Calcolo delle Probabilità 2014/15 – Foglio di esercizi 1

Calcolo delle Probabilità 2014/15 – Foglio di esercizi 1

Spazi di probabilità.

Si consiglia di svolgere in particolare gli esercizi numero 1, 2, 3 e 4.

Esercizio 1. Per ciascuno dei seguenti esperimenti aleatori, si determini uno spazio campionario Ω adeguato.

(a) Lancio n volte una moneta.

(b) Lancio n monete.

(c) Lancio una moneta ogni secondo, senza mai fermarmi.

(d) Lancio un dado a sei facce e una moneta.

(e) Osservo i 5 numeri estratti sulla ruota di Venezia del Lotto.

(f) Mescolo un mazzo da 40 carte e poi giro, una dopo l’altra, le prime 20 carte.

Esercizio 2. Siano A, (A_k)_k∈N sottoinsiemi di un’insieme fissato Ω.

(a) Si mostri che A_k ↑ A se e solo se A^c_k↓ A^c.

(b) Supponiamo che A_k↑ A e poniamo B_k := Ak∪ A^cper k ∈ N. Si mostri che Bk ↑ Ω.

(c) Siano (C_i)_i∈N insiemi arbitrari e poniamo A_k := Sk

i=1Ci per k ∈ N. Si mostri che A_k↑ A :=S

i∈NC_i.

(d) Supponiamo che A_k ↑ A e poniamo C_k := A_k\ A_k−1 per k ∈ N (con A0 := ∅). Si mostri che:

• gli insiemi (C_k)_k∈N sono a due a due disgiunti: C_k∩ C_l= ∅ per ogni k 6= l;

• Sn

k=1C_k= An per ogni n ∈ N;

• S

k∈NC_k= A.

Esercizio 3. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e sia (A_n)_n∈Nuna successione di eventi.

(a) Si mostri che se P(A_n) = 0 per ogni n ∈ N allora P(S

n∈NA_n) = 0.

(b) Si mostri che se P(A_n) = 1 per ogni n ∈ N allora P(T

n∈NA_n) = 1.

[Sugg.: Ricordarsi della subadditività della probabilità.]

Esercizio 4. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità. Si mostri che la famiglia di insiemi F := (A ∈ A : P(A) ∈ {0, 1})

è una σ-algebra.

Esercizio 5 (Formula di inclusione-esclusione). Dato uno spazio di probabilità (Ω, A, P), siano A₁, A2, . . . , An∈ A eventi. Si dimostri per induzione che

P(A1∪ A₂∪ · · · ∪ A_n) =

n

X

k=1

(−1)^k+1 X

J ⊆{1,2,...,n}

tali che |J |=k

P \

i∈J

Ai

! .

†Ultima modifica: 1 ottobre 2014.

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Esercizi di ripasso su σ-algebre e funzioni

Esercizio 6. Sia data un’arbitraria famiglia (A_i)i∈I di σ-algebre sullo stesso insieme Ω.

(a) Si mostri che l’intersezione A =T

i∈IA_i := {A ⊆ Ω : A ∈ A_i ∀i ∈ I} è sempre una σ-algebra su Ω.

(b) Si mostri che l’unione B = S

i∈IA_i := {A ⊆ Ω : ∃i ∈ I tale che A ∈ Ai} non è necessariamente una σ-algebra su Ω.

Esercizio 7. Siano Ω, E due insiemi non vuoti e sia f : Ω → E un’applicazione qualunque.

Per ogni B ⊆ E, definiamone la controimmagine f⁻¹(B) come

f⁻¹(B) := ω ∈ Ω : f (ω) ∈ B ⊆ Ω (con f⁻¹(∅) := ∅) , mentre per ogni A ⊆ Ω definiamone l’immagine f (A) come

f (A) := f (ω) : ω ∈ A} = x ∈ E : ∃ω ∈ A tale che f (ω) = x (con f (∅) := ∅) . (a) Si mostri che per ogni scelta di B, (B_i)i∈I sottoinsiemi di E si ha

f⁻¹(B)
c

= f⁻¹(B^c) , f⁻¹ [

i∈I

Bi

!

= [

i∈I

f⁻¹(Bi) , f⁻¹ \

i∈I

Bi

!

= \

i∈I

f⁻¹(Bi) , ossia la controimmagine rispetta le operazioni insiemistiche.

(b) Si mostri che per ogni scelta di (A_i)i∈I sottoinsiemi di Ω si ha

f [

i∈I

Ai

!

= [

i∈I

f (Ai) , ma che in generale

f (A)
c

6= f (A^c) , f \

i∈I

Ai

!

&

\

i∈I

f (Ai) .

Esercizio 8. Siano Ω, E due insiemi arbitrari e f : Ω → E un’applicazione qualunque.

(a) Sia E ⊆ P(E) una σ-algebra su E. Si mostri che la famiglia di sottoinsiemi f⁻¹(E ) := {f⁻¹(B) : B ∈ E } = {A ⊆ Ω : ∃B ∈ E tale che A = f⁻¹(B)}

è una σ-algebra su Ω.

(b) Sia A ⊆ P(Ω) una σ-algebra su Ω. Si mostri che in generale la famiglia di sottoinsiemi f (A) := {f (A) : A ∈ A} = {B ⊆ E : ∃A ∈ A tale che B = f (A)}

non è una σ-algebra su E.

(c) Sia A ⊆ P(Ω) una σ-algebra su Ω. Si mostri la famiglia di sottoinsiemi G := {B ⊆ E : f⁻¹(B) ∈ A} = {B ⊆ E : ∃A ∈ A tale che A = f⁻¹(B)} . è una σ-algebra su E.