Calcolo delle Probabilit` a 2011/12 – Programma d’esame
Il programma svolto nel corso `e descritto dettagliatamente nel registro delle lezioni, disponibile in rete all’indirizzo:
http://www.matapp.unimib.it/~fcaraven/did1112/cp/index.html Per la prova orale `e richiesta la conoscenza di tutte le definizioni e gli enunciati di teoria visti nel corso. `E richiesta inoltre la conoscenza delle seguenti dimostrazioni :
• Continuit`a dal basso e dall’alto della probabilit`a e relazioni con la σ-additivit`a [04/10]. Subadditivit`a finita e numerabile della probabilit`a [04/10].
• Legame tra densit`a congiunta e densit`a marginali per variabili aleatorie (v.a.) discrete [20/10]. Caratterizzazione dell’indipendenza di v.a. discrete in termi- ni delle densit`a congiunta e marginali [20/10].
• La somma di v.a. binomiali indipendenti `e binomiale [27/10].
• Definizione dell’integrale. Teorema di convergenza monotona [07/11].
• Condizioni per l’indipendenza di v.a. (Theorem 10.1 Jacod-Protter) [14/11].
• Caratterizzazione delle funzioni di ripartizione di v.a. reali [15/11].
• Caratterizzazione dell’indipendenza di v.a. reali assolutamente continue in termini della densit`a congiunta [22/11].
• Disuguaglianza di Chebychev. Legge debole dei grandi numeri per v.a. reali in L2 scorrelate [05/12]. Il teorema di approssimazione di Weierstrass [06/12].
• Legge forte dei grandi numeri per v.a. reali in L2 scorrelate [06/12].
• Relazioni tra le varie nozioni di convergenza per v.a. reali:
– Le convergenze q.c. e in Lp implicano quella in probabilit`a [12/12].
– Viceversa parziali: la convergenza in probabilit`a implica quella q.c. lungo una sottosuccessione [13/12]; la convergenza in probabilit`a con domina- zione in Lp implica la convergenza in Lp [13-14/12].
– La convergenza in probabilit`a implica quella in legge; vale il viceversa se il limite `e q.c. costante [20/12].
• Lemma di Borel-Cantelli. Criteri per la convergenza Zn→ Z q.c. [13/12]:
– necessario e sufficiente: P(lim supn{|Zn− Z| > }) = 0 ∀ > 0;
– sufficiente: P
n∈NP(|Zn− Z| > ) < ∞ ∀ > 0.
• La convergenza Zn → Z in legge implica la convergenza delle funzioni di ripartizione FZn(t) → FZ(t) in ogni t ∈ R in cui FZ `e continua [20/12].
• Legge 0-1 di Kolmogorov [15/12].
• Unicit`a del limite debole di successioni di probabilit`a [19/12].
• Una successione tight di probabilit`a su R ammette una sottosuccessione che converge debolmente [10-11/01].
• Teorema limite centrale [12/01].
• Uno stato j ∈ E di una catena di Markov `e transitorio (risp. ricorrente) se e solo se P
n∈Np(n)jj < ∞ (risp. = ∞). Gli stati di una classe di irriducibilit`a sono tutti ricorrenti, oppure tutti transitori [18/01].
• Ogni classe di irriducibilit`a ricorrente di una catena di Markov `e chiusa; ogni classe di irriducibilit`a chiusa e finita `e ricorrente [19/01].
