ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA

a.a. 2005-2006 24.1.2007

ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA

Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni.

(1) Sia V λ , al variare di λ ∈ R il sottospazio di R ⁴ costituito dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 



 

x 1 + 2x 2 − x 4 = 0 2x 1 + 4x 2 + x 3 − x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + λx 4 = 0

. Determinare

• La dimensione e una base di V λ , al variare di λ ∈ R;

• Una base del sottospazioV ₋₁ ^⊥ . (2) Provare che

V = {

 x + y 2x z 2y + z



: x, y, z ∈ R}

`

e un sottospazio vettoriale di M 2 (R) e determinarne una base.

(3) Sia L :

 



 

x = t ² + t y = t ³ + t ² z = t ³ − t

,

• dire se L ` e piana ed eventualmente determinare il piano che la contiene,

• scrivere una rappresentazione del cono con vertice in (1, 1, 0) che si appoggia a L,

• trovare la proiezione ortogonale di L sul piano x − z = 0.

(4) Dati i punti di P ³ (R), P 1 = [0, 1, 1, 1], P 2 = [0, 1, −1, 0], P 3 = [1, 0, 1, 1], P 4 = [0, 0, 2, 1], siano rispettivamente r ed s le rette congiungenti P 1 con P 2 e P 3

con P 4 ,

• determinare le equazioni di r ed s,

• determinare r ∩ s,

• determinare un piano contenente sia r che s,

• determinare un piano π contenente s ma non r e calcolare π ∩ r

• determinare un riferimento proiettivo di P ³ (R) contenente P ₁ , P ₂ , P ₃ .

1

a.a. 2005-2006 11.7.2006

ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA

Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni.

(1) Date σ :

 



 

x = u ² + v ² y = u − v z = uv

e γ :

 



 

x = t ² − t y = t + 1 z = t ² + t

:

• dire se γ ` e piana.

• dire se γ ⊂ σ,

• dire se σ ` e un cilindro o un cono,

• determinare una curva C ⊂ σ.

(2) Siano r λ :

( λx − y − z = λ

x + λy = 0 ed s λ :

( λx + (λ + 2)y = 0 (λ + 2)x + λz = 0

• dire per quali valori di λ ∈ R i sistemi r _λ , s _λ , rappresentano rette,

• determinare gli eventuali valori per cui r _λ ∩ s _λ = ∅,

• determinare r _λ ∩ s _λ , al variare di λ ∈ R.

(3) Siano P 0 [1, 1, 1], P 1 [2, 0, 1], P 2 [0, 2, 1], , P 3 [0, 1, 1] ∈ P ² (R),

• provare che P 0 , P 1 , P 2 sono allineati e che P 0 , P 1 , P 3 non lo sono,

• determinare un punto Q ∈ P ² (R) tale che P 0 , P 1 , P 3 , Q non siano in posizione generale,

• determinare un punto P 4 sulla retta per P 0 e P 1 tale che β(P 0 , P 1 , P 2 , P 4 ) = 2.

1

Esame di Geometria per Informatica

a.a. 2003-2004, 20. 7. 2004

Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni

1. • Dato il polinomio X ⁸ −1 ∈ C[X], determinare le soluzioni dell’equazione X ⁸ − 1 = 0.

• Identificando il piano di Argand-Gauss con R ² , scrivere le equazioni delle diagonali di lunghezza 2 dell’ottagono regolare O di vertici i numeri complessi determinati precedentemente.

2. Sia γ : {(t ² − 1, t ² − 2t, t + 1) : t ∈ R}.

• Provare che γ ` e una curva piana.

• Determinare proiezione ortogonale di γ su π : x − y − 2z = 0.

3. • Determinare il piano π passante per i punti A[0, 0, 0, 1], B[1, 1, −1, 0], C[1, −2, 2, 1] ∈ P ³ (R).

• Scrivere una rappresentazione parametrica della retta impropria di π.

