Proprieta’ fisiche elementari di un plasma

Lezione 3

Proprieta’ fisiche elementari di un plasma

G. Bosia

Universita’ di Torino

Gas ionizzati e plasmi

Si e’ gia notato che il comportamento dinamico di un plasma e’ qualitativamente diverso da quello di un gas neutro perche’ le forze molecolari a breve range che

determinano la dinamica di un gas neutro sono nel caso del plasma, sostituite dalle forze elettromagnetiche, che si esercitano tra cariche e correnti, che sono invece a lungo range.

Al crescere della temperatura, la materia passa da uno stato aggregato ad uno stato gassoso neutro e (quando l’ energia interna per particella e’ dell’ ordine dell’ energia di legame atomico) a quelllo di gas

parzialmente e poi totalmente ionizzato In questa lezione cercheremo di stabilire in quali condizioni si possa parlare di materia

• Un plasma e’ un gas ionizzato in cui l’ energia cinetica media di elettroni e ioni e’

superiore al potenziale di ionizzazione atomico. Pertanto il livello di ionizzazione puo’

mantenersi in condizioni stazionarie.

• Il grado di ionizzazione di un gas in equilibrio termodinamico e’ dato dall’ equazione di Saha

(III-1)

Dove:

n_i= numero di atomi ionizzati/m³; n_n= no di atomi neutri/ m³,

k =1.38 10 ^–23 J/°K, è la costante di Boltzmann, T = temperatura in °K,

U_i=energia di ionizzazione del gas.

Stato di plasma

n i

n n 2.4 10⋅ ²¹ T 3 2

⋅n n exp U i

−kT

 



 

⋅



Stato di plasma

• Per aria a temperatura ambiente (T =300°K),

U_i= 14.5 eV (N):

1 eV = 1.6 10^-19 J

ossia il livello di ionizzazione dell’ atmosfera in cui viviamo e’ estremamente basso.

Il tasso di ionizzazione pero cresce molto rapidamente quando KT diventa dell’

ordine di U_i

Questo necessita temperature T > 10⁶ °K

n i

n n 10^{− 122}

n₀=2.7 10¹⁹ cm^-3 n₀=2.7 10¹⁹ cm^-3

He₀ ( U_i=24. 47 eV)^- H (U_i=24. 47 eV)^- n₀=3.5 10¹⁶ cm^-3

Cs (U_i=3.89 eV)^-

n_o = n_i+ n_n η = n_i / n_n

Stato di plasma

• Un plasma completamente isolato e’ globalmente elettricaImente neutro (n_e = Z n_i). Tuttavia, per il fatto che e’ composto da almeno due specie di

particelle cariche (una specie ionica totalmente o parzialmente ionizzata ed un equivalente numero di elettroni) ci dobbiamo attendere che il suo

comportamento dinamico sia diverso da quello di un gas neutro, perche’ le forze molecolari a breve range che determinano la dinamica di un gas neutro sono nel caso del plasma sostituite dalle forze elettromagnetiche, che si esercitano tra cariche e correnti, che sono invece a lungo range.

• Pertanto nel caso del plasma, non si puo’ solo parlare di “collisioni” fra particelle ovvero di scambi di energia locali tra particelle che interagiscono con quelle vicine. A causa delle forze columbiane a lungo range, la dinamica del gas di particelle cariche ha un comportamento “collettivo” sia nello spazio e nello

spazio delle velocita’ nel senso che il moto di una particella e’ determinato dalla dinamica di molte altre, non necessariamente circostanti. Gli aspetti collisionali dlla dinamica delle particelle assumono una minore rilevanza, e in molti casi possono essere trascurati in prima approssimaxione.

Stato di plasma

Nello stato di plasma il fenomeno di ionizzazione (separazione fra nucleo ed elettroni) si verifica dinamicamente quando l’ energia cinetica atomica supera l’energia di

ionizzazione (U_i=13.6 eV per l’ H). Ad una certa temperatura, il fenomeno di

ionizzazione e’ in equilibrio, con quello di ricombinazione, in cui un elettrone libero e’

catturato da uno ione e lo neutralizza. I processi di ricombinazione non hanno soglie ben definite

Ionizzazone e ricombinazione

Il tasso di ionizzazione <σn_iv_i> e

ricombinazione <σn_rv_r> (no di ionizzazioni

/ricombinazioni per unita’ di tempo) e’ mostrato in figura (per H) in funzione della temperatura in condizioni di equilibrio.

Queste curve sono ottenute integrando le sezioni d’ urto elementari su una distribuzione Maxelliana di velocita’ con energia media kT.

E’ ovviamente, in condizioni di equlibrio:

nioni nneutri

σi vi⋅ σn vn⋅

< >

< >

Pressione cinetica

Definizione cinetica di Temperatura e Pressione di plasma

Un gas mono-dimensionale in equilibrio termico ad una temperatura T e’ composto da particelle di ogni velocita’ che sono distribuite con una distribuzione Maxwelliana

(III-2)

(III-3)

La densita’ di particelle e’ data da:

f du e’ il numero di particelle per m³ con velocità u-u+du, K e’ la costante di Boltzmann (III-3)

E la costante e’ legata a n dalla relazione:

(III-4)

Energia cinetica media

Il valor medio dell’ energia cinetica delle particelle è

Ponendo :

Possiamo riscrivere l’ equazione (III- 2) come:

e l’ equazione(III-5) come:

(III-5)

(III-6)

