Le funzioni armoniche definite in aperti di R n sono C ∞ ed analitiche

3.2 Ulteriori propriet` a delle funzioni armoniche in R n

3.2.2 Le funzioni armoniche definite in aperti di R n sono C ∞ ed analitiche

Z

Ω

G

(x, y)∆

g(y)d

ⁿ

y = 0 ,

per ogni x ∈ Ω ed in particolare x ∈ A. 2

3.2.2 Le funzioni armoniche definite in aperti di R

ⁿ

sono C

^∞

ed analitiche.

Per enunciare e dimostrare (parzialmente) il prossimo teorema, ricordiamo che una funzione di

pi`u variabili complesse f : Ω

3 z 7→ C, con Ω

⊂ C

aperto non vuoto, `e detta funzione

olomorfa di pi`u variabili complesse [ST84] se `e olomorfa in ciscuna variabile z

di z =

(z

, . . . , z

ⁿ

) separatamente, quando le altre sono fissate arbitrariamente. Si osservi che queste

funzioni di una variabile complessa sono definite su insiemi aperti di C, la prova `e elementare

.

L’importante Teorema di Hartogs dimostra che se f : Ω

→ C `e una funzione olomorfa di

più variabili complesse, allora è continua congiuntamente in tutte le variabili complesse ed è

ulteriormente una funzione analitica di pi`u variabili complesse. Cio`e, per ogni z

₀

∈ Ω

,

essa `e sviluppabile in serie di Taylor centrata in z

₀

in un intorno aperto di z

₀

incluso in Ω

.

Ovviamente ci stiamo riferendo allo sviluppo di Taylor in pi`u variabili complesse:

f (z) =

+∞

X

N =0

X

α1+···+αn=N

1 α

₁

! · · · α

!

∂

^α1+···+αn

f

∂z

1α1

· · · ∂z

nαn

(z

− z

₀¹

)

^α1

· · · (z

ⁿ

− z

ⁿ₀

)

^αn

. (3.18)

(Il fatto che le funzioni analitiche di pi`u variabili complesse siano anche olomorfe nel senso della

definizione data, si prova subito, tenendo conto che le due nozioni coincidono nel caso di funzioni

di una variabile complessa.) Si osservi che, posto z = x + iy, se f (x) assume valori reali per

ogni x ∈ R

∩ Ω

, lo sviluppo sopra scritto calcolato attorno a z

₀

= x

₀

con x

₀

∈ R

e calcolato

per x ∈ R si riduce al solito sviluppo di Taylor reale:

f (x) =

+∞

X

N =0

X

α1+···+αn=N

1 α

₁

! · · · α

!

∂

^α1+···+αn

f

∂x

1α1

· · · ∂x

nαn

(x

− x

¹₀

)

^α1

· · · (x

ⁿ

− x

ⁿ₀

)

^αn

, (3.19)

3 Fissiamo z²0, . . . , zⁿ0 ∈ Cn−1

e studiamo il dominio, se non `e vuoto, Ω⁽¹⁾_(z2 0,...,zn 0)⊂ C di z17→ f (z1 , z0², . . . , z0ⁿ) do-ve Ω⁽¹⁾ (z2 0,...,zn 0):= {z1 ∈ C | (z1, z2 0. . . , zn 0) ∈ Ω_C}. Vale Ω⁽¹⁾_(z2 0,...,zn 0)= Ω_C∩ Σ_z2 0,...,zn 0, dove Σ_z2 0,...,zn 0 = {(z1, . . . , zn) ∈ Cⁿ| z1 ∈ C , zk = z₀^k, k = 2, . . . , n}. Se (z¹, z²₀. . . , zⁿ₀) ∈ Ω⁽¹⁾ (z2 0,...,zn

0) allora (z¹, z²₀, . . . , zⁿ₀) ∈ Ω_C che `e aperto e quindi c’`e una palla aperta B ⊂ Cⁿ di raggio finito centrata in (z¹, z0², . . . , z0ⁿ) tale che B ⊂ Ω_C. L’intersezione B ∩ Σ_z2

0,...,zn

0 `e una palla aperta di C, pertanto (z¹, z₀². . . , z₀ⁿ) `e contenuto in una palla aperta di C inclusa in Ω⁽¹⁾_(z2

0,...,zn

dove abbiamo calcolato tutte le derivate parziali eseguendo i limiti sull’asse reale. In questo

caso, dato che Ω := R

ⁿ

∩ Ω

`e aperto in R

ⁿ

, la restrizione di f a tale dominio definisce una

funzione analitica reale, cio`e una funzione definita su un aperto di R

ⁿ

a valori in R che `e

sviluppabile in serie di Taylor (di pi`u variabili reali) nell’intorno di ogni punto del dominio.

