Le equazioni di
Maxwell
James Clerk Maxwell
James Clerk Maxwell (1831 –1879) è stato un matematico e fisico scozzese.
Elaborò la prima teoria moderna dell'elettromagnetismo, raggruppando in un'unica teoria tutte le precedenti
osservazioni, esperimenti ed equazioni non correlate di questa branca della fisica.
Le equazioni di Maxwell dimostrano che l'elettricità, il magnetismo e la luce sono tutte manifestazioni del
medesimo fenomeno: il campo elettromagnetico. Da questo momento in poi tutte le altre leggi ed equazioni classiche di queste discipline verranno ricondotte a casi semplificati delle quattro equazioni fondamentali.
Il lavoro di Maxwell è stato definito la «seconda grande unificazione della fisica», dopo quella operata da Isaac Newton.
Le equazioni.
Teorema di Gauss per il campo elettrico
Il teorema di Gauss per il campo elettrico stabilisce che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente
proporzionale alla carica totale contenuta all’interno della superficie.
Induzione elettromagnetica
Un campo magnetico che varia nel tempo genera una corrente indotta.
Nasce una corrente indotta ogni volta che si ha una variazione del flusso magnetico attraverso la superficie di un circuito.
Se c’è una corrente indotta, ci deve essere una forza elettromotrice che la produce. Molti esperimenti hanno portato alla legge dell’induzione
elettromagnetica, detta legge di Faraday-Neumann:
il valore della forza elettromotrice indotta è uguale al rapporto tra la variazione del flusso del campo magnetico e il tempo necessario per avere tale variazione.
Dimostrazio
Una sbarra conduttrice in moto in un campo
ne
magnetico si comporta come un generatore di forza elettromotrice.
Poiché la sbarra si avvicina al lato opposto del circuito, la superficie del circuito si restringe e attraverso di essa il flusso diminuisce continuamente.
Qual è il verso della corrente indotta?
Nel primo caso, il campo indotto accentuerebbe l’aumento del flusso totale, il quale a sua volta creerebbe una corrente indotta più intensa e quindi un nuovo campo magnetico indotto,
innescando un processo senza fine. Si otterrebbe così una
corrente elettrica gratis, in contrasto con il principio di conservazione dell’energia.
Poiché questo non è possibile, la corrente indotta deve circolare in senso antiorario, in modo da
contrastare l’aumento del campo della calamita.
Secondo la legge di Lenz: il verso della corrente indotta è sempre tale da opporsi alla variazione di flusso che la genera.
Teorema di Gauss per il campo magnetico
Il flusso del campo magnetico attraverso qualunque superficie chiusa è uguale a zero.
Non si osservano, infatti, cariche magnetiche isolate (o monopoli), cioè poli magnetici nord separati dai poli sud e viceversa. Per questo motivo la «carica magnetica totale» può essere solo uguale a zero: all’interno di qualunque superficie chiusa la carica magnetica è nulla, perché i poli nord presenti compensano esattamente i poli sud.
Legge di Ampère-Maxwell
Secondo la legge di Faraday-Neumann-Lenz una variazione di flusso
magnetico genera un campo elettrico indotto. Maxwell suggerì che anche una variazione di flusso del campo elettrico genera un campo magnetico.
Quindi le sorgenti di campo non sono solo le correnti elettriche ma anche le variazioni di flusso elettrico. Per tener conto di questo nuovo contributo Maxwell propose la seguente generalizzazione del teorema di Ampère:
dove il flusso del campo elettrico è calcolato attraverso una superficie avente come bordo la curva .
Il termine è detto corrente di spostamento e ha le dimensioni di una corrente, anche se non si tratta di una corrente di cariche elettriche.
Importanti conseguenze!
Le quattro equazioni mostrano come i campi elettrici dinamici, cioè variabili nel tempo, sono in grado di generare campi magnetici e viceversa. Lo stesso Maxwell osservò che le equazioni ammettono soluzioni ondulatorie, il che condusse alla scoperta delle onde
elettromagnetiche e in particolare fu spiegata la natura della luce, fino ad allora oggetto di varie speculazioni teoriche. I campi
elettromagnetici, introdotti inizialmente come entità matematica, acquistarono una loro propria realtà fisica potendo esistere
indipendentemente dalle sorgenti che li hanno generati.
Le equazioni appaiono per la prima volta al completo ed in forma differenziale nel testo "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", pubblicato da James Clerk Maxwell nel 1865.
Il suo lavoro nella redazione di un modello unificato per
l'elettromagnetismo è considerato uno dei più grandi risultati della fisica del XIX secolo.
