CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA – 13 febbraio 2014
1) Su un piano orizzontale liscio, un cubetto di massa M= 100 g viene tenuto appoggiato ad una molla di costante elastica k , posta parallelamente al piano , che risulta quindi compressa di un tratto L = 10 cm. Lasciato libero di muoversi , il cubetto percorre un tratto d =1m sul piano orizzontale e sale poi su un piano inclinato di 30 ° liscio, percorrendo un tratto D = 2 m , prima di arrestarsi . Si calcoli:
a) la costante elastica della molla;
b) quale tratto percorrerebbe sul piano inclinato di 30 °, qualora questo fosse scabro con coefficiente di attrito 0.2, a parità delle altre condizioni?.
2) Dato un sistema d’assi cartesiani di origine O, una particella di carica q = - 2 10-9 C e massa m = 5 10-6 kg , viene lanciata nel piano (x,y) partendo da O, con velocità v0= 15 m/s inclinata di un angolo θ =60°, rispetto al semiasse positivo x. In O è posta, perpendicolarmente all’asse y, una lamina piana, uniformemente carica di densita’ σ = + 9 10-8 C/m2. Calcolare, trascurando la gravità, :
a) la massima distanza dalla lamina a cui si troverà la carica q
b) l’energia cinetica della carica q nel punto alla massima distanza dalla lamina . [Nota: ε0 = 8.85 10-12 C 2/Nm2 ]
3) Un recipiente cilindrico, aperto superiormente , ha diametro pari a 1 m. Contiene acqua ed ha sul fondo un foro, che ha sezione s = 2 cm2, ed è inizialmente chiuso da un tappo. Tolto il tappo, l’acqua esce dal foro con portata volumetrica Q pari a 2 L/s. Calcolare:
a) la velocità con cui l’acqua esce inizialmente dal foro e la velocità dell’acqua in un punto della superficie libera superiore.
b) il volume di acqua inizialmente contenuto nel recipiente.
[ Nota: Supporre l’acqua nel recipiente un fluido id eale in moto stazionario e irrotazionale ].
4) Due moli di un gas perfetto monoatomico compiono un ciclo reversibile a partire dallo stato iniziale A, in cui la pressione pA = 3 105 Pa e il volume VA = 2 10 –3 m 3 , costituito dalle seguenti trasformazioni : AB, in cui la pressione aumenta linearmente con il volume ed inoltre pB = 2 pA e V B = 3 V A ; BC, isovolumica con pC = pA,, e CA , isobara .
a) si disegni il ciclo in un diagramma p, V e si calcoli il lavoro compiuto dal gas nelle trasformazioni AB e CA.
b) si calcolino le quantità di calore scambiate dal gas nelle singole trasformazioni e nell’intero ciclo.
[ Nota: R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole ].
SCRIVERE IN MODO CHIARO, GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI, SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE
NON DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
a) All’istante del distacco dalla molla il cubetto ha energia cinetica Ecin0 =
½
M v o2 =½
K L2 dove L è la compressione della molla. Nel tratto orizzontale percorso dal cubetto sul piano liscio il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti sul cubetto è nullo, quindi la sua energia cinetica non varia. Nel tratto percorso dal cubetto sul piano inclinato liscio, l’unica forza che compie lavoro (negativo) è la forza peso. Applicando il teorema lavoro-variazione dell’energia cinetica al tratto percorso sul piano inclinato fino all’arresto, si ha :- Mg sen 30° D = 0 -
½
M v o2 = 0 -½
K L2 da cui è possibile ricavare la costante K.Sostituendo i valori numerici si trova K= 196 N/m
b) Qualora il piano inclinato fosse scabro, nel tratto percorso dal cubetto sul piano inclinato, fino all’arresto, oltre alla forza peso compierebbe lavoro ( sempre negativo) anche la forza di attrito . Applicando sempre il teorema lavoro- variazione dell’energia cinetica , si avrebbe quindi:
- Mg sen 30° D* - µ Mg cos 30° D* = 0 -
½
M v o2 = 0 -½
K L2 da cui è possibile ricavare D* . Sostituendo i valori numerici si trova D* = 1.49 mSOLUZIONE ESERCIZIO 2
a) Il campo elettrostatico creato dalla lamina piana è E = (σ / 2 ε0 ) j , dove j è il versore del
semiassepositivo y. La forza elettrostatica agente sulla carica negativa q è F = (σ q / 2 ε0 ) (- j ) , dove q è il modulo del valore della carica . L ’accelerazione della carica è pertanto parallela e opposta in verso al semiasse positivo y, a = a y .(- j ) = (σ q / 2m ε0 ) (- j ) = 2 m/s 2 (- j ) = costante .
