CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Appello di FISICA, 5 Luglio 2010
1) Un corpo di massa m=100 g viene messo in moto su un piano orizzontale con velocità v=5 m/s. Il piano è scabro nel tratto AB (lungo d = 50 cm) con coefficiente di attrito dinamico μ = 0.2, mentre successivamente (tratto BC ed oltre) è liscio. Dopo avere percorso il tratto AB, il corpo di massa m urta, in modo completamente anelastico, contro un corpo di massa M = 500 g. Dopo l’urto il corpo di massa (m+M) procede lungo il piano liscio, fino al punto C, ove si trova una molla a riposo, di costante elastica k = 103 N/m, come mostrato in figura. Si calcoli:
a) la velocità del corpo di massa m subito prima dell’urto e la velocità del corpo di massa (m+M) subito dopo l’urto;
b) la velocità del corpo di massa (m+M) nel punto C e la massima compressione x subita dalla molla.
2) Una carica positiva Q = 4 10-10 C è fissata nell’origine O di un sistema d’assi (x,y) su un piano orizzontale. Una carica q, negativa, pari a -10-12 C si muove di moto circolare uniforme nel piano (x,y), lungo una circonferenza di raggio R = 10-6 m e centro O, impiegando 3.14 10-6 s per percorrere l’intera circonferenza. Si calcoli:
a) la massa m della carica q
b) l’energia totale del sistema di cariche q, Q.
3) Una cisterna cilindrica di altezza H = 4 m e raggio R = 1 m è piena d’acqua e poggia al suolo.
All’altezza h = 0.5 m dal suolo è presente un foro circolare di raggio r = 1 cm dal quale fuoriesce uno zapillo. Si calcoli:
a) la velocità, in modulo direzione e verso, dello zampillo d’acqua all’uscita dal foro, facendo le opportune approssimazioni;
b) la distanza orizzontale a cui lo zampillo d’acqua tocca il terreno.
4) Una quantita` pari a n=2 moli di gas perfetto monoatomico, che occupa un volume VA= 0.100 m3 alla pressione PA= 1.00 105 Pa, compie un ciclo termodinamico composto dalle seguenti trasformazioni: AB espansione isobara fino ad un volume VB=2VA, BC decompressione isocora fino ad una pressione PC=1/2 PA, CA compressione isoterma che riporta il gas alle condizioni iniziali.
Il candidato svolga i seguenti punti:
a) disegnare il ciclo sul piano V- p, trovare le temperature nei punti A, B e C e calcolare il lavoro totale compiuto dal gas;
b) calcolare i calori scambiati nelle trasformazioni e mostrare esplicitamente che la variazione di energia interna totale nel ciclo e’ nulla.
[Nota: 0 = 8.85 10-12 C2/Nm2
R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole]
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI. SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti
alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), qinf.fisica.unimi.it (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
a) La velocità vf del corpo m immediatamente prima dell’urto di ottiene applicando il teorema delle forze vive, dove la forza di attrito è l’ unica forza che compie lavoro lungo il tratto d. Pertanto:
s m m
s m s
m gd
v v
gd v
v
mgd d
F mv mv
K
i f
i f
d i f
/ 8 . 4 5 . 0 / 8 . 9 2 . 0 2 ) / 5 ( 2
2 2 1 2
1
2 2
2 2 2
2 2
La velocità V del corpo (m+M) dopo l’urto completamente anelastico si ottiene applicando la conservazione della quantità di moto totale del sistema:
m vf = (m + M) V V = m/(m+M) vf = 0.8 m/s
b) In C il corpo (m+M) ha la stessa velocità che ha in B, dato che il piano nel tratto BC è liscio.
La massima compressione x della molla si ottiene quando il corpo di massa (m+M) è fermo.
Per la conservazione della energia meccanica si ottiene:
m k V
M x m
x k V
M m
U K U
Ki i f f
02 . ) 0 (
2 ) 1 2(
1 2 2
SOLUZIONE ESERCIZIO 2
a) La carica q percorre, con velocità costante in modulo, l’intera circonferenza pari a 2R, in un intervallo di tempo t = 3.14 s, pertanto il modulo della sua velocità è /v/ = 2R / t = 2 m/s. La forza centripeta, causa del moto circolare della carica q, è la forza elettrostica che si esercita tra le due cariche Q e q.
Indicato con Q e q il valore assoluto delle cariche si ha :
mv 2 / R = k Q q / R2 dove k = 1/ 4o = 910 9 N m2 /C2 (1) da cui si ricava m = k Q q / R v2 .
Sostituendo i valori numerici si ottiene : m = 9 10-7 kg
b) L’energia totale del sistema di cariche Q, q è la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale , pertanto:
E = ½ m v 2 - k Q q / R ( Q e q sono i valori assoluti delle cariche ) Poiché dalla (1) risulta ½ m v 2 = ½ k Q q / R , si ha
E = ½ k Q q / R - k Q q / R = - ½ k Q q / R = - 18 10-7 J
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) Utilizzando l’equazione di continuità è possibile valutare il rapporto v1/v2 fra le velocità del fluido in corrispondenza della sezione superiore A1 (di raggio R) della cisterna e all’uscita dal foro (di sezione A2 e raggio r):
A1v1 = A2v2
v1/v2 = A2/ A1= (r/R)2 = 10-4
La velocità v1 del pelo dell’acqua della cisterna è quindi trascurabile rispetto alla velocità v2 di deflusso dal foro.
La velocità di deflusso dal foro è diretta orizzontalmente e ha modulo v2 che può essere ottenuto applicando il teorema di Bernoulli:
s m m
s m h
H g v
gh v
p gH v
po o
/ 3 . 8 ) 5 . 0 4 ( / 8 . 9 2 ) ( 2
2 1 2
1
2 2
2 2 2
1
b) Dopo la fuoriuscita dal foro ogni goccia d’acqua segue una traiettoria parabolica (moto del proiettile) . L’istante in cui tocca il suolo si ottiene dalla equazione della traiettoria in y:
g s t h
gt h gt t v y t
y oy
3 . 2 0
2 0 1 2
) 1
( 0 2 2
da cui segue che la distanza orizzontale è pari a:
x(t) x0 voxt 0v2t8.3m/s0.3s2.5m
SOLUZIONE ESERCIZIO 4
a) Usando le informazioni dateci dal testo e la legge dei gas abbiamo TA = 602 K ed inoltre TB =2 TA = 1.20 10 3 K e TC=TA = 602 K.
Inoltre
LAB = PA (VB - VA) = PA VA =10 4 J, LBC=0,
LCA = n R TA log VA / VC = - n R TA log 2 = - PA VA log 2 = - 0.693 10 4 J, e dunque
LTOT = PA VA (1 – log 2) = 0.307 10 4 J
b) I calori scambiati sono:
QAB = n Cp (TB -TA)= 5/2 n R TA = 5/2 PA VA = 2.50 10 4 J QBC = n Cv (TC –TB)= - 3/2 n R TA = -3/2 PA VA = - 1.50 10 4 J QCA = LCA = - 0.69 10 4 J
e per le variazioni di energia interna
UAB = QAB - LAB = n Cp (TB -TA) - PA VA = 3/2 PA VA
UBC = QBC = -3/2 PA VA
UCA = 0 da cui
UTOT = 0
V p
A B
C
