Serie numeriche

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Serie numeriche

14.1 Serie convergenti, divergenti, indeterminate

Data una successione di numeri reali

u₁, u₂, . . . , u_k, . . . , (14.1) si chiama serie ad essa relativa il simbolo

u₁+ u₂+ . . . + u_k+ . . . oppure X^∞

k=1

u_k (14.2)

che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u_k, k = 1, 2, . . ., si chiamano termini delle serie.

Si chiama somma parziale di ordine n (n = 1, 2, . . .), della serie (14.2) — e si indica con S_n — la somma dei suoi primi n termini:

S₁ = u₁, S₂ = u₁ + u₂, . . . , S_n = u₁+ u₂+ . . . + u_n, . . . .

La successione S₁, S₂, . . . , S_n, . . . pu`o ammettere limite finito S, oppure limite infinito (+∞

o −∞), oppure non ammettere limite. Nel primo caso la serie si dice convergente ed il limite finito S si chiama somma della serie; nel secondo caso la serie si dice divergente; nel terzo caso si dice indeterminata. Per le serie convergenti si pu`o scrivere

u₁ + u₂ + . . . + u_n+ . . . = S con S = lim

n→∞S_n. Illustriamo quanto detto fin qui con alcuni esempi. Consideriamo la serie

1

1 · 2+ 1

2 · 3 + 1

3 · 4 + · · · =X^∞

k=1

1 k(k + 1); poich´e

1

k(k + 1) = 1 k− 1

k + 1, la somma parziale di ordine n si scrive:

S_n =1 1 −

1 2

+1

2 − 1 3

+ · · · + 1 n− 1

n + 1

= 1 − 1 n + 1, quindi:

n→∞lim S_n = 1.

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Capitolo 14. Serie numeriche

La serie `e dunque convergente e si pu`o scrivere X∞ k=1

1

k(k + 1) = 1.

Passiamo ora ad un caso pi`u articolato, Preso un numero reale arbitrario x, consideriamo la serie geometrica di ragione x

1 + x + x²+ . . . + x^k−1+ . . . =X^∞

k=1

x^k−1 =X^∞

k=0

x^k (14.3)

dove, come in molti casi, si pu`o scegliere di far partire l’indice da 0 o da 1, scegliendo poi in modo appropriato l’espressione del termine generico della serie.

Se x = 1 la serie si scrive 1 + 1 + 1 + . . . e si ha dunque S_n= n, quindi:

nlim→∞S_n= +∞, cio`e la serie `e divergente.

Se x 6= 1 si pu`o scrivere

1 + x + x²+ . . . + xⁿ⁻¹+ . . . = 1 − xⁿ 1 − x = 1

1 − x− xⁿ 1 − x e la ricerca del limite di S_n per n → ∞ conduce a risultati diversi.

Se x 6 −1 `e evidente che non esiste il lim

n→∞xⁿe quindi nemmeno il lim

n→∞S_n; la serie `e quindi indeterminata.

Se −1 < x < 1 si ha

nlim→∞xⁿ= 0, lim

n→∞S_n = 1

1 − x; quindi la serie `e convergente e ha per somma 1 1 − x. Infine, se x > 1 si ha

n→∞lim xⁿ= +∞, lim

n→∞S_n = +∞; la serie `e dunque divergente.

Possiamo quindi riassumere come segue.

La serie geometrica (14.3) `e indeterminata per x 6 −1, divergente per x > 1 ed `e convergente per −1 < x < 1; in quest’ultimo caso risulta

X∞ k=0

x^k= 1

1 − x. (14.4)

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14.2 Propriet`a delle serie convergenti

Un’importante caratteristica delle serie convergenti `e che esse possono essere trattate come somme di un numero finito di termini. In particolare, `e possibile operare con combinazioni lineari di serie convergenti, per le quali vale il seguente risultato:

14.2.I Siano date le serie convergenti X∞

k=1

u⁽¹⁾

k = S⁽¹⁾, X∞ k=1

u⁽²⁾

k = S⁽²⁾, . . . , X∞ k=1

u^(m)

k = S^(m). Allora, date le costantic₁, c₂, . . . , c_m, anche la serie

X∞ k=1

(c₁u⁽¹⁾

k + c₂u⁽²⁾

k + . . . + c_mu^(m)

k )

`e convergente con la sommac₁S⁽¹⁾+ c₂S⁽²⁾+ . . . + c_mS^(m).

