Autofunzioni del laplaciano con condizioni di Dirichlet e serie di Fourier

Assumendo che l’insieme D ⊂ R

ⁿ

sia scelto come precisato sopra, definiamo il dominio per

l’operatore di Laplace in modo da tenere automaticamente conto delle condizioni di annullamento

al bordo (estendendo la teoria al caso di funzioni a valori complessi):

D := f ∈ C

1

(D; C) ∩ C

²

(D; C) f 

∂D

= 0 , ∆f ∈L

2

(D, d

ⁿ

x) (7.4)

Questo insieme `e evidentemente uno spazio vettoriale complesso.

Consideriamo l’operatore di Laplace ∆ : D → C

0

(D; C). Su questo dominio l’operatore ∆ `e

hermitiano rispetto al prodotto scalare di L

²

(D; d

ⁿ

x), cio`e vale:

(f |∆g) = (∆f |g) se f, g ∈D, (7.5)

dato che ci`o equivale a scrivere:

Z

D

f ∆g d

ⁿ

x =

Z

D

∆f g d

ⁿ

x se f, g ∈D, (7.6)

che, a sua volta, segue immediatamente dalla definizione diD e dalla seconda identit`a di Green

del teorema 2.7 dato che

²

Z

D

f ∆g d

ⁿ

x −

Z

D

∆f g d

ⁿ

x =

I

+∂D

f ∇g − g∇f
· ndS = 0 essendo f = g = 0 su ∂D .

2

Notare che ∆f g e f ∆g sono inL1

(D, dⁿx) dato che ∆f, ∆g ∈L2

(D, dⁿx) per ipotesi e f, g ∈L2

(D, dⁿx) essendo funzioni continue su un compatto.

Un’autofunzione φ

_λ

di ∆ con il dominio detto `e una funzione inD (a valori complessi quindi)

non identicamente nulla tale che valga l’identit`a:

∆φ

_λ

= λφ

_λ

, (7.7)

per qualche λ ∈ C, detto autovalore di φ

λ

.

Si osservi che se φ

_λ

`e autofunzione associata a λ, ogni altra funzione cφ

_λ

, con c ∈ C e c 6= 0

`

e ancora autofunzione dello stesso autovalore. Tuttavia tutte queste autofunzioni sono

linear-mente dipendenti per costruzione quando viste come vettori nello spazio vettoriale complesso

D. Comunque, in generale, pu`o capitare di avere pi`u autofunzioni linearmente indipendenti

associate allo stesso autovalore. Il sottospazio vettoriale diD generato dalle autofunzioni di un

fissato autovalore si dice autospazio di quell’autovalore.

Proposizione 7.1. Coseguentemente alle ipotesi fatte su D ed alla definizione diD valgono

i seguenti fatti:

(a) gli autovalori di ∆ sono reali,

(b) gli autovalori di ∆ sono strettamente negativi,

(c) le autofunzioni corrispondenti ad autovalori differenti sono ortogonali.

(d) le autofunzioni sono funzioni C

^∞

(D) (pi`u fortemente sono funzioni analitiche su tale

insieme aperto). ♦

Dimostrazione. Per quanto riguarda la prova di (a) e (b) abbiamo che:

λ(φ

_λ

|φ

_λ

) = (φ

_λ

|∆φ

_λ

) =

Z

D

φ

_λ

∆φ

_λ

d

ⁿ

x =

Z

D

∇ · φ

_λ

∇φ

_λ

d

n

x −

Z

D

∇φ

_λ

· ∇φ

_λ

d

ⁿ

x

= −

Z

D

∇φ

_λ

· ∇φ

_λ

d

ⁿ

x ,

dove, nell’ultimo passaggio, abbiamo trascurato un integrale dato che `e nullo come banale

conseguenza del teorema della divergenza e del fatto che φ

_λ

si annulla su ∂D. Abbiamo ottenuto:

λ

Z

D

|φ

_λ

|

²

d

ⁿ

x = −

Z

D

||∇φ

_λ

||

²

d

ⁿ

x .

Si osservi che l’integrale a primo membro `e strettamente positivo, dato che, per ipotesi φ

λ

non

`

e ovunque nulla (che equivale a dire che non `e quasi ovunque nulla dato che `e continua). Ne

segue che −λ ≥ 0. Se fosse λ = 0, la stessa identit`a trovata sopra proverebbe che ∇φ

_λ

= 0

quasi ovunque e quindi ovunque, dato che φ

λ

∈ C

1

(D; C). Di conseguenza avremmo che φ

λ

sarebbe costante sull’aperto connesso D. Il fatto che φ

_λ

si annulli sul bordo insieme all’ipotesi

di continuit`a su tutto D implicherebbero che φ

_λ

= 0 ovunque, cosa impossibile.

Per provare (c) basta osservare che, dalla definizione di autofunzione:

(λ − λ

⁰

)

Z

D

φ

λ

φ

λ0

d

ⁿ

x =

Z

D



∆φ

λ

φ

_λ0

− φ

_λ

∆φ

λ0

 d

n

x = 0

a causa, come prima, della seconda identit`a di Green. Se λ 6= λ

⁰

, l’identit`a trovata implica che

deve valere necessariamente:

(φ

_λ

|φ

_λ0

) :=

Z

D

φ

_λ

(x)φ

_λ0

(x) d

ⁿ

x = 0 .

Riguardo alla prova di (d), possiamo lavorare separatamente con la parte reale ed immaginaria

delle autofunzioni dato che gli autovalori λ e i coefficienti di ∆ sono reali. Se dunque ∆φ

_λ

−λφ

_λ

=

0 (con λ ≤ 0), la funzione Φ = Φ(x, x) := e

√

−λ x

φ

_λ

(x) `e armonica in n + 1 variabili sull’aperto

connesso Ω := R × D, come si verifica subito calcolandone il laplaciano in n + 1 variabili che

risulta essere

∆

_(x,x)

Φ(x, x) = e

√

−λx

(∆

_x

φ

_λ

− λφ

_λ

) = 0 .

Φ `e dunque analitica reale su Ω per il Teorema 3.3, in particulare `e C

^∞

sul suo dominio. La

funzione φ

_λ

= φ

_λ

(x) = e

⁻

√

−λ x

Φ(x, x), che `e costante nella variabile x, `e quindi una funzione

C

^∞

e analitica su D, in particolare C

^∞

. 2

L’insieme degli autovalori di ∆ costituisce il cosiddetto spettro puntuale di ∆, che si indica

con σ

_p

(∆). Si osservi che gli elementi di tale insieme dipendono strettamente dal dominio che

abbiamo scelto per ∆.

Osservazioni 7.1. Nel caso di D = [0, L] e ∆ =

_dx^d22

quanto trovato sopra si riduce a

fat-ti che abbiamo gi`a verificato. In quel caso gli autovalori sono della forma λ

_n

= −

^πn_L

2

con

n = 1, 2, . . ., e corrispondenti autofunzioni con norma unitaria e a due a due ortogonali sono

φ

_n

(x) :=

√¹

2L

sin

^πnx_L

.

Nel caso di D = [0, L] e ∆ =

_dx^d22

, le autofunzioni del laplaciano, divise per la loro norma,

in modo da definire vettori di norma unitaria, e quozientando lo spazio L

2

([0, L], dx) rispetto

alla relazione di equivalenza che identifica funzioni che differiscono su insiemi di misura nulla,

risultano individuare una base hilbertiana di L

²

([0, L], dx). Ci si pu`o chiedere se questo sia un

fatto generale. La risposta `e positiva: l’insieme degli autovettori φ

_λ

del laplaciano ∆ con le

ipotesi fatte su D eD, se pensati come elementi dello spazio di Hilbert L

2

(D; d

ⁿ

x), costituisce

una base Hilbertiana di tale spazio. La prova di questo notevole fatto `e un caso particolare del

teorema di decomposizione spettrale per operatori non limitati densamente definiti [Mo18]. Si

prova pi`u precisamente la seguente proposizione, estendibili a contesti molto pi`u generali. Non

daremo la dimostrazione di questo risultato che `e abbastanza difficile, eccetto l’ultimo punto che

`

e elementare.

Proposizione 7.2. Se ∆ `e definito sul dominio D (quindi con condizioni di annullamento)

con D ⊂ R

ⁿ

che rispetta le ipotesi suddette, gli autovalori λ ∈ σ

p

(∆) ed i corrispondenti

auto-vettori φ

_λ

di ∆ soddisfano i fatti seguenti.

(a) Si possono ordinare in una successione decrescente che diverge a −∞:

0 > λ

₁

> λ

₂

> · · · > λ

_k

→ −∞ .

(b) Per ogni autovalore λ ∈ σ

_p

(∆) l’autospazio corrispondente ha dimensione finita d

_λ

ed

ammette una base ortonormale di autovettori φ

_λ,α

, α = 1, . . . d

_λ

. Se si definisce:

N (Λ) := ^X

|λ_k|≤Λ

d

_λk

allora vale la stima di Weyl:

N (Λ)

Λ

n/2

→ ^{V ol(B}

n

) V ol(D)

(2π)

n

se Λ → +∞ ,

dove V ol(M ) :=^R

_M

d

ⁿ

x e B

ⁿ

`e la palla unitaria in R

ⁿ

. Se rappresentiamo gli autovalori come

la successione non crescente

0 > λ

1

≥ λ

₂

≥ · · · ≥ λ

_k

→ −∞ ,

dove ogni valore appare esattamente un numero di volte pari a d

λ_k

, allora vale l’ulteriore stima

di Weyl

λ

^n/2_k

k ^→

(2π)

ⁿ

V ol(B

n

) V ol(D) ^{se k → +∞ .}

(c) L’insieme degli autovettori {φ

_λ,α

}

_{λ∈σp(∆),α=1,...,d}

λ

individua una base hilbertiana di L

²

(D; d

ⁿ

x).

(d) Possiamo sempre scegliere i vettori φ

λ,α

come funzioni a valori reali. ♦

L’ultima affermazione segue dal fatto che, se φ

_λ,α

∈ D soddisfa ∆φ

λ,α

= λφ

_λ,α

allora

va-le anche, essendo λ ∈ R, ∆φ

λ,α

= λφ

λ,α

. Pertanto un insieme di generatori

dell’autospa-zio finitodimensionale associato a λ, di dimensione d

_λ

, `e sicuramente dato dalle funzioni reali

{(φ

_λ,α

+ φ

_λ,α

) , i(φ

_λ,α

− φ

_λ,α

)}

_α=1,...,dλ

. Si noti l’insieme non `e linearmente indipendente dato

che contiene 2d

λ

elementi invece che d

λ

. Tenuto conto di come `e fatto il prodotto scalare, la

procedura di ortogonalizzazione di Gramm-Schmidt applicata a questo insieme di generatori

costruisce una base ortonormale di funzioni reali dell’autospazio considerato.

Il fatto che l’insieme di autofunzioni φ

_λ

costituisca una base hilbertiana di L

²

(D; d

ⁿ

x) implica

che, nel senso della convergenza di tale spazio di Hilbert, se f ∈ L

²

(D; d

ⁿ

x), abbia senso lo

sviluppo di Fourier generalizzato:

f = ^X

λ∈σp(∆) dλ

X

α=1

f

_λ,α

φ

_λ,α

dove f

_λ,α

:= (f

_λ,α

|f ) =

Z

D

φ

_λ,α

(x)f (x) d

ⁿ

x . (7.8)

I coefficienti f

_λ,α

sono i coefficienti di Fourier (generalizzati) di f rispetto alla base

hilber-tiana dei vettori φ

_λ,α

.