• Dire se i punti A, B, C, D[1, 1, 1, 1], E[0, 1, −1, 0] individuano un rifer- imento proiettivo di P ³ (R).

4. Data la matrice

A =

 1 −1 0

0 1 1



∈ M 2,3 (R).

• Dire se:

∃ B ∈ M 3,2 (R) tale che AB = I 2 ,

∃ C ∈ M 3,2 (R) tale che CA = I 3 ,

in caso affermativo esibire un esempio, specificando se ne ∃ in numero finito o infinito.

• Detti rispettivamente

φ A : R ³ −→ R ² l’omomorfismo associato ad A ∈ M 2,3 (R), φ D

: R ² −→ R ³ l’omomorfismo associato a

D _a =



 1 2 2 4 1 a



 ∈ M 3,2 (R)

rispetto alle basi canoniche,

determinare dim k ker (φ D

◦ φ A ) al variare di a ∈ R.

1

Esame di Geometria per Informatica

a.a. 2003-2004, 16. 9. 2004

Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni.

n.o. es 1,2,3,4;

v.o. es 1,2,4,5.

1. Dato il polinomio X ⁿ −1 ∈ C[X], dire per quali n ∈ Z il numero complesso z = i ` e radice dell’equazione X ⁿ − 1 = 0.

2. Sia γ : {(t ² − 1, 2t − 2, t + 1) : t ∈ R}.

• Provare che γ ` e una curva piana.

• Determinare proiezione ortogonale di γ su π : x − y − 2z = 0.

• Trovare una superficie S non piana contenente γ.

3. Data la proiettivit` a f (x 0 , x 1 , x 2 ) = (x 0 + x 1 − x 2 , 3x 0 + 2x 1 + x 2 , 3x 1 + 3x 2 ) di P ² (R).

• Provare che f ha 3 punti fissi P ₁ , P ₂ , P ₃ distinti e determinarli.

• Dire se ∃ rette di punti fissi per f.

• Dire se ∃ un riferimento proiettivo di P ² (R) che abbia i tre punti P 1 , P 2 , P 3 come punti fondamentali ed eventualmente determinarlo.

4. Sia φ : R ⁴ −→ R ³ l’omomorfismo associato alla matrice

M _φ(E ^E

4

) =





1 0 3 0

2 1 6 −2

1 −1 3 2



 .

• Determinare una base di ker φ e una base di im φ.

• Determinare un vettore u ∈ R ³ tale che φ ⁻¹ (u) = ∅.

• Determinare, se esitono, tre vettori l. i. v 1 , v 2 , v 3 ∈ R ⁴ tali che φ(v 1 ) = φ(v 2 ) = φ(v 3 ).

• Determinare un vettore v ∈ R ⁴ tale che φ(v) = (2, 4, 2).

5. Dato U = L{(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1, )}.

• Trovare due sottospazi V 6= W ⊂ R ⁴ tali che U + V = U + W = R ⁴ e U ∩ V = U ∩ W = 0 _R

.

• Determinare φ : R ⁴ −→ R ⁴ tale che φ _|U = id _U e φ(U ) = W.

• Dire se φ ` e necessariamente surgettiva, iniettiva.

1

Esame di Geometria per Informatica

a.a. 2003-2004, 17. 6. 2004

Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni.

Recupero I compitino esercizi 1, 2.

Recupero II compitino esercizi 3, 4.

1. • Verificare se la curva γ : {(t ² − 2t, 2t ² + t, t ² − 1) : t ∈ R} ` e piana.

• Scrivere la proiezione ortogonale di γ sul piano π : x − y + z = 0.

2. Dati il piano π : x + 2y − z − 1 = 0 e la retta r : {(t, t, 3t) : t ∈ R}

• Provare che ogni piano del fascio di piani per r non parallelo a π sega π in una retta s con r//s.

• Trovare (se ∃) una retta su π ⊥ a r.

3. Sia φ λ : R ³ −→ R ³ l’omomorfismo definito da φ _λ (x, y, z) = (x − y, λx + yλz, x + λy + 2z)

• Determinare la dimensione di im φ λ al variare di λ ∈ R.

