3.2 Ulteriori propriet` a delle funzioni armoniche in R n
3.2.3 Teorema della media e principio del massimo in forma forte
Un’altra importante conseguenza del teorema 3.2 `e il cosiddetto teorema della media.
Teorema 3.4. (Teorema della media). Sia ϕ : Ω 7→ R, con Ω ⊂ R
naperto non vuoto,
una funzione armonica. Allora, per ogni x ∈ Ω vale l’identit`a , detta formula della media
superficiale:
ϕ(x) = 1
V ol(∂B
R(x))
I
∂BR(x)ϕ(y)dS(y), (3.20)
dove B
R(x) `e una palla aperta centrata in x di raggio finito R > 0 con B
R(x) ⊂ Ω,
arbitraria-mente scelta. Similarbitraria-mente vale anche la formula della media volumetrica:
ϕ(x) = 1
V ol(B
R(x))
Z
BR(x)ϕ(y)d
nx(y) . (3.21)
♦
Dimostrazione. Sia R il raggio della palla B
R(x). Utilizziamo un sistema di coordinate polari
sferiche centrate in x. Dalla (3.17) e tenendo conto del fatto, gi`a notato, che n · ∇
yG
n(x, y) =
∂Gn(r) ∂r
, abbiamo:
ϕ(x) =
I
∂BR(x)ϕ(y)∂G
n(r)
∂r dS(y) −
I
+∂BR(x)G
n(r)∇ϕ(y) · n dS(y)
=
I
∂BR(x)ϕ(y)∂G
n(r)
∂r dS(y) −G
n(R)
I
+∂BR(x)∇ϕ(y) · n dS(y) .
L’ultimo integrale `e nullo perch`e ϕ `e armonica (teorema 2.8), mentre il primo, usando (3.10) si
pu`o scrivere:
I
∂BR(x)ϕ(y) 1
V ol(∂B
R(x))dS(y) =
1
V ol(∂B
R(x))
I
∂BR(x)ϕ(y)dS(y) .
Passiamo alla seconda formula della media. Applichiamo la prima formula della media alla classe
di palle B
r(x) di raggio r, con 0 < r ≤ R, ed usiamo un sistema di coordinate polari sferiche di
centro x, coordinata radiale r e coordinate angolari ω. Avremo allora che, da (3.20) vale:
V ol(∂B
r(x))ϕ(x) =
I
∂Br(x)ϕ(r, ω)dS(r, ω) (3.22)
e quindi, integrando in dr da r = 0 a r = R:
ÇZ
R 0V ol(∂B
r(x))dr
å
ϕ(x) =
Z
R 0ÇI
∂Br(x)ϕ(r, ω)dS(r, ω)
å
dr . (3.23)
Il primo integrale produce proprio il volume della palla B
R(x) moltiplicato per la costante ϕ(x),
mentre il secondo produce l’integrale di volume su tale palla della funzione ϕ, decomposto in
due integrazioni in coordinate polari. In definitiva otteniamo la formula della media volumetrica
(3.21):
V ol(B
R(x))ϕ(x) =
Z
BR(x)
ϕ(y)d
nx(y) .
Questa identit`a riscritta come in (3.23), derivando in R ed osservando che (0, R
0) 3 r 7→
H
∂Br(x)
ϕ(r, ω)dS(r, ω) `e continua se ϕ `e continua (come si prova subito dal teorema della
con-vergenza dominata) riproduce la formula della media superficiale (3.22). 2
`
E importante osservare che i teoremi della media sono in realt`a equivalenti all’armonict`a della
funzione come chiarito dal seguente importante teorema.
Teorema 3.5. (Condizioni equivalenti all’armonicit`a.) Sia Ω ⊂ R un aperto non vuoto
e ϕ : Ω → R una funzione C
0(Ω). I seguenti fatti sono equivalenti.
(a) ϕ `e C
2(Ω) ed `e armonica su Ω.
(b) Vale la formula della media volumetrica (3.21) per ogni palla aperta B
R(x) di centro
x ∈ Ω e raggio R > 0 tali che B
R(x) ⊂ Ω.
(c) Vale la formula della media superficiale (3.20) per ogni palla aperta B
R(x) di centro
x ∈ Ω e raggio R > 0 tali che B
R(x) ⊂ Ω. ♦
Una conseguenza diretta del teorema della media `e un rafforzamento del principio del massimo
che dimostriamo in due parti.
