Esercizi di Algebra Lineare Coniche
17 maggio 2013
Esercizio 1 Determinare la conica passante per i punti A(0, 0) , B(1, 0) , C(0, 1) e tangente alla retta r di equazione x + y − 4 = 0 nel suo punto P (2, 2) .
Soluzione Consideriamo il punto P come doppio e consideriamo
• conica C1 costituita dalle rette r e AB −→ equazione y(x + y − 4) = 0 , non passa per C ;
• conica C2 costituita dalle rette AP e BP −→ equazione (x − y)(2x − y − 2) = 0 , non passa per C .
• fascio di coniche: (x − y)(2x − y − 2) + ky(x + y − 4) = 0 .
• impongo il passaggio per C : k = 1
• la conica richiesta ha equazione x2− xy + y2− x − y = 0
u t Esercizio 2 Determinare la parabola con vertice V (−2, 2) , asse parallelo a x = y , passante per P (0, 2) . metodo alternativo
Soluzione
• calcolo il simmetrico di P rispetto all’asse ( r : −x + y = 4 ) −→Q(−2, 4)
• fascio di coniche per V (punto doppio su s : x + y = 0 ), P e Q : (x + y)(x + y − 2) + k(x + 2)(x − 2) = 0
• impongo che sia una parabola: matrice associata a forma quadratica x2+ y2+ 2xy + kxy con autovalore nullo −→k = −4
• la conica richiesta ha equazione x2− 2xy + y2+ 6x − 10y + 16 = 0
u t
Esercizio 3 Dimostrare che per i quattro vertici di un rettangolo non passano parabole.
Soluzione
• Detti A, B, C, D i vertici del rettangolo, scegliamo il sistema di riferimento in modo che sia A(0, 0), B(a, 0), C(0, b), D(a, b) .
• due coniche passanti per questi quattro punti sono quelle rappresentate dalle equazioni x(x − a) = 0 e y(y − b) = 0 .
• nessuna delle due `e una parabola, cerchiamo l’eventuale parabola nel fascio con equazione x(x − a) + ky(y − b) = x2+ ky2− ax − bky = 0 .
• Nessuna di esse `e una parabola (senza termini misti, autovalori 1 e k ...).
u t
1