• Determinare una base di ker φ 2 e ker φ 0 .

4. Data la proiettivit` a f (x 0 , x 1 , x 2 ) = (x 0 + x 1 − x 2 , 2x 1 + x 2 , 3x 2 ) di P ² (R).

• Provare che f ha 3 punti fissi distinti e determinarli.

• Provare che ∃ 3 rette distinte r 1 , r 2 , r 3 tali che f (r i ) = r i , ∀ i = 1, 2, 3.

• Provare che per nessun i = 1, 2, 3 vale f (P ) = P, ∀ P ∈ r i .

1

2 Compitino di Geometria per Informatica

a.a. 2003-2004, 6. 6. 2004

Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni

1. Siano r : n x = 1 z = 0 ed s :

( x = t y = t z = t

t ∈ R.

• Provare che r ed s sono sghembe.

• Determinare la comune perpendicolare ad r ed s.

• Determinare l’equazione della superficie F ottenute ruotando s in- torno ad r.

• Determinare su F la circonferenza di raggio minimo.

2. In P ² (R) siano r : x 0 + x 1 = 0, s : x 1 + x 2 = 0, t : x 0 + x 2 = 0,

• Determinare {P } = r ∩ s, {Q} = r ∩ t, {R} = s ∩ t.

• Provare che P, Q, R, X = P + 2Q + 3R formano un riferimento proi- ettivo E con P, Q, R punti fondamentali e X punto unit` a.

• Determinare le coordinate di A[1, 1, 1] in E.

3. Sia φ : R ⁴ −→ R ³ l’omomorfismo associato alla matrice

M _φ(E ^E

4

) =



 1 0 2 0

2 1 4 −1

1 −1 2 1



 .

• Determinare una base di ker φ e una base di im φ.

• Determinare un vettore u ∈ R ³ tale che φ ⁻¹ (u) = ∅.

• Determinare, se esitono, tre vettori l. i. v ₁ , v ₂ , v ₃ ∈ R ⁴ tali che φ(v ₁ ) = φ(v ₂ ) = φ(v ₃ ).

• Determinare un vettore v ∈ R ⁴ tale che φ(v) = (3, 6, 3).

1

Esame di Geometria per Informatica

a.a. 2002-2003, 4. 2. 2004

Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni

1. Sia f _λ : R ³ −→ R ⁴ di coniche passanti per i punti A[1, 0, 0], B[1, 0, 1] e tangenti alla retta r : X ₁ + X ₂ − 2X ₀ = 0 in C[1, 1, 1].

Dire se esiste una γ ∈ Φ tale che γ ∩ U 0 sia un’ellisse.

2. Data γ : (X ₀ ² − 2X 0 X 1 + 2X 0 X 2 + X ₁ ² + X ₂ ² )(X ₁ ² + X ₂ ² − 2X 0 X 2 ) = 0.

• Determinare i punti all’ infinito di γ.

• Dire se γ ´ e proiettivamente equivalente a δ : (X ₀ ² + X ₁ ² + X ₂ ² ) ² = 0.

• Dire se ogni curva proiettivamente equivalente a γ si spezza nell’unione di due coniche non degeneri.

3. a) Date tre rette r 1 , r 2 , r 3 di P ⁴ a due a due sghembe e non contenute in un iperpiano, provare che esiste un’unica retta s che si appoggia a tutte e tre.

b) Dati A[1, 1, 0, 0, 0], B[0, 0, 1, 1, 0] sia r = L(A, B), sia inoltre r ⁰ la retta

di equazioni 





X ₁ − X ₂ = 0 X 3 = 0 X 4 = 0

• Determinare lo spazio congiungente L(r, r ⁰ ) (mediante equazioni).

• Determinare una retta r” tale che dimL(r, r ⁰ , r”) > 3.

• Determinare la retta s che interseca r, r ⁰ , r”.

1