Si prova facilmente che se f, g : Ω → R sono funzioni analitiche reali sull’aperto Ω ⊂ R

ⁿ

allora

lo `e ogni loro combinazione lineare af + bg con a, b ∈ R, definendo (af + bg) := af (x) + bg(x)

per ogni x ∈ Ω. Vale l’analogo risultato nel caso complesso.

Teorema 3.3. (Infinita regolarit`a ed analiticit`a delle funzioni armoniche). Se

ϕ : Ω → R, con Ω ⊂ R

ⁿ

aperto non vuoto, `e armonica su Ω, allora ϕ ∈ C

^∞

(Ω) e pi`u fortemente

ϕ `e analitica reale su Ω.♦

Traccia della dimostrazione. Sia x

₀

∈ Ω, consideriamo una palla B aperta di raggio finito e

con B ⊂ Ω centrata in x

e applichiamo la formula (3.17) su B, tenendo conto che ∆ϕ = 0:

ϕ(x) = −

I

+∂B

G

(x, s)∇

ϕ(s) · ndS(s) +

I

+∂B

(∇

G

(x, s))ϕ(s) · ndS(s) ,

dove, in particolare, x ∈ B

⁰

, con B

⁰

palla aperta centrata in x

₀

di raggio strettamente inferiore

a quello di B. I due integrandi sono funzioni continue nelle variabili (x, s) e quindi limitate su

(x, s) ∈ B

⁰

× ∂B (che `e un insieme compatto in R

ⁿ

× R

). La stessa cosa accade alle derivate

in x, di ogni ordine, degli integrandi. Notare le divergenze di G

(x, s) (e delle sue derivate)

appaiono solamente quando x = s, cosa impossibile se (x, s) ∈ B

× ∂B. Per ogni derivata di

ogni fissato ordine α (incluse derivate miste) nelle componenti di x, D

x^(α)

esiste una costante M

per cui |D

x^(α)

G

(x, s)n · ∇

ϕ(s)| ≤ M

per ogni s ∈ ∂B ed uniformemente in x ∈ B

⁰

. Dato che,

per ogni α, ogni funzione costante ∂B 3 s 7→ M

_α

≥ 0 `e sicuramente assolutamente integrabile

su ∂B (che ha misura finita!), concludiamo dal Teorema B.5 in Appendice che possiamo passare

la derivata D

^(α)x

fuori dal segno di integrale in

−

I

+∂B

D

_x^(α)

G

(x, s)∇

ϕ(s) · ndS(s)

derivando per x = x

. Lo stesso ragionamento si pu`o fare per il secondo integrale nella

decomposizione integrale di ϕ:

ϕ(x) = −

I

+∂B

G

(x, s)∇

ϕ(s) · ndS(s) +

I

+∂B

(∇

G

(x, s))ϕ(s) · ndS(s) .

In altre parole, possiamo dunque derivare ϕ ad ogni ordine α, scaricando le derivate sulle funzioni

G

(x, s) e n · ∇

G

(x, s), sotto il segno di integrale. In tal modo abbiamo verificato che ϕ `e

infinitamente differenziabile in x

e quindi, dato che ci`o vale per ogni punto x

∈ Ω, abbiamo

provato che ϕ ∈ C

^∞

(Ω). Diamo ora una dimostrazione del fatto che, localmente, ϕ pu`o essere

estesa ad una funzione analitica di pi`u variabile complesse z 7→ ϕ

⁰

(z) con z ∈ Ω

⊂ C

un

aperto che include Ω ⊂ R

. Per prima cosa notiamo che, dalla loro definizione, le funzioni

B

⁰

3 x 7→ G

(x, s) = G

(||x − s||), con s ∈ ∂B fissato, si estendono a funzioni analitiche

complesse di pi`u variabili (non daremo una dimostrazione rigorosa di tale fatto): z 7→ G

⁰_n

(z, s)

con z = x + iy, dove y ∈ B

⁰

e x ∈ B

⁰

e possiamo anche prendere (x, y) ∈ B

× B

, restringendo

il raggio originale di B

⁰

. Definiamo pertanto per (x, y) ∈ B

⁰

× B

:

ϕ

⁰

(z) := −

I

+∂B

G

(z, s)∇

ϕ(s) · ndS(s) +

I

+∂B

(∇

G

(z, s))ϕ(s) · ndS(s) .

