Calcolo delle Probabilità 2014/15 – Foglio di esercizi 4
†Variabili aleatorie e distribuzioni.
Esercizi “teorici”
Esercizio 1 (Conservazione della legge). Siano X, Y due variabili aleatorie a valori nello stesso spazio misurabile (E, E) con la stessa legge: µX = µY. Sia ϕ : (E, E) → (F, F) un’applicazione misurabile, a valori in uno spazio misurabile generico. Si mostri che ϕ(X) e ϕ(Y ) sono variabili aleatorie con la stessa legge.
[È necessario che X e Y siano definite sullo stesso spazio di probabilità?]
Esercizio 2. Siano X, Y due variabili aleatorie, definite sullo stesso spazio di probabilità (Ω, A, P) e a valori nello stesso spazio misurabile (E, E). Assumiamo che X e Y siano q.c.
uguali, ossiaP(X = Y ) = 1. Si mostri che X e Y hanno la stessa legge.
[Sugg. Si mostri che se A è un evento tale cheP(A) = 1, allora P(A ∩ C) = P(C) per ogni evento C.]
Esercizio 3. Siano µ e ν due probabilità sullo stesso spazio misurabile(E, E). Per α ∈ [0, 1]
definiamo la combinazione convessa
γα(B) := αµ(B) + (1 − α)ν(B) .
(a) Si mostri che γα è una probabilità su(E, E), per ogni α ∈ [0, 1].
(b) Supponiamo d’ora in avanti che (E, E) = (R, B(R)). Si esprima la funzione di ripartizione di γα in termini di quelle di µ e ν.
(c) Assumiamo che µ sia una probabilità discreta, mentre ν sia una probabilità assoluta- mente continua su R. Che cosa si può dire su γα?
Esercizi “pratici”
Ricordiamo le formule per il valor medio di una v.a. X discreta, risp. assolutamente continua:
E[X] = X
x∈R
xpX(x) , risp. E[X] = Z
R
x fX(x) dx .
Esercizio 4. Si considerino3 urne identiche, ognuna contenente una pallina rossa e quattro palline verdi. Ci sono tre giocatori, ciascuno dei quali estrae una pallina da un’urna distinta.
Un montepremi di 300 Euro viene diviso tra i giocatori che estraggono la pallina rossa.
(a) Sia X il numero di Euro vinti da ogni giocatore vincente (X= 0 se nessun giocatore estrae la pallina rossa). Determinare la densità discreta e il valor medio di X.
(b) Si consideri uno dei tre giocatori, chiamiamolo Tizio, e sia Y il numero di Euro vinti da Tizio. Si determinino la densità discreta e il valor medio di Y .
†Ultima modifica: 30 ottobre 2014.
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Esercizio 5. Un gioco a premi ha un montepremi di 512 euro. Vengono poste ad un concorrente10 domande. Ad ogni risposta errata il montepremi viene dimezzato. Alla prima risposta esatta il concorrente vince il montepremi rimasto. Se non si dà alcuna risposta esatta non si vince nulla.
Un certo concorrente risponde esattamente ad una domanda con probabilità p ∈(0, 1), indipendentemente dalle risposte alle altre domande. Indicando con X la vincita di questo concorrente, si determini la distribuzione di X e se ne calcoli il valor medioE(X).
Esercizio 6. Un’urna contiene n ≥1 palline bianche e 2 palline rosse. Si eseguono estrazioni ripetute senza reimmissione. Introduciamo la variabile aleatoria
X := numero di palline bianche estratte prima di estrarre una pallina rossa.
Si mostri che X(Ω) = {0, 1, . . . , n} e che la densità discreta di X è data da
pX(k) = 2
(n + 2)(n + 1)(n − k + 1) , ∀k ∈ X(Ω) . Si calcoli quindi E(X).
[Sugg.: Può essere utile calcolare innanzitutto la probabilità dell’evento “le prime k palline estratte sono tutte bianche”. Si ricordi poi chePn
k=1k= n(n+1)2 e Pn
k=1k2 =n(n+1)(2n+1)
6 .]
Esercizio 7. Isacco lancia freccette contro un bersaglio circolare di raggio 24cm, diviso in tre regioni A, B, C da due circonferenze di raggio 8cm e 16cm, come in figura.
A B
C
0 8 16 24
A ogni freccetta lanciata corrisponde un punteggio, determinato nel modo seguente:
• 15 punti se la freccetta colpisce la regione A;
• 5 punti se colpisce la regione B;
• 3 punti se colpisce la regione C;
• 0 punti se manca il bersaglio.
(a) Quando Isacco è riposato, le sue freccette non mancano mai il bersaglio e finiscono in un punto scelto uniformemente dello stesso. Si determini la probabilità che una freccetta cada in ciascuna delle regioni A, B, C.
(b) Detto X il punteggio ottenuto in un lancio da Isacco quando è riposato, si determini la legge di X e se ne calcoli il valor medio.
(c) Quando Isacco è stanco, manca il bersaglio il20% delle volte, mentre quando colpisce il bersaglio le sue freccette finiscono in un punto scelto uniformemente dello stesso.
Detto Y il punteggio ottenuto in un lancio da Isacco quando è stanco, si determini la legge di Y (per esempio esprimendola in funzione della legge di X).
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Esercizio 8. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione U(0, 1). Per λ ∈ (0, ∞) fissato, si determini la distribuzione della variabile aleatoria
Y := −λ log X ,
mostrando che è assolutamente continua e riconoscendola come notevole.
Esercizio 9. Sia Z := (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale, con distribuzione uniforme nel quadrato unitario Q1:= {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
(a) Si determinino le leggi delle variabili aleatorie reali X e Y . (b) (*) Si determini la legge della variabile aleatoria S:= X + Y .
Sia ora Z0 := (X0, Y0) un vettore aleatorio bidimensionale, con distribuzione uniforme nel disco unitario D1:= {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1}.
(c) Si determinino le leggi delle variabili aleatorie reali X0 e Y0, mostrando che sono assolutamente continue.
[Sugg.: Per il punto (c), si esprima la funzione di ripartizione FX0 di X0 come un opportuno integrale (non c’è bisogno di calcolarlo!), mostrando che è una funzione C1 a tratti.]
Esercizio 10. Sia Z = (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale assolutamente continuo, con densità
f(x, y) := e−(x+y)1[0,∞)×[0,∞)(x, y) .
Si verifichi innanzitutto che la funzione f(x, y) è una densità su R2. Si determini quindi la legge della variabile aleatoria reale S:= X + Y , riconoscendola come notevole.
