Funzioni di Green e nuclei di Poisson





∆ϕ = f funzione assegnata,

ϕ|

_∂Ω

= ψ funzione assegnata,

∇ϕ · n|

_∂Ω

= ψ

1

funzione assegnata.

(4.12)

Infatti, dai teoremi di unicit`a per il problema di Dirichlet e Neumann, sappiamo che in generale

questo problema pu`o non ammettere soluzione assegnando ϕ|

_∂Ω

e ∇ϕ|

_∂Ω

· n

contemporaneamen-te e arbitrariamencontemporaneamen-te. In qualche modo per pocontemporaneamen-ter usare la procedura detta dobbiamo estrarre il

dato incognito ∇ϕ|

_∂Ω

da quelli noti: ψ e f . Oppure dobbiamo modificare la formula in modo da

non richiedere la conoscenza del dato ∇ϕ|

_∂Ω

che non pu`o essere assegnato indipendentemente

da ψ.

4.2.1 Funzioni di Green e nuclei di Poisson.

Per usare (4.10) al fine di scrivere la soluzione del problema di Dirichlet in funzione dei dati

al bordo, possiamo cercