E-school di Arrigo Amadori
Tutorial di fisica
Equazione della retta in fisica
01 - Utilizzo dell'equazione della retta in fisica.
L'equazione della retta è fondamentale anche per la fisica.
La descrizione di molti fenomeni fisici si riduce a scrivere l'equazione di una retta. Diamo qui alcuni esempi ben noti perché già trattati più volte in questo corso. Ora, però, alla luce di quanto appreso circa l'equazione della retta, questi argomenti possono essere compresi con più profondità.
- 1 - equazione oraria del moto rettilineo uniforme.
Consideriamo un corpo su cui non agiscono forze esterne (la loro risultante è nulla). Questo corpo, a causa del principio d'inerzia, si muoverà di moto rettilineo uniforme ovvero con velocità costante. Come già sappiamo, per questo tipo di moto l'equazione che lega lo spazio percorso al tempo è :
dove è lo spazio, la velocità costante con cui si muove il corpo, è il tempo e è lo spazio iniziale, cioè lo spazio già percorso dal corpo al tempo (rispetto ad un punto della traiettoria preso come origine dello spazio).
Questa equazione è detta equazione oraria del moto.
Se consideriamo la variabile indipendente ed la variabile dipendente, la suddetta equazione è l'equazione di una retta sul piano cartesiano . Infatti, se per esempio e , l'equazione oraria diventa :
.
Possiamo allora scrivere la seguente tabella :
da cui possiamo disegnare il grafico :
Il moto in questione è quindi rappresentato da una retta di coefficiente angolare e di ordinata all'origine . Esprimendo il coefficiente angolare la pendenza della retta, ed essendo tale coefficiente pari alla velocità ( ), si deduce che :
la velocità è uguale al coefficiente angolare della retta, ovvero alla sua pendenza.
Questo fatto è di importanza capitale.
Supponiamo ora che il moto avvenga con velocità maggiore, mettiamo (sempre con la stesso spazio iniziale). L'equazione oraria del moto risulta allora :
da cui si può ricavare la tabella :
e di conseguenza il grafico (che affiancheremo al precedente con ) :
In questo caso la velocità (il coefficiente angolare della retta) è e quindi la pendenza della retta è maggiore di quella con velocità .
Supponiamo ora che il corpo sia fermo, cioè sia dotato di velocità . L'equazione oraria del moto sarà :
che corrisponde ad una retta parallela all'asse delle (che affianchiamo alle precedenti ) :
Qui abbiamo velocità nulla, cioè coefficiente angolare nullo, ovvero pendenza nulla : al passare del tempo la posizione del corpo resta la stessa.
Infine supponiamo che la velocità sia negativa, per esempio . In questo caso, al passare del tempo, l'ordinata, che indica la posizione del corpo, diminuisce. L'equazione oraria è allora :
.
Le relativa tabella é :
ed il grafico è (accanto ai precedenti) :
In questo caso abbiamo una velocità negativa, quindi una retta con un coefficiente angolare negativo ovvero una pendenza negativa (la retta decresce).
- 2 - equazione tempo-velocità del moto rettilineo uniformemente accelerato.
L'equazione che lega il tempo alla velocità per un moto rettilineo uniformemente accelerato, come già sappiamo, è :
dove è la velocità, l'accelerazione costante, il tempo e la velocità iniziale.
Se consideriamo il sistema di riferimento cartesiano questa funzione rappresenta anch'essa una retta su cui possiamo fare tutte le considerazioni su ordinata all'origine e coefficiente angolare fatte in precedenza :
02 – Esercizio.
Consideriamo un corpo in moto rettilineo uniformemente accelerato. Sia la sua velocità iniziale ed la sua accelerazione. Si calcoli la velocità raggiunta al tempo e si disegni il grafico tempo-velocità del moto.
Si consideri un altro corpo, anch'esso in moto rettilineo uniformemente accelerato. La velocità iniziale di questo corpo sia e la sua accelerazione sia . Si disegni il grafico tempo-velocità anche di questo corpo nello stesso sistema di assi cartesiani ortogonali e si determini l'istante in cui esso raggiunge la velocità del primo.
Soluzione.
Innanzi tutto trasformiamo la velocità iniziale del primo corpo da a . Per questo basta dividere per . Quindi :
.
L'equazione oraria tempo-velocità del primo corpo è (trattandosi di moto rettilineo uniformemente accelerato) :
da cui sostituendo si ottiene la funzione :
che rappresenta una retta rispetto ad un sistema di assi cartesiani . La velocità del primo corpo all'istante è allora :
ed il grafico orario tempo-velocità del primo corpo è :
L'equazione oraria tempo-velocità del secondo corpo è (trattandosi anche qui di moto rettilineo uniformemente accelerato) :
che corrisponde alla retta passante per l'origine indicata nello stesso grafico :
(questa seconda retta è stata disegnata considerando che per si ha ).
Osservando il grafico si nota che la prima retta ha una pendenza minore della seconda (il coefficiente angolare della prima è mentre quello della seconda è ). Si nota anche che le due rette si incontrano in un punto corrispondente ad un tempo di circa :
Il punto d'incontro fra le rette corrisponde ad un istante in cui i due corpi hanno la stessa velocità.
Fine.
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