Lemma 3.1. (Principio del massimo forte su una palla.) Sia B
R(x
0) una palla aperta
in R
n, di raggio R > 0 finito centrata in x
0e ϕ : B
R(x
0) → R una funzione armonica in B
R(x
0)
e continua in B
R(x
0). Se vale uno dei seguenti fatti:
ϕ(x
0) = max
BR(x0)ϕ ,
oppure
ϕ(x
0) = min
BR(x0)ϕ ,
oppure
|ϕ(x
0)| = max
BR(x0)|ϕ| ,
allora la funzione ϕ `e costante su B
R(x
0). ♦
Dimostrazione: E sufficiente dimostrare la tesi per il caso ϕ(x`
0) = max
x∈BR(x0)
ϕ, in quanto
se vale la seconda ipotesi, cambiando segno alla funzione ϕ, si ricade nella prima situazione. Se
vale la terza ipotesi allora deve valer la prima oppure la seconda (Dato che non `e del tutto
eviden-te dimostriamo quest’ultimo fatto. Ci sono tre casi da considerare. (i) ϕ ≥ 0 in B
R(x
0); in questo
caso |ϕ(x)| = ϕ(x) e dunque, |ϕ(x
0)| = max
BR(x0)
|ϕ| equivale a dire ϕ(x
0) = max
BR(x0)
ϕ. (ii)
ϕ ≤ 0 in B
R(x
0); in questo caso |ϕ(x)| = −ϕ(x) e dunque, |ϕ(x
0)| = max
BR(x0)
|ϕ| equivale
a dire ϕ(x
0) = min
BR(x0)
ϕ. (iii) ϕ assume sia valori positivi che valori negativi in B
R(x
0),
in questo caso il valore massimo raggiunto da ϕ `e positivo e quello minimo `e negativo. Nella
situazione considerata, il valore massimo raggiunto da |ϕ| deve necessariamente corrispondere
al massimo valore di ϕ oppure al minimo valore di ϕ cambiato di segno, se non corrispondesse
a nessuno dei due non potrebbe essere il massimo per |ϕ|. Allora abbiamo due sottocasi. (a) Il
valore massimo che la funzione |ϕ| assume `e il massimo di ϕ; in questo caso, dato che tale valore
di ϕ `e positivo, la condizione |ϕ(x
0)| = max
BR(x0)
|ϕ| equivale a dire ϕ(x
0) = ± max
BR(x0)
ϕ.
Se risultasse ϕ(x
0) = − max
BR(x0)
ϕ, significherebbe ϕ(x
0) = min
BR(x0)
ϕ altrimenti ci
sarebbe-ro valori pi`u piccoli di ϕ(x
0) raggiunti da ϕ e quindi ci sarebbero valori pi`u grandi di |ϕ(x
0)|
raggiunti da |ϕ|, cosa impossibile per ipotesi. (b) Il valore massimo che la funzione |ϕ|
assu-me `e, cambiato di segno, il minimo di ϕ; in questo caso la condizione |ϕ(x
0)| = max
BR(x0)
|ϕ|
equivale a dire ϕ(x
0) = ± min
BR(x0)
ϕ. Se risultasse ϕ(x
0) = − min
BR(x0)
ϕ, significherebbe
ϕ(x
0) = max
BR(x0)
ϕ altrimenti ci sarebbero valori pi`u grandi di ϕ(x
0) raggiunti da ϕ e quindi
ci sarebbero valori pi`u grandi di |ϕ(x
0)| raggiunti da |ϕ|, cosa impossibile per ipotesi.)
Sia dunque ϕ(x
0) = max
BR(x0)
ϕ, dimostriamo che ϕ(x) = ϕ(x
0) per ogni x ∈ B
R(x
0), per
continuit`a ci`o varr`a anche per x ∈ ∂B
R(x
0).
Supponiamo per assurdo che esista x
1∈ B
R(x
0) con ϕ(x
1) 6= ϕ(x
0), per le ipotesi fatte, deve
essere ϕ(x
1) < ϕ(x
0). Fissiamo R
0> 0 con R
0< R tale che x
1∈ B
R0(x
0). ϕ sar`a
armoni-ca su tutto B
R0(x
0). Per la continuit`a di ϕ, scegliendo 0 < < |ϕ(x
0) − ϕ(x
1)|, esister`a una
palla aperta B
δ(x
1) ⊂ B
R0(x
0) centrata in x
1e di raggio δ > 0 tale che |ϕ(x) − ϕ(x
1)| < se
x ∈ B
δ(x
1). Di conseguenza, se x ∈ B
δ(x
1), vale anche: ϕ(x) < ϕ(x
0). In particolare varr`a
ϕ(x) < ϕ(x
0), se x ∈ K := B
δ/2(x
1) dato che B
δ/2(x
1) ⊂ B
δ(x
1). Applichiamo il teorema della
media volumetrica alla palla B
R0(x
0):
V ol(B
R0(x
0)) ϕ(x
0) =
Z
BR0(x0)ϕd
nx =
Z
BR0(x0)\Kϕd
nx +
Z
Kϕd
nx . (3.24)
K `e compatto per costruzione e quindi esiste max
Kϕ, con max
Kϕ < ϕ(x
0) per costruzione di
K. Quindi
Z
Kϕd
nx ≤
Å
max
Kϕ
ã Z
Kd
nx < ϕ(x
0)
Z
Kd
nx .
Dato che vale anche, essendo ϕ(x
0) il valore massimo di ϕ,
Z
BR0(x0)\Kϕd
nx ≤ ϕ(x
0)
Z
BR0(x0)\Kd
nx ,
da (3.24) segue subito che:
V ol(B
R0(x
0))ϕ(x
0) < ϕ(x
0)
Z
BR0(x0)\Kd
nx+ϕ(x
0)
Z
Kd
nx = ϕ(x
0)
ÇZ
BR0(x0)\Kd
nx +
Z
Kd
nx
å
,
ossia
V ol(B
R0(x
0)) ϕ(x
0) < V ol(B
R0(x
0)) ϕ(x
0) ,
che `e assurdo e, pertanto, il punto x
1con ϕ(x
1) < ϕ(x
0) non pu`o esistere in B
R0(x
0) e quindi
nemmeno in B
R(x
0). 2
Il risultato appena dimostrato ci consente di estendere il principio del massimo, nel senso forte
appena visto, a funzioni armoniche su regioni Ω diverse da un palla.
Teorema 3.6. (Principio del massimo forte.) Sia Ω aperto, connesso a chiusura compatta
in R
ne sia ϕ ∈ C
2(Ω) ∩ C
0(Ω) armonica su Ω. Se vale una delle seguenti condizioni per qualche
x
0∈ Ω:
(i) ϕ(x
0) = max
Ωϕ, oppure
(ii) ϕ(x
0) = min
Ωϕ, oppure
(iii) |ϕ(x
0)| = max
Ω|ϕ|,
allora ϕ `e costante e vale ovunque ϕ(x
0) su Ω. ♦
Dimostrazione 1 (dimostrazione diretta con uso di cammini continui). Dimostriamo la
tesi nel caso in cui sia verificata la prima ipotesi. Se vale l’ipotesi (ii), allora possiamo ricadere
in (i) cambiando segno a ϕ, mentre se vale (iii), allora si ricade in (i) o in (ii) con lo stesso
ragionamento del lemma precedente. Notiamo infine che `e sufficiente mostrare la validit`a della
tesi in Ω, perch´e da questa segue, per la continuit`a di ϕ, la tesi in Ω.
Dato che Ω ⊂ R
naperto e connesso, allora `e connesso per archi continui. Sia dunque x
1∈ Ω
e γ : [a, b] → Ω continua con γ(a) = x
0, γ(b) = x
1. Mostriamo che ϕ(x
1) = ϕ(x
0). Ci`o prova
la tesi per l’arbitrariet`a di x
1∈ Ω. Assumendo la validit`a di (i), per ogni palla di raggio finito
B
R(x
0) centrata in x
0e con B
R(x
0) ⊂ Ω deve anche evidentemente essere:
ϕ(x
0) = max
Ω
ϕ = max
BR(x0)
ϕ .
Applicando il teorema precedente concludiamo che ϕ(x) = ϕ(x
0) per ogni x ∈ B
R(x
0). La
controimmagine dell’aperto B
R(x
0) secondo la funzione continua γ deve essere un aperto
(rela-tiviamente alla topologia di [a, b] indotta da R) che include il punto γ(a) = x
0. Di conseguenza,
ci sar`a un intervallo [a, ), con a < ≤ b e con γ(t) ∈ B
R(x
0) se t ∈ [a, ), per cui ϕ(γ(t)) = ϕ(x
0)
se t ∈ [a, ). L’insieme
`
e non vuoto (per quanto appena dimostrato ∈ S) ed `e limitato superiormente da b < ∞, quindi
esiste L = sup S ≤ b.
Supponiamo per assurdo che L < b, in tal caso ϕ(γ(t)) = ϕ(x
0) per t ∈ [a, L) e per continiut`a
ϕ(γ(L)) = ϕ(x
0). Esister`a dunque una palla centrata in γ(L) e di raggio ρ > 0, che indichiamo
con B
ρ(γ(L)) ⊂ Ω, tale che
4B
ρ(γ(L)) ⊂ Ω. Come prima:
ϕ(γ(L)) = max
Ω
ϕ = max
Bρ(γ(L))
ϕ .
e quindi ϕ(x) = ϕ(x
0) costantemente su B
ρ(γ(L)). Come prima, la controimmagine della palla
aperta B
ρ(γ(L)) secondo la funzione continua γ `e un aperto che continene L per
costruzio-ne. Su tale aperto ϕ(γ(t)) = ϕ(x
0). In particolare dovr`a dunque valere ϕ(γ(t)) = ϕ(x
0) in
un intorno destro di L, per cui L non pu`o essere il sup di S e siamo quindi giunti ad un
as-surdo. Dovr`a dunque essere L = b e pertanto ϕ(γ(t)) = ϕ(x
0) se t ∈ [a, b). Per continuit`a:
ϕ(x
1) = ϕ(γ(b)) = ϕ(x
0).
Dimostrazione 2 (con altre propriet`a della connessione). Dimostriamo la tesi, nel solo
caso (i) dato che gli altri seguono da questo, in un altro modo. Supponiamo che per x
0∈ Ω
valga ϕ(x
0) = max
x∈Ωϕ =: M . Dato che Ω `e aperto ci sar`a una palla aperta B
r(x
0) di raggio
finito r > 0 centrata in x
0la cui chiusura `e contenuta in Ω. Dato che M `e anche il massimo di
ϕ su B
r(x
0), per il principio del massimo forte sulla palla, avremo che ϕ(x) = M se x ∈ B
r(x
0).
Ne consegue che il sottoinsieme A := {x ∈ Ω | ϕ(x) = M } ⊂ Ω `e aperto (e lo `e quindi anche
nella topologia relativa di Ω). D’altra parte, dato che ϕ : Ω → R `e continua e {M } `e un insieme
chiuso di R, avremo anche che ϕ
−1(M ) `e un insieme chiuso nella topologia relativa di Ω. Come
ben noto dai corsi di topologia, dato che Ω `e connesso, gli unici suoi sottoinsiemi
contempora-neamente aperti e chiusi (nella sua topologia relativa) sono Ω e ∅. Essendo A non vuoto per
ipotesi si deve avere che A = Ω e, per continuit`a, ϕ(x) = M se x ∈ Ω. Questa `e la tesi. 2
Osservazioni 3.3.
(1) Abbiamo dato una dimostrazione del principio del massimo forte senza usare il fatto che le
funzioni armoniche sono analitiche reali (risultato che non abbiamo dimostrato completamente)
e quindi soddisfano la proposizione 3.3. La dimostrazione del pricipio del massimo forte segue
infatti facilmente dalla proposizione 3.3 osservando che, nelle ipotesi del teorema 3.6, la
funzio-ne ϕ `e sicuramente costante in una palla aperta B
R(x
0) ⊂ Ω come provato nella parte iniziale
della dimostrazione data sopra. In virt`u del fatto che Ω `e aperto e connesso con B
R(x
0) ⊂ Ω,
dalla proposizione 3.3 segue allora che, su tutto Ω, ϕ deve coincidere con la funzione ψ che vale
costantemente ϕ(x
0) (ed `e quindi armonica) dato che ϕ
BR(x0)≡ ψ
BR(x0).
(2) La proposizione 3.3 consente di rafforzare ulteriormente l’enunciato del principio del
massi-mo forte come segue, rifernendosi all’esistenza di punti estremali locali. Ricordiamassi-mo che x
0∈ Ω
`
e, rispettivamente, un punto di massimo locale o di minimo locale per la funzione f a valori
4
Una palla aperta di raggio r > 0, centrata in γ(L) ed inclusa in Ω esiste sicuramente perch`e γ(L) ∈ Ω che `e aperto. La palla concentrica alla precedente, ma di raggio ρ := r/2, `e quella che cerchiamo.