Relazione tra temperatura, densita’ ed energia cinetica media

Integrando per parti il numeratore:

Semplificando si ottiene la definizione di energia cinetica media in funzione di T

Lo stesso calcolo applicato ad una distribuzione tridimensionale di velocita’

fornisce:

E_av= 3/2 KT [1-8]

(III-7)

(III-8)

Quasi neutralita’

Se consideriamo un gas ionizzato di H e supponiamo che in una certa parte dello spazio o in un certo instante ci siano numeri diversi di particelle, in quella zona dello spazio sara’ presente una densita’ di carica :

(III-9)

Che generera’ un capo elettrico : (III-10)

Per esempio in un caso mono-dimensionale:

(III-11)

E il campo elettrico genera una forza che tende a espellere la carica in eccesso dalla zona in cui si e’ generata. Pertanto un plasma tende a ristabilire la propria neutralita’di carica esercitando forze contro fenomeni che cerchino di modificarla.

Quasi neutralita’

Valutiamo l’ intensita’ della forza :

Si consideri un plasma con (densita’ a pressione atmosferica : N_molecole= ). Se assumiamo che nel plasma si verifichi una differenza fra la densita’ ionica ed elettronica la densita’ di carica e’

e la forza elettrostatica per unita’ di volume associata alla densita’ di carica è:

(III-12)

Assumendo (III-13)

Confrontiamo la forza elettrostatica/unita’ di volume con quella legata alla pressione cinetica per unita’ di volume:

(III-14) F_p

(III-15)

Schermo di Debye

Analizziamo quantitativamente la proprieta’ del plasma di espellere campi elettrostatici

Se, come mostrato nella figura, viene applicato un potenziale elettrostatico mediante due elettrodi, elettroni e ioni, che hanno una grande mobilita’, vengono attirati da poli di segno opposto e formano nuvole elettroniche e ioniche attorno agli elettrodi di segno opposto, che tendono a neutralizzare localmente il campo elettrico e “schermano” cariche piu’ lontane dagli effetti dei campi.

Se la temperatura del plasma e’ non nulla, ioni ed elettroni posseggono una energia cinetica e si muovono dentro e fuori il bordo della nuvola, che possiamo identificare energeticamente a un raggio in cui kT ~ eΦ.

D’ altra parte, il fatto che le componenti del plasma abbiano un’ energia cinetica non nulla permette che potenziali dell’ ordine di kT/e possano esistere all’ interno del plasma

+ -

- -

- - - - -

- -

- - -

-

++

+ + + +

+ + + +

Sfera di Debye

Calcoliamo le dimensioni di questa zona assumendo che abbia una sola dimensione. Assumiamo 1) che un potenziale F sia mantenuto in una posizione x = 0 ; 2) che la mobilita’ degli elettroni sia molto grande rispetto a quella degli ioni (M/m >> 1 = ioni fisssi). L’ equazione di Poisson ci dice: div(gradV)= ρ/ε₀ ovvero :

Con la condizione al contorno per la densita’ elettronica n_e = n_{i ,} e

La funzione di distribuzione per un gas ionizzato in equilibrio a temperatura kT in cui sia presente un potenziale qΦ e’ dato dall’ equazione di Boltzmann:

Che fisicamente descrive il fatto che il numero di particelle che acquisiscono una grande energia totale (cinetica + potenziale) ad una certa temperatura e’ piccolo. Integrando la funzione di distribuzione sulla velocita’ per trovare la densita’ elettronica, ponendo q =-e e n_e = n_∞per Φ ->0 si ottiene:

(III-16)

(III-18) (III-17)

Lunghezza di Debye

che, sostituita nell’ equazione del potenziale dà:

Per piccoli valori di |eΦ/kT| possiamo sviluppare l’ esponenziale in serie di Taylor:

E considerare solo il primo termine della serie:

Se poniamo:

Si ottiene una espressione per l’ andamento del potenziale nel doppio strato (sheath) Lunghezza di Debye

(III-20)

(III-21)

(III-22)

(III-23)

Lunghezza di Debye

Note:

1. La lunghezza di Debye fornisce la dimensione fisica del doppio strato che scherma potenziali elettrici., ossia da una misura del raggio di azione delle interazioni columbiane nel plasma. Decresce al crescere della densita’, perche’

sono disponibili piu’ elettroni per schermare e cresce con la temperatura , che aumenta la mobilita’ delle cariche

2. La componente del plasma che piu’ influisce sulla L di D e’ la densita’

elettronica perche’ gli elettroni hanno in generale una mobilita’ molto superiore a quella degli ioni, che e’ dovuta alla minore inerzia

3. Formule pratiche:

(III-25)

Conseguenze della “quasi neutralità”

• Dato che una qualunque concentrazione di carica introdotta in un plasma, che provoca l’insorgere di potenziali elettrici e’ rapidamente schermata dal plasma su una distanza di scala λ_D , se la dimensione di scala spaziale di un plasma e’ L >>

λ_D , la maggior parte del plasma e’ elettricamente “quasi neutro”, nel senso che si puo’ assumere , con buona approssmazione n_e ~ n_i ~ n_p e definire una

np --- > “densita’ di plasma”

• La condizione di quasi neutralità non e’ realizzata entro la lunghezza di Debye

• Il numero di particelle entro una “Sfera di Debye” definita dalla quantita’

• (III-26)

deve essere molto elevato perche’ l’ analisi che abbiamo fatto, che si basa su un modello statistico, sia valida.