CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA – 9 luglio 2015

1) Un corpo si massa M = 300 g poggia su un piano orizzontale liscio lungo l = 2 m, seguito da un piano orizzontale scabro, di lunghezza L = 5.5 m, con coefficiente di attrito dinamico µ = 0.25. Il corpo comprime inizialmente una molla, di costante elastica k = 2 10

N/m, di un tratto d = 8 cm e successivamente viene lasciato libero.

Calcolare:

a) La velocità del corpo M all’istante in cui si stacca dalla molla e la velocità nel punto A, alla fine del tratto l, orizzontale e liscio;

b) la velocità nel punto B, alla fine del tratto L orizzontale e scabro, e la massima quota h raggiunta nel punto C, su un piano inclinato e liscio, che inizia al termine del tratto orizzontale scabro.

2) Una cisterna cilindrica, alta H = 5 m e di diametro D = 3 m, poggia su una piattaforma a quota Y da terra ed ha un forellino di diametro d = 2 cm ad una distanza h = 0.5 m dal fondo della cisterna.

Calcolare:

a) la velocità di deflusso dell’acqua dal forellino;

b) la quota Y a cui si trova la cisterna, sapendo che lo zampillo d’acqua che fuoriesce dalla cisterna cade ad una distanza orizzontale L = 8 m dalla cisterna.

3) Una carica positiva Q = 3 10

C è fissata ad un punto O. Una particella di massa m= 10

g e carica negativa q = -6 10

C si muove uniformemente su una traiettoria circolare di centro O e raggio R = 10

m.

Determinare:

a) il modulo della velocità della carica q e la frequenza di rivoluzione attorno alla carica Q;

b) l’energia potenziale e l’energia totale del sistema delle due cariche.

[N.B. ε

= 8.85 10

C

/Nm

]

4) Due moli di un gas perfetto monoatomico compiono le seguenti trasformazioni termodinamiche:

AB : trasformazione isobara dal Volume V

= 1 litro e pressione p

= 4 atm fino al volume V

= 2 litri ;

BC : trasformazione isoterma fino al volume V

= 4 litri ; CD : trasformazione isocora fino alla pressione p

= 0.5 atm:

DA : trasformazione in cui la pressione aumenta linearmente al diminuire del volume ed il gas torna nello stato iniziale A .

a) Si disegni il ciclo e si calcolino le coordinate termodinamiche (p, V, T ) dei punti A, B, C,D.

b) Si calcolino Quantità di calore e Lavoro compiuto dal gas nelle singole trasformazioni e nell’intero ciclo

c) Facoltativo: si determini il rendimento del ciclo.

[Nota: R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole ]

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SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI.

SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA`

DI MISURA.

Testi, soluzioni ed esiti alle pagine:

www2.fisica.unimi.it/bettega/ (A-L) e www.mi.infn.it/~sleoni (M-Z)

SOLUZIONE ESERCIZIO 1

a) La velocità posseduta da M al momento dello stacco dalla molla si può ricavare dalla conservazione della energia meccanica:

1

2

= 1 2

M d

= 2 ×10

0.3kg 0.08m = 6.5m / s

Alla fine del tratto l, orizzontale e liscio, la velocità vA è la medesima, non essendoci forze dissipative che compiono lavoro.

b) Al termine del tratto L, orizzontale e scabro, la velocità v_B di M sarà ridotta, a causa della forza di attrito. Tale velocità si può ricavare dal teorema Lavoro-Energia cinetica, ove l’unica forza che compie lavoro è la forza di attrito:

ΔK = 1

2

− 1 2

= 

⋅ 

L = −µMgL

1

2

= 1

2

− µMgL

= v

2

− 2µgL

= (6.5m / s)

− 2 × 0.25 × 9.8m / s

× 5.5m

= 3.9m / s

La quota h sul piano inclinato e liscio si ottiene dalla conservazione della energia meccanica tra i punti B e C:

1

2

= Mgh

2g

= (3.9m / s)

2 × 9.8m / s

= 0.8m

SOLUZIONE ESERCIZIO 2

a) La velocità v

con cui il pelo dell’acqua si abbassa alla superficie della cisterna è trascurabile rispetto alla velocità v

di deflusso dell’acqua dal forellino, come segue dalla equazione di continuità:

La velocità v

di deflusso dell’acqua dal forellino si ottiene applicando il teorema di Bernoulli:

