Calcolo delle Probabilità 2014/15 – Foglio di esercizi 7

Calcolo delle Probabilità 2014/15 – Foglio di esercizi 7

Convergenza di variabili aleatorie, legge dei grandi numeri

Esercizi “teorici”

Esercizio 1. Sia ϕ : [0, ∞) → R una funzione crescente, limitata e continua (da destra) in zero, tale che ϕ(x) = 0 se e solo se x = 0 (per esempio, ϕ(x) = x/(1 + x)). Si mostri che Zn→ Z in probabilità se e solo se E(ϕ(|Z_n− Z|)) → 0.

[Sugg.: per il “se” usare un’opportuna disuguaglianza, per il “solo se” considerare gli eventi {|Z_n− Z| > ε} e {|Z_n− Z| ≤ ε}.]

Esercizio 2. (a) Sia {x_n}_n∈N una successione in uno spazio topologico E. Supponiamo che esista x ∈ E tale che, per ogni sottosuccessione {x_nk}_k∈N di {x_n}_n∈N, è possibile estrarre un’ulteriore sotto-sottosuccessione {x_n⁰

k}_k∈N che converge a x. Si dimostri che l’intera successione {x_n}_n∈N converge a x.

(b) Siano X, {X_n}_n∈N variabili aleatorie reali. Supponiamo che, per ogni sottosuccessione di {X_n}_n∈N, sia possible estrarre una sotto-sottosuccessione che converge a X in L^p (risp. in probabilità). Si mostri che allora la successione completa {X_n}_n∈N converge a

X in L^p (risp. in probabilità).

[Sugg. Si applichi opportunamente il punto precedente.]

(c) Si mostri che il punto precedente non vale per la convergenza q.c.. Si deduca che non esiste nessuna topologia che induce la convergenza q.c..

Esercizi “pratici”

Esercizio 3. Siano (X_n)_n∈N variabili aleatorie i.i.d. Exp(λ). Per a ∈ (0, ∞) definiamo gli eventi A^(a)_n := {Xn> a log n}.

(a) Per ogni a ∈ (0, ∞) fissato, si determini l’asintotica di P(A^(a)_n ) per n → ∞.

(b) Applicando opportunamente il lemma di Borel-Cantelli agli eventi (A^(a)_n )_n∈N, si mostri che

lim sup

n→∞

Xn

log n = 1

λ q.c. .

[Sugg. Si esprima l’evento {lim sup_{n→∞ log n}^Xn > a} in termini degli eventi A^(a)n .]

(c) Si mostri che la successione Z_n:= Xn/ log n converge a zero in probabilità e in L^p per ogni p, ma non ha limite q.c..

Esercizio 4. Siano {X_n}_n∈N variabili aleatorie indipendenti assolutamente continue, tutte definite sullo stesso spazio di probabilità, con densità date da

fXn(x) = 2n

(1 + nx)³1{[0,∞)}(x) . (a) Si mostri che X_n→ 0 q.c. e in probabilità.

(b) Si mostri che la convergenza ha luogo in L^p solo per alcuni valori di p ≥ 1 (quali?).

†Ultima modifica: 12 dicembre 2014.

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Esercizio 5. Siano (X_k)_k≥1 variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, a valori in {−1, +1}, con la seguente distribuzione:

P(X_k= 1) = p , P(X_k= −1) = 1 − p ,

dove p ∈ (0, 1) è un parametro fissato. Definiamo le variabili aleatorie (Y_k)_k≥1 mediante Y_k := 2^Xk,

quindi definiamo le variabili aleatorie (Z_n)_n≥0 ponendo Z₀:= 1 , Z_n:=

n

Y

k=1

Y_k= 2^Pnk=1Xk.

(a) Le variabili aleatorie (Y_k)_k≥1 sono indipendenti e/o identicamente distribuite? Le variabili aleatorie (Z_n)_n≥1 sono indipendenti e/o identicamente distribuite?

(b) Per quale valore di p si ha E[Y_k] = 1 ? D’ora in avanti si fissi tale valore.

(c) Si mostri che E[√

Z_n] → 0 e si deduca che Z_n→ 0 in probabilità.

(d) Si mostri che Z_n6→ 0 in L¹. (e) La successione Z_n ha limite q.c.?

[Sugg.: Si studi il comportamento q.c. della successionePn

k=1Xk per n → ∞, applicando opportunamente la legge dei grandi numeri.]

Esercizio 6. Siano {X_n}_n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X₁ ∈ L¹ e m := E(X₁) > 0. Si ponga S₀ := 0, Sn:= X1+ . . . + Xn.

• Si mostri che S_n→ +∞ q.c..

• Si mostri che P

n∈Ne^−εSn < ∞ q.c. per ogni ε > 0.

Esercizio 7. Siano {X_n}_n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X₁∈ L¹ e siano {Y_n}_n∈N variabili aleatorie i.i.d. con Y₁ ∈ L¹ e E(Y₁) > 0. Allora

Z_n:= X₁+ . . . + X_n Y1+ . . . + Yn

→ E(X₁)

E(Y1) q.c. . Esercizi di riepilogo sulle variabili aleatorie

Esercizio 8. Siano X, Y variabili aleatorie Exp(λ) indipendenti. Si mostri che le variabili aleatorie S := X + Y e R := X/Y sono indipendenti e se ne identifichino le leggi marginali.

[Sugg. Si determini la densità congiunta del vettore aleatorio (S, R) (cambio di variabili).]

Esercizio 9. Sia X una variabile aleatoria reale. Si definisce funzione generatrice dei momenti la funzione M_X(t) = E(e^tX) definita per ogni t ∈ R a valori in [0, +∞].

Supponendo che M_X(t) < ∞ in un intorno (−t0, +t0) di t = 0, si mostri che M_X(t) =

∞

X

k=0

E(X^k)t^k

k!, ∀t ∈ (−t₀, t₀) .

Di conseguenza, la funzione M_X è C^∞ (anzi analitica) in (−t₀, t0) e per ogni k ∈ N si ha d^kMX

dt^k (0) = E(X^k) .

[Sugg.: Si applichi il criterio per la convergenza degli integrali di serie di funzioni.]