Il secondo membro `e ben definito e pu`o essere derivato in x e y passando le derivate sotto il segno

di integrale, dato che la funzione G

`e infinitamente differenziabile sul compatto B

× B

× ∂B.

Dato che per ogni fissato s, la funzione z 7→ G

⁰_n

(z, s) soddisfa in ogni variabile z

le condizioni di

Cauchy-Riemann, soddisfer`a le stesse condizioni la funzione ϕ

⁰

: `e sufficiente passare le derivate

sotto il segno di integrale. In definitiva, la funzione di variabile complessa B

⁰

+ iB

⁰

3 z 7→ ϕ

⁰

(z)

`

e definita su un aperto, ammette derivate continue (essendo di classe C

^∞

) nelle variabilei x

e

y

(dove z = (z

, · · · , z

ⁿ

) = (x

+ iy

, · · · , x

ⁿ

+ iy

ⁿ

)) e soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann

in ogni variabile z

. Tenuto conto di quanto detto in (2) in osservazioni 2.5, ϕ

⁰

`e una funzione

olomorfa in pi`u variabili complesse e nell’intorno di ogni punto nel suo dominio varr`a lo sviluppo

(3.18) con ϕ

⁰

al posto di f . Dato che per valori reali z

= x

∈ R

, ϕ

⁰

si riduce alla funzione a

valori reali ϕ, concludiamo che nell’intorno di ogni x

∈ Ω vale lo sviluppo (3.19) con ϕ al posto

di f . In altre parole ϕ `e una funzione analitica reale sul dominio aperto Ω. 2

Osservazioni 3.2.

(1) Il teorema appena dimostrato ci dice quindi che, nell’intorno di ogni suo punto del dominio,

una funzione armonica pu`o sempre essere estesa ad una funzione analitica complessa su

un’op-portuna estensione complessa di quell’intorno C

ⁿ

.

(2) Le funzioni analitiche reale godono della propriet`a dell’unicit`a della continuazione analitica

che enunciamo a proviamo nella prossima proposizione.

Proposizione 3.2. Se due funzioni analitiche reali ϕ e ψ sono entrambe definite sull’aperto

non vuoto e connesso Ω ⊂ R

ⁿ

e coincidono sull’aperto non vuoto A ⊂ Ω, allora coincidono su

tutto Ω. ♦

Dimostrazione 1 (dimostrazopne diretta usando cammini continui). Definiamo la

fun-zione analitica reale φ := ψ − ϕ. Sia U ⊂ Ω l’insieme dato dall’unione di tutti gli aperti inclusi in

Ω su cui φ ≡ 0. Ovviamente U `e non vuoto dato che ∅ 6= A ⊂ U , aperto e U ⊂ Ω. Supponiamo

per assurdo che U 6= Ω. Sia allora q ∈ Ω \ U e p ∈ U . Ci sar`a un cammino continuo γ : [0, 1] → Ω

con γ(0) = p e γ(1) = q. Se s = sup{t ∈ [0, 1] | γ(t) ∈ U }, sar`a p

⁰

:= γ(s) ∈ ∂U ∩ Ω per

co-struzione. (Bench`e sia elementare lo dimostriamo per completezza. Se p

⁰

= γ(s) ∈ int(U ) = U ,

c’`e una palla aperta B centrata in γ(s) tutta contenuta in U . La controimmagine di B

secon-do la funzione continua γ `e un intorno aperto di s per cui include un intervallo aperto I 3 s

con la propriet`a che γ(I) ⊂ U , ma allora ci sarebbe un intorno destro di s la cui immagine

secondo γ `e inclusa in U e questo `e impossibile per definizione di s che non potrebbe essere un

maggiorante dell’insieme {t ∈ [0, 1] | γ(t) ∈ U }. Si ottiene un analogo assurdo assumendo che

p

⁰

= γ(s) ∈ ext(U ): si trova un intorno sinistro di s la cui immagine secondo γ `e nell’esterno di