Infatti, p

= p

= 1 atm, h

= H+Y, h

= h+Y ed il termine in v

è trascurabile rispetto a quello in v

, da cui segue:

b) All’uscita dal forellino il moto del fluido è di tipo parabolico, essendo soggetto alla sola accelerazione di gravità. Le equazioni del moto in x ed y sono quindi:

Nota la distanza orizzontale L, a cui cade al suolo lo zampillo d’acqua, si può ricavare il tempo di volo t e quindi la quota Y a cui si trova la cisterna, rispetto al suolo:

t = L/v

= 0.85 s

2 ( 1

) 2 (

1 2

1

2 1 2

1

2 2

2 1 2

1 2 1 2

2

2 2 2

2 2 1 1

1

h H g v

h h g p p v v

v gh

p v gh

p

−

≈

− +

−

=

−

+ +

= +

+

ρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ ρ

v₂ ≈ 2g(H − h ) = 2 × 9.8m / s²× (5m − 0.5m ) ≈ 9.4 m / s

x = v2t = L y = y0−1

2gt² = (Y + h) −1

2gt²= 0

Y = −h +1

2gt² = −0.5m +1

2× 9.8m / s²× (0.85)²= 3.04m A₁v₁= A2v₂

π

2)²v_{1 =}

π

v₂ = (d

D)^{2 =}(2 ×10⁻²m

3m )²= 4.4 ×10⁻⁵

SOLUZIONE ESERCIZIO 3

a) La forza centripeta che determina il moto circolare uniforme della carica q è la forza di attrazione elettrostatica esercitata da Q su q.

Pertanto :

(kQq) / R ² = m v ² / R

dove k = 1/ 4πεo e Q e q sono i valori assoluti delle cariche Si ricava v e sostituendo i valori numerici si ottiene:

v = [(kQq) / mR]^1/2 = 12.7 10³ m/s

Il periodo di rivoluzione è pari al tempo impiegato a percorrere una intera orbita di raggio R:

T = 2πR/v = 4.9 10^-10 s

La frequenza di rivoluzione è l’inverso del periodo T e corrisponde al numero di rivoluzioni al secondo:

ν = 1/Τ = 2 10⁹ s = 2 GHz

b) L’energia potenziale del sistema di due cariche è data da:

U = - (k Qq) / R = - 1.6 10^-15 J

dove Q e q sono i valori assoluti delle cariche.

L’energia totale E del sistema delle due cariche è la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale U:

K = ½ mv² = 0.8 10^-15 J E = ½ mv² - (k Q q) / R

Sostituendo i valori numerici si ottiene E = - 8.1 10 ^-16 J

SOLUZIONE ESERCIZIO 4

A B

C

D

V

p

Le coordinate termodinamiche dei punti A. B, C, D sono:

A: p_A= 4.05 10 ⁵ N/m² V_A= 10 ^-3 m ³ T_A= 24.37 K B: p_B= p_A= 4.05 10 ⁵ N/m² V_B= 2V_A= 2 10 ^-3 m ³ T_B= 2T_A= 48.74 K C p_C= p_A /2 = 2.03 10 ⁵ N/m² V_C= 4V_A= 4 10 ^-3 m ³ T_C = 2T_A= 48.74 K D: pD= pA /8 = 0.5 10 ⁵ N/m² VD = VC = 4VA= 4 10 ^-3 m ³ TD = TA /2 =12.19 K

b) AB è isobara quindi QAB = n cp (TB -TA) con cp = 5R/2, mentre LAB = pA (VB-VA). Sostituendo i valori numerici si ottiene QAB = 1012.6 J ( assorbito ) e LAB = 405 J

BC è isoterma , quindi Q_BC = L_BC = n R T_B ln ( V_C/ V_B) = 561.5 J

CD è isocora , pertanto Q_CD= ncv ( T_D-T_C) = - 911.7 J ( ceduto), (cv = 3R/2) , mentre L_CD = 0.

Per DA è semplice calcolare il Lavoro come area del trapezio rettangolo di lato obliquo DA, altezza ( VA- VD) e basi pA e pD . La Quantità di calore QDA può poi essere calcolata dalla QDA = LDA + ΔE DA. dove ΔE DA = n cv ( TA-TD). Sostituendo i valori numerici si ottiene LDA = -683.5 J e QDA = -379.4 J

La Quantità di Calore totale scambiata nel ciclo è Qtot = QAB + QBC + QCD + QDA = 283 J = Ltot

La Quantità di Calore totale assorbita in un ciclo è Q ass = QAB + QBC e pertanto il rendimento.

η = Ltot / Q ass = 0.18.