`E facile convincersi che il carattere di convergenza di una serie dipende dall’andamento dei suoi termini per n → ∞ (anche se, in caso di convergenza, il valore della somma dipende da tutti i termini). Questa considerazione introduce al criterio generale diconvergenza, che si esprime formalmente come segue:

14.2.II Condizione necessaria e sufficiente affinch´e la serie (14.2) sia convergente `e che, comunque si fissiε > 0, sia possibile determinare un indice ν_ε tale che, non appena si assuma n > ν_ε, risulti

|u_n+1+ u_n+2. . . + u_n+p| < ε (14.5) qualunque sia l’intero p.

Da questo risultato ne deriva immediatamente un altro.

14.2.III Se la serie (14.2) `e convergente, allora si ha necessariamente lim

k→∞

u_k = 0 (14.6)

Questo teorema afferma che una condizione necessaria per la convergenza di una serie `e che il suo termine generico u_k tenda a zero per k → ∞. Tale condizione non `e sufficiente a garantire la convergenza di una serie, come mostreremo nel seguito con un esempio specifico.

Se in una serie u₁+u₂+. . .+u_k+. . . si sopprimono i primi p termini, si ottiene una nuova serie u_p+1+ u_p+2+ . . ., che si chiama il resto di ordine p della serie data. Le somme parziali

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T_n di questa seconda serie sono legate a quelle S_ndella prima dalla relazione T_n = S_p+n−Sp

e perci`o l’esistenza o meno del

nlim→∞T_n equivale all’esistenza o meno del

n→∞lim S_p+n, che `e la stessa cosa del lim

n→∞S_n; nel caso che il limite esista risulta poi

nlim→∞T_n = lim

n→∞S_n− Sp, (con S_p = u₁+ u₂+ . . . + u_p).

Vale allora il seguente risultato:

14.2.IV Il resto di ordine p di una serie u₁ + u₂ + . . . + u_k+ . . . `e una nuova serie che

`

e convergente, divergente o indeterminata a seconda che sia convergente, divergente o indeterminata la serie data. Se la serie data è convergente con la somma S, il suo resto di ordine p è una serie convergente con somma uguale a S− (u₁ + u₂ + . . . + u_p), e vicever- sa, se tale resto è convergente con somma T , anche la serie data è convergente con somma T + (u₁ + u₂+ . . . + u_p).

14.3 Serie a termini di segno costante

Consideriamo qui un particolare tipo di serie, cio`e quelle i cui termini u_khanno tutti lo stesso segno, che possiamo supporre non negativo. Oltre alle somme parziali S_n = u₁+u₂+. . .+u_n, verranno considerate anche le somme di un numero qualsiasi (finito) di termini della serie scelti ad arbitrio, cio`e somme del tipo U = u_k

1 + u_k

2 + . . . + u_k

n con n intero arbitrario e k₁ < k₂ < . . . < k_n indici arbitrari. Ogni somma U sar`a chiamata somma generalizzata relativa alla serie data. Va osservato che le somme parziali S_n sono un caso particolare delle somme generalizzate U (quando si assuma k₁ = 1, k₂ = 2 . . . k_n= n).

Si dimostrano i seguenti teoremi.

14.3.I Una serie a termini non negativi non è mai indeterminata (cioè è convergente oppure divergente) ed ha per somma (finita o +∞) l’estremo superiore dell’insieme numerico A formato dalle somme parzialiS_n, che è anche l’estremo superiore dell’insiemeB di tutte le possibili somme generalizzate U .

14.3.II Date due serie

X∞ k=1

u_k,

X∞ k=1

v_k

a termini non negativi, se per ogni indice k si ha u_k 6 c v_k (con c costante positiva), dalla convergenza della seconda serie segue la convergenza della prima, dalla divergenza della prima segue la divergenza della seconda.