U e questo `e impossibile per definizione di s, dato che avremmo γ(s) 6∈ {t ∈ [0, 1] | γ(t) ∈ U } e

anche che s non è un punto di accumulazione di {t ∈ [0, 1]|γ(t) ∈ U }. L’unica possibilità è quindi

p

⁰

∈ ∂U , ma anche p

⁰

= γ(s) ∈ Ω per definizione di γ.) Dato che p

⁰

∈ Ω, ha senso valutare φ in

p

⁰

ed in un intorno di esso. Dato che φ `e continua con tutte le sue derivate di ogni ordine e che,

essendo p

⁰

∈ ∂U , esiste una successione di punti {p

}

_n∈N

⊂ U che converge a p

, tutte le derivate

di φ in p

⁰

possono essere calcolate prendendo i limiti di tali derivate verso p

⁰

∈ Ω, calcolandole

sulla successione {p

}

_n∈N

⊂ U , prima di fare i limiti. Dato che φ

≡ 0 e che U `e aperto, le

derivate di φ in U sono tutte nulle ad ogni ordine. Le derivate ad ogni ordine di φ saranno allora

nulle quando valutate in p

⁰

con la procedura di limite indicata sopra. Dato che in p

⁰

la funzione

φ `e analitica, facendo lo sviluppo di Taylor centrato in p

⁰

, concludiamo che φ ≡ 0 in un intorno

aperto J

_p0

⊂ Ω di p

. Abbiamo raggiunto un assurdo dato che J

_p0

`e un aperto su cui φ ≡ 0, ma

J

6⊂ U (dato che J

_p0

3 p

⁰

∈ ∂U e ∂U ∩ U = ∅ essendo U aperto). Questo `e impossibile per

definizione di U . Concludiamo che deve essere U = Ω.

Dimostrazione 2 (usando altre propriet`a topologiche). Definiamo la funzione analitica

reale φ := ψ − ϕ. Sia U ⊂ Ω l’insieme dato dall’unione di tutti gli aperti inclusi in Ω su cui

φ ≡ 0. Ovviamente U `e non vuoto dato che ∅ 6= A ⊂ U . Per costruzione U ⊂ Ω `e dunque

aperto in R

ⁿ

e aperto anche nella topologia relativa di Ω. Come ben noto dai corsi di topologia,

dato che Ω `e connesso, gli unici suoi sottoinsiemi contemporaneamente aperti e chiusi (nella

sua topologia relativa) sono Ω e ∅. Se proviamo che U `e anche chiuso nella topologia di Ω

dobbiamo concludere che deve coincidere con Ω dato che U 6= ∅. Per provare che U `e chiuso

nella topologia relativa ad Ω `e sufficiente mostrare che, per esempio, U include la sua frontiera

∂

_Ω

U (riferita alla topologia relativa di Ω e quindi sottoinsieme di Ω). Se p ∈ ∂

_Ω

U allora ogni

intorno di p in Ω include punti di U per definizione di frontiera. Di conseguenza i limiti di

tutte le derivate di φ verso p saranno nulli essendo φ nulla in U ed essendo tali derivate funzioni

continue su Ω. Dato che φ `e analitica su Ω ci sar`a un intorno V di p in Ω in cui tale funzione

`

e sviluppabile in serie di Taylor, ma abbiamo appena dimostrato che tale serie `e costituita da

termini nulli. Di conseguenza p ∈ V dove V ∈ Ω `e un insieme aperto su cui φ ≡ 0. Per

de-finizione ∂

_Ω

U 3 p ∈ U e quindi U `e chiuso nella topologia relativa di Ω come volevamo provare. 2

La proposizione 3.2 ha la seguente implicazione immediata in virt`u del teorema 3.3.

Proposizione 3.3. Se due funzioni armoniche reali ϕ e ψ sono entrambe definite sull’aperto

non vuoto e connesso Ω ⊂ R

ⁿ

e coincidono su un aperto non vuoto A ⊂ Ω, allora esse

coinci-dono su tutto Ω. ♦

Dimostrazione (basata sull’analiticit`a reale delle funzioni armoniche). La funzione

ϕ − ψ `e analitica reale su Ω aperto e connesso ed `e nulla sul sottoinsieme aperto non vuoto

A ⊂ U . Per la proposizione 3.2 ϕ − ψ = 0 ovunque su Ω. 2

Nel documento Fondamenti di FISICA MATEMATICA II: Introduzione alla Teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali del Secondo Ordine (pagine 81-85)