Calcolo delle Probabilità 2014/15 – Foglio di esercizi 2

Calcolo delle Probabilità 2014/15 – Foglio di esercizi 2

Calcolo combinatorio.

Esercizio 1. In un mazzo di 52 carte da Poker ogni carta è identificata da un seme (cuori

♥, quadri ♦, fiori ♣, picche ♠) e da un tipo (un numero da 1 a 10 oppure J, Q, K). Quindi il mazzo di carte può essere identificato con l’insieme

M := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} × {♥, ♦, ♣, ♠} .

Una “mano” consiste di 5 carte estratte dal mazzo, ossia un elemento dell’insieme Ω := {A ⊆ M : |A| = 5} .

Munendo Ω della probabilità uniforme, si calcoli la probabilità di ottenere i seguenti punti (in ordine decrescente di valore):

(a) scala reale (5 carte dello stesso seme e con tipi crescenti in progressione aritmetica di pas- so 1, per es. {5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥}, {8♦, 9♦, 10♦, J ♦, Q♦}; le progressioni ammissibili sono {1, 2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5, 6}, . . . , {9, 10, J, Q, K} e infine {10, J, Q, K, 1});

(b) poker (4 carte dello stesso tipo, la quinta arbitraria);

(c) full (3 carte dello stesso tipo, le altre 2 carte dello stesso tipo, ovviamente diverso dal precedente);

(d) colore (5 carte dello stesso seme, ma non sono in progressione aritmetica di passo 1);

(e) scala semplice (5 carte con tipi crescenti in progressione aritmetica di passo 1, cf. la scala reale, ma non tutte dello stesso seme);

(f) tris (3 carte dello stesso tipo, le altre 2 arbitrarie, ma tali da non produrre un poker né un full);

(g) doppia coppia (2 carte dello stesso tipo, 2 altre carte dello stesso tipo diverso dal precedente, la quinta carta arbitraria, ma tale da non produrre un full);

(h) coppia (2 carte dello stesso tipo, le altre 3 arbitrarie, ma tali da non produrre un tris né un poker né un full).

Esercizio 2. In una estrazione del Lotto su una determinata ruota vengono estratti a caso 5 numeri tra 1 e 90. Si calcoli la probabilità di fare:

(a) ambata giocando un numero n (cioè n è tra i 5 numeri estratti);

(b) ambo giocando due numeri n, m (cioè n e m sono tra i 5 numeri estratti);

(c) terno giocando tre numeri n, m, k (cioè n, m e k sono tra i 5 numeri estratti);

[Nella realtà che le vincite vengono pagate molto meno di quanto sarebbe “equo”: per l’ambata si oggiene 11.23 volte la giocata (invece di 18), per l’ambo 250 volte (invece di 400.5), per il terno 4500 volte (invece di 11748).]

Esercizio 3. Si lanciano 12 dadi. Qual è la probabilità che ognuno dei numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6 compaia esattamente 2 volte?

†Ultima modifica: 8 ottobre 2014.

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Esercizio 4. 21 passeggeri salgono su un treno della metropolitana vuoto formato da 3 vagoni, e ognuno sceglie a caso il vagone su cui viaggiare. Si calcoli la probabilità che

(a) ci siano 4 passeggeri nel primo vagone;

(b) ci siano 7 passeggeri in ciascun vagone;

(c) 5 persone siano su un vagone, 6 su un altro e 10 sul rimanente.

Esercizio 5. Quattro coppie di sposi salgono su un minibus con otto posti a sedere, disposti in quattro coppie di sedili adiacenti.

Se le otto persone scelgono i posti in modo casuale, qual è la probabilità che ciascuno sposo sieda accanto alla propria consorte?

Esercizio 6. Una lotteria emette n biglietti, di cui m < n sono vincenti. Qual è la probabilità che un possessore di r biglietti ne abbia almeno uno di vincente?

Esercizio 7. Si supponga di avere un mazzo di n chiavi diverse. Dovendo aprire una serratura di cui si ha la chiave, si provano a caso le n chiavi, mettendo da parte quello già provate, fino a che non si è trovata la chiave giusta. Qual è la probabilità di trovare la chiave giusta al k-esimo tentativo, con 1 ≤ k ≤ n?

Esercizio 8. Si eseguano n estrazioni casuali con reimmissione da un’urna contenente 2n oggetti distinti. Sia p_n la probabilità che gli n oggetti estratti siano tutti diversi.

(a) Determinare p_n.

(b) Introduciamo la notazione a_n∼ b_n per indicare che a_n/bn→ 1 per n → ∞. Usando la formula di Stirling n! ∼ nⁿe⁻ⁿ√

2πn, si mostri che p_n∼ c%ⁿ, determinando c e %.

Esercizio 9. n paia di guanti vengono mescolate, e poi distribuite a caso a n persone (due guanti per persona).

(a) Qual è la probabilità p_n che ognuno riceva un guanto per la mano destra e uno per la sinistra?

(b) Si determini il comportamento asintotico p_n per n → ∞ usando la formula di Stirling n! ∼ nⁿe⁻ⁿ√

2πn.