Osservazioni 7.2.

le autofunzioni di ∆ con condizioni di annullamento al bordo, si riesce a dimostrare che la

dimensione dell’autospazio del primo autovalore di ∆ `e sempre 1 e che ogni autofunzione di tale

autospazio non si annulla mai se non su ∂D. Per quanto riguarda le autofunzioni dei rimanenti

autospazi, esse si annullano su sottoinsiemi dell’insieme aperto e connesso D che non contengono

punti interni, dato che sono funzioni analitiche per (d) del Teorema 7.1 e che vale la proposizione

3.3.

(2) Come nel caso di D = [0, L], se sono soddisfatte ipotesi sui coefficienti f

_λ,α

che assicurano la

convergenza puntale della serie in (7.8), la funzione f a primo membro in (7.8) deve soddisfare

le condizioni di annullamento al bordo f 

∂D

= 0 dato che tali condizioni sono soddisfatte da

tutte le funzioni φ

_λ,α

che appaiono nella serie.

(3)* Il fatto che {φ

λ,α

}

_{λ∈σp(∆),α=1,...,dλ}

⊂ D sia una base hilbertiana di L

2

(D, d

ⁿ

x) implica

immediatamente cheD sia denso in L

2

(D, d

ⁿ

x) nella topologia metrica di quest’ultimo. Partendo

da questo fatto `e possibile provare che ∆ definito su D, pensato come sottospazio denso di

L

²

(D, d

ⁿ

x), goda della propriet`a di essere essenzialmente autoaggiunto [Mo18], che rinforza la

propriet`a di hermiticit`a gi`a menzionata.

7.1.2 *Autofunzioni dell’operatore di Laplace-Beltrami su una variet`a

rie-manniana.

Consideriamo ora il caso trattato nella sezione 5.1.3 in cui si lavorava con una funzione u =

u(t, p) che descriveva le piccole deformazioni di una superficie chiusa M ⊂ R

³

rappresentate un

tamburo di topologia arbitraria. In tal caso l’operatore laplaciano viene sostituito dall’operatore

di Laplace-Beltrami associato alla metrica g indotta da quella standard in R

³

su M .

Pi`u in generale considereremo il caso di una variet`a C

^∞

connessa e compatta, M , di dimensione

n e dotatata di una metrica riemanniana g di classe C

^∞

. Indicheremo con ∆

^(M,g)

l’operatore

di Laplace-Beltrami costruito con la connessione di Levi-Civita associata a g. In coordinate

locali x

¹

, . . . , x

ⁿ

, in cui la metrica `e individuata dalla matrice di coefficienti g

ij

(x

¹

, . . . , x

ⁿ

) e con

inversa la matrice di coefficienti g

^ij

(x

¹

, . . . , x

ⁿ

) come ben noto vale:

∆

^(M,g)

u =

n

X

i,j=1

1

√

det g

∂

∂x

j

Å

g

^ij

^pdet g ^∂

∂x

j

u

ã

, (7.9)

dove il determinante `e quello della matrice di coefficienti g

_ij

. Definiamo il dominio per l’operatore

di Laplace-Beltrami come:

D

M

:= C

²

(M ; C) (7.10)

Si noti che non ci sono condizioni al controno da imporre dato che la variet`a M non ha bordo.

Questo insieme `e evidentemente uno spazio vettoriale complesso.

Su questo dominio l’operatore ∆

^(M,g)

`e hermitiano rispetto al prodotto scalare di L

²

(D

M

; dν

^(M,g)

)

dove ν

^(M,g)

`e la misura di Borel associata a g su M , cio`e vale:



f





∆

^(M,g)

g



= ^Ä∆

^(M,g)

f





g



se f, g ∈D

M

, (7.11)

che segue immediatamente dalla definizione di D

M

e dalla seconda identit`a di Green rispetto

alla derivata covariante di Levi-Civita, tenuto conto del fatto che ∂M = ∅. Un’autofunzione

φ

_λ

di ∆

^(M,g)

con il dominio detto `e al solito una funzione in D

M

(a valori complessi quindi) non

identicamente nulla tale che valga l’identit`a:

∆

^(M,g)

φ

_λ

= λφ

_λ

, (7.12)

per qualche λ ∈ C, detto al solito autovalore di φ

λ

.

Il sottospazio vettoriale di D

M

generato dalle autofunzioni di un fissato autovalore si dice al

solito autospazio di quell’autovalore.

Proposizione 7.3. Coseguentemente alle ipotesi fatte su M ed alla definizione diD

M

valgono

i seguenti fatti:

(a) gli autovalori di ∆

^(M,g)

sono reali,

(b) gli autovalori di ∆

^(M,g)

sono strettamente negativi eccetto uno che `e nullo,

(c) le autofunzioni corrispondenti ad autovalori differenti sono ortogonali. ♦

Dimostrazione. La dimostrazione `e la stessa che per la proposizione 7.1, usando la derivata

covariante invece che quella ordinaria, osservando che in ogni caso esiste sempre un autovalore

nullo che ha una qualsiasi funzione costante non nulla su M come autofunzione. 2

L’insieme degli autovalori di ∆

^(M,g)

costituisce al solito lo spettro puntuale di ∆

^(M,g)

, σ

_p

(∆

^(M,g)

).

Come nel caso pi`u elementare discusso precedentemente, l’insieme degli autovettori φ

λ

di ∆

^(M,g)

con le ipotesi fatte su M eD

M

, se pensati come elementi dello spazio di Hilbert L

²

(M ; dν

^(M,g)

),

costituisce una base Hilbertiana di tale spazio. Si prova pi`u precisamente la seguente

proposi-zione.

Proposizione 7.4. Se ∆

^(M,g)

`e definito sul dominio D

M

con M che rispetta le ipotesi

suddette, gli autovalori λ ∈ σ

_p

(∆

(M,g)

) ed i corrispondenti autovettori φ

_λ

di ∆

(M,g)

soddisfano i

fatti seguenti.

(a) Si possono ordinare in una successione decrescente che diverge a −∞:

0 = λ

1

> λ

2

> · · · > λ

n

→ −∞ .

(b) Per ogni autovalore λ ∈ σ

_p

(∆

^(M,g)

) l’autospazio corrispondente ha dimensione finita d

_λ

ed

ammette una base ortonormale di autovettori φ

λ,α

, α = 1, . . . d

λ

. Se si definisce:

N (Λ) := ^X

|λn|≤Λ

d

λn

allora vale la stima di Weyl:

N (Λ)

Λ

n/2

→ ^{V ol(B}

n

) V ol

_g

(M )

dove V ol

_g

(M ) :=R

M

dν

(g)

mentre B

n

`e la palla unitaria in R

n

. Se rappresentiamo gli autovalori

come la successione non crescente

0 > λ

1

≥ λ

₂

≥ · · · ≥ λ

_k

→ −∞ ,

dove ogni valore appare esattamente un numero di volte pari a d

_λk

, allora vale l’ulteriore stima

di Weyl

λ

^n/2_k

k ^→

(2π)

n

V ol(B

n

) V ol

g

(M ) ^{se k → +∞ .}

(c) L’insieme degli autovettori {φ

λ,α

}

_{λ∈σp(∆),α=1,...,dλ}

individua una base hilbertiana di L

²

(M ; dν

^(M,g)

).

(d) I vettori φ

_λ,α

in (c) possono sempre essere scelti come funzioni a valori reali. ♦

Dunque, nel senso della convergenza di tale spazio di Hilbert, se f ∈ L

²

(D; d

ⁿ

x) vale:

f = ^X

λ∈σp(∆) dλ

X

α=1

f

λ,α

φ

λ,α

dove f

λ,α

:= (f

λ,α

|f ) =

Z

Nel documento Fondamenti di FISICA MATEMATICA II: Introduzione alla Teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali del Secondo Ordine (pagine 182-188)