Nel punto alla massima distanza dalla lamina, è vy = 0
dove vy = - (σq / 2m ε0 ) t + v0y e v0y = / v0 / sen 60° = 15 sen 60°. Si ricava quindi l’istante t*
in cui è vy = 0 , che risulta 6.5s. Sostituendolo nella seguente :
y = - ½ (σq / 2m ε0 ) t 2+ v0y t si trova la massima distanza dalla lamina, che risulta 42.2 m..
b) L’energia cinetica della carica nel punto di massima distanza dalla lamina è Ecin = ½ m (v0x) 2 dove v0x = / v0 / cos 60° = 15 cos 60° = 7.5 m/s da cui Ecin =140.6 10 -6 J.
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) La portata volumetrica Q, costante, è Q= v S dove v è la velocità del fluido attraverso la sezione S del condotto . La velocità di efflusso dell’acqua dal foro vF si calcola quindi dalla vF = Q / SF dove SF è la sezione del foro. Sostituendo i valori numerici si ottiene:
vF = 2 ∗ 10 –3 (m 3 / s) / 2∗ 10–4 (m2) = 10 m/s. Analogamente la velocità alla superficie libera superiore vL è vL = Q / SL dove SL è la sezione del cilindro. Sostituendo i valori numerici si ottiene : vL = 2 ∗ 10 –3 (m 3 / s) / 0.5 2 ∗ π (m2 ) = 2.6 ∗10 –3 (m / s).
b) Applicando il teorema di Bernoulli ai punti della superficie libera dell’acqua e a quelli del foro si ha:
½ ρ vL2 + ρg hL = ½ ρ v F2 dove hL è l’altezza dell’ acqua contenuta nel cilindro . Il termine ½ ρ vL2 è trascurabile rispetto a ½ ρv F2 e pertanto h ≅ ½ v F2 / g = 5.1 m. Il volume di acqua
inizialmente contenuto è pertanto V= SL hL = 0.5 2 ∗ π (m2 ) ∗ 5.1 (m) =4 m3.
SOLUZIONE ESERCIZIO 4 a) La figura mostra il ciclo in un diagramma pV .
In un diagramma di questo tipo il Lavoro compiuto dal gas nelle trasformazioni AB e CA è pari all’area delimitata dalle trasformazioni stesse e dall’asse V , tra lo stato iniziale e quello finale.
Pertanto:
LAB = (pB + pA ) ( VB-VA) /2 = 1800 J , LCA = ( VA- VC ) pA= -1200J
b) La variazione di energia interna relativa all’intero ciclo è nulla e pertanto la quantità di calore scambiata nell’intero ciclo è uguale al lavoro compiuto dal gas nell’intero ciclo. Il lavoro totale è la somma di quello compiuto nella trasformazione AB e nella trasformazione CA ( quello relativo alla trasformazione BC è nullo ).
Le temperature in A, B e C sono:
TA = pAVA/(nR)
TB = pBVB/(nR) = 2pA 3VA/(nR) = 6 TA
TC = pCVC/(nR) = pAVB/(nR) = 3 TA
E lo scambio di calore nelle singole trasformazioni è pari a :
QAB = ΔEAB + LAB = ncv (TB-TA) + LAB
= n 3/2 R 5 TA + LAB
= 15/2 pAVA + LAB = = 4500 J + 1800 J = 6300 J QBC = ncv (TC-TB)
= - n 3/2 R 3 TA
= - 9/2 VA pA = - 2700 J QCA = ncP (TA-TC)
= - 5/2 R 2 TA
= -5 pAVA = -3000
La quantità di calore scambiata nell’intero ciclo è pari al lavoro compiuto dal gas
Qtot= 1800 J- 1200 J = 600 J
che coincide con la somma dei calori scambiati durante le trasformazioni.
A C
B p
V
