 il tratto da prendere in considerazione è X+4.

Dal calcolo deduciamo che LD = 7

Abbiamo verificato le tre quantità sono tutte calcolabili, ma che LD è DIVERSO da LS ed f(a), quindi possiamo affermare che la funzione NON è continua nel punto X = 3.

lim

x→ 3⁺

f ( x) = f (3

⁺

) = f (3,01) = 3,01+4 = 7,01

(5)

ESERCIZIO CONTINUITA' - D

Determina, motivando la risposta, l'insieme dei punti in cui la funzione è continua:

Per discutere la continuità di una funzione è necessario ricordare la regola generale:

Ogni funzione ottenuta come somma, differenza, prodotto, quoziente o radice di funzioni continue è una funzione continua nel suo dominio.

Da questa regola deduciamo che:

• Ogni funzione Razionale Intera (polinomio di qualsiasi grado) è una funzione continua su tutto R.

• Ogni funzione Razionale Fratta è continua nel suo dominio, cioè è continua su tutto R tranne i valori che annullano il denominatore.

• Ogni funzione Irrazionale Intera è continua nel suo dominio:

◦ Se l'indice è dispari è continua su tutto R

◦ Se l'indice è pari è continua su tutto R tranne i valori che rendono negativo il radicando.

• Ogni funzione Irrazionale Fratta è continua nel suo dominio:

◦ Se l'indice è dispari è continua su tutto R tranne i valori che annullano il denominatore.

◦ Se l'indice è pari è continua su tutto R tranne i valori che rendono negativo il radicando e tranne i valori che annullano il denominatore.

• Per le FUNZIONI DEFINITE A TRATTI è necessario chiedersi cosa accade nei singoli tratti e nei punti in cui si passa da un tratto all'altro.

In base alla regola ed alle successive affermazioni la funzione è una funzione razionale fratta ottenuta come quoziente di funzioni continue.

Possiamo affermare, quindi, che è continua nel suo Dominio D = R - {2}

La funzione risulta continua per qualsiasi valore di X tranne X = 2.

f (x)= X

²

+1 X −2

f (x)= X

²

+1

X −2

(6)

ESERCIZIO CONTINUITA' - E

Determina, motivando la risposta, l'insieme dei punti in cui la seguente funzione definita a tratti è continua:

Per discutere la continuità di una funzione definita a tratti è necessario ricordare la seguente osservazione:

• Per le FUNZIONI DEFINITE A TRATTI è necessario chiedersi cosa accade nei singoli tratti e nei punti in cui si passa da un tratto all'altro.

La nostra funzione è costituita da tre tratti separati e da due punti di passaggio da un tratto all'altro (X = 1 e X = 3).

Analizziamo i singoli tratti con le regole della "continuità in un intervallo".

• Il primo tratto (X ≤ 1) prevede la funzione Y = X+1 che è Razionale Intera e quindi sempre continua.

• Il secondo tratto (1< X ≤ 3) prevede la funzione Y = 2X che è Razionale Intera e quindi sempre continua.

• Il terzo tratto (X > 3) prevede la funzione Y = X+4 che è Razionale Intera e quindi sempre continua.

Possiamo dedurre che nei singoli tratti la funzione è sempre continua.

Analizziamo i singoli punti con le regole della "continuità in un punto".

Ricordiamo la teoria:

Dove

lim

x"a^-

f(x) lim

x"a⁺

f(x)

f (x )= { ^2x ^x+4 ^x ⁺¹ ^{se 1} ^{se x≤1} ^{se x>3} ^<x≤3

(7)

Ricordiamo che affinchè valga la regola è, quindi, necessario che le tre quantità siano:

• TUTTE CALCOLABILI (esista il loro valore e sia un NUMERO FINITO)

• TUTTE E TRE UGUALI

Punto X = 1

Partiamo da f(a). Nel nostro esempio è f(1) e si calcola sostituendo il valore 1 al posto della X nel testo della funzione, osservando che se X = 1 il tratto da prendere in considerazione è X + 1.

Calcoliamo adesso il limite sinistro (LS) per X che tende a 1 osservando che se X tende ad un valore più piccolo di 1 il tratto da prendere in considerazione è sempre X + 1.

Calcoliamo adesso il limite destro (LD) per X che tende a 1 osservando che se X tende ad un valore più grande di 1 il tratto da prendere in considerazione è 2X.

Abbiamo verificato che le tre quantità sono tutte calcolabili e tutte uguali. Quindi possiamo affermare che la funzione è continua nel punto X = 1.

Punto X = 3

Partiamo da f(a). Nel nostro esempio è f(3) e si calcola sostituendo il valore 3 al posto della X nel testo della funzione, osservando che se X = 3 il tratto da prendere in considerazione è 2X.

f (1)=1+1 f (1)=2

lim

x→ 1⁻

f ( x) = f (1

⁻

) = f (0,99) = 0,99+1 = 1,99

lim

x→ 1⁺

f ( x) = f (1

⁺

) = f (1,01) = 2∗(1,01) = 2,02

f (3)=3∗2 f (1)=6

(8)

Calcoliamo adesso il limite sinistro (LS) per X che tende a 3 osservando che se X tende ad un valore più piccolo di 3 il tratto da prendere in considerazione è sempre 2X.

Calcoliamo adesso il limite destro (LD) per X che tende a 3 osservando che se X tende ad un valore più grande di 3 il tratto da prendere in considerazione è X + 4.

Abbiamo verificato le tre quantità sono tutte calcolabili, ma che LD è DIVERSO da LS ed f(a), quindi possiamo affermare che la funzione NON è continua nel punto X = 3.

Risposta finale

• La funzione risulta continua in tutti i punti che riguardano i 3 tratti

• La funzione risulta continua nel punto di passaggio X = 1

• La funzione risulta NON continua nel punto di passaggio X = 3 La funzione è continua in R - {3}

ESERCIZIO CONTINUITA' - A. Verifica che la funzione f (x)= 1 è continua nel punto di ascissa X = 2