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Utilizzando i due teoremi precedenti si pu`o studiare la serie:

1 1^α + 1

2^α + 1

3^α + · · · + 1

k^α + · · · =X^∞

k=1

1

k^α; (14.7)

ove α è un arbitrario numero reale. Per α = 1 la (14.7) si riduce alla serie armonica (??) che si è dimostrato essere divergente. Se α < 1 si ha 1/k < 1/k^α e perciò, per il teorema (14.3.II), risulterà anche divergente la serie (14.7). Si dimostra poi che nel caso α > 1 la stessa serie è convergente. Si può riassumere come segue.

La serie

X∞ k=1

1 k^α

`e divergente se α 6 1, convergente se α > 1.

Le serie a termini non negativi godono della propriet`a commutativa. Il significato di questa frase va precisato mediante alcune definizioni. Data una serie qualsiasi

X∞ k=1

u_k, si dir`a che un’altra serie

X∞ k=1

v_k,

`e stata da essa dedotta alterandone l’ordine dei termini se esiste una successione di numeri naturali ν₁, ν₂, ν₃, . . . tale che ogni numero naturale compaia in essa una ed una sola volta e tale inoltre che risulti v₁ = u_ν

1, v₂ = u_ν

2, v₃ = u_ν

3, . . .. Ci`o premesso si pu`o dimostrare che:

14.3.III Se la serie

X∞ k=1

u_k

`e a termini non negativi ed ha sommaS (finita o +∞), ogni altra serie X∞

k=1

v_k

da essa dedotta alterandone l’ordine dei termini ha ancora la somma uguale aS.

14.4 Serie assolutamente convergenti Data una serie qualsiasi

X∞ k=1

u_k

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si consideri accanto ad essa quella

X∞ k=1

|u_k|

avente come termini i valori assoluti dei termini della prima. Si dimostra che:

14.4.I Se la serie

X∞ k=1

|u_k|

`

e convergente, allora anche la serie

X∞ k=1

u_k

`

e convergente.

Questo teorema legittima la seguente definizione: una serie si dice assolutamente convergente quando converge la serie formata con i valori assoluti dei suoi termini (onde `e convergente anche la serie data).

Evidentemente una serie convergente a termini di segno costante `e sempre assolutamente convergente. Si dimostra anche immediatamente che se pi`u serie

X∞ k=1

u⁽¹⁾

k , X∞ k=1

u⁽²⁾

k , . . . , X∞ k=1

u^(m)

k

sono assolutamente convergenti, anche una qualsiasi loro combinazione lineare X∞

k=1

c₁u⁽¹⁾

k + c₂u⁽²⁾

k + . . . + c_mu^(m)

k

`e una serie assolutamente convergente.

Per le serie assolutamente convergenti (e solo per esse) vale la propriet`a commutativa. Si ha infatti il seguente risultato.

Se la serie

X∞ k=1

u_k

`e assolutamente convergente, ogni altra serie X∞ k=1

v_k

da essa dedotta alterandone l’ordine dei termini `e convergente ed ha la stessa somma.

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`E noto che il prodotto di due polinomi `e uguale alla somma dei termini che si ottengono moltiplicando in tutti i modi possibili un termine del primo polinomio per un termine del secondo. Possiamo domandarci se una regola analoga valga per il prodotto di due serie.

Date le due serie

X∞ h=1

u_h, X∞ k=1

v_k, (14.8)

si chiamer`a serie prodotto di esse ogni serie avente come termini tutti e soli i prodotti del tipo u_hv_k, al variare degli indici h, k indipendentemente l’uno dall’altro.

Le serie prodotto sono dunque infinite e si ottengono l’una dall’altra per alterazione dell’ordine dei termini. Fra queste infinite serie prodotto quelle che pi`u comunemente si con- siderano sono la serie prodotto di Cauchy (o per diagonali) e la serie prodotto per quadrati, che si scrivono rispettivamente:

u₁v₁+ u₁v₂ + u₂v₁+ u₁v₃ + u₂v₂+ u₃v₁ + . . . , (14.9)

u₁v₁+ u₁v₂ + u₂v₂+ u₂v₁ + u₁v₃+ u₂v₃ + u₃v₃+ u₃v₂ + u₃v₁+ . . . . (14.10) Ciò premesso si pone la questione: se le due serie (14.8) sono convergenti, con le rispettive somme S, T , una loro serie prodotto è convergente? e se lo è, la sua somma vale ST ?

In generale la risposta a queste due domande è negativa; però se le due serie (14.8) sono assolutamente convergenti si può rispondere affermativamente ad entrambe. Si può quindi enunciare il seguente teorema:

14.4.II Se le due serie (14.8) sono assolutamente convergenti, ogni loro serie prodotto `e pure assolutamente convergente ed ha per somma il prodottoST delle somme S, T delle due serie date.

14.5 Criteri di convergenza assoluta

Sono largamente usati in pratica i seguenti teoremi che forniscono delle condizioni sufficienti affinch´e una data serie

X∞ k=1

u_k (14.11)

sia assolutamente convergente.

14.5.I (Criterio di confronto) Sia

X∞ k=1

p_k, (14.12)

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un’assegnata serie a termini positivi. Se per ogni indice k si ha |u_k| < c p_k (con c costante positiva) e se la serie (14.12) converge, allora la serie (14.11) converge assolutamente. Se per ogni indice k si ha |u_k| > c p_k e se la serie (14.12) diverge, allora la serie (14.11) non converge assolutamente.

14.5.II Perk→ ∞, il termine generico u_kdella serie (14.11) sia infinitesimo con un ordine determinatoα (rispetto all’infinitesimo principale 1/k). Allora se α > 1 la serie (14.11) `e assolutamente convergente; se α 6 1 la serie (14.11) non `e assolutamente convergente.

14.5.III (Criterio della radice) Se esiste un numero positivo p < 1, tale da aversi per ogni indicek

k

q|u_k| 6 p < 1, (14.13)

allora la serie (14.11) `e assolutamente convergente. Se `e sempre

k

q|u_k| > 1,

la serie (14.11) non `e convergente.

Nell’applicare questo criterio conviene tener conto del seguente corollario:

14.5.IV Se esiste il limite

lim

k→∞

k

q|u_k| = l

la serie (14.11) `e assolutamente convergente se l < 1, non `e convergente se l > 1.

14.5.V (Criterio del rapporto) Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste un numero positivop < 1, tale da aversi per ogni indice k

u_k+1 u_k

6 p < 1, (14.14)

allora la serie (14.11) `e assolutamente convergente. Se `e sempre

u_k+1 u_k

> 1, la serie (14.11) non `e convergente.

Questo criterio si applica di solito nella forma espressa dal seguente corollario:

14.5.VI Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste il limite lim

k→∞

u_k+1 u_k

= l,

la serie (14.11) `e assolutamente convergente se l < 1, non converge se l > 1.

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Per esempio, la serie

1 + x 1!+x²

2! + · · · + x^k⁻¹

(k − 1)!+ · · ·

`e convergente assolutamente, qualunque sia il numero reale x. Infatti, per x = 0 la cosa `e evidente; per x 6= 0 si ha

lim

k→∞

x^k/k!

x^k−1/(k− 1)!

= lim_k_→∞ |x|

k = 0.

14.5.VII Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste un numero positivo p tale da aversi per ogni indice k

k

u_k u_k+1

− (k + 1) > p, (14.15)

allora la serie (14.11) `e assolutamente convergente. Se `e sempre k

u_k u_k+1

− (k + 1) 6 0, la serie (14.11) non `e assolutamente convergente.

14.5.VIII Se la serie (14.11) ha tutti i termini diversi da zero ed esiste il limite lim

k→∞

k u_k u_k+1

− 1

!

= l, (14.16)

la serie (14.11) `e assolutamente convergente se l > 1, non `e assolutamente convergente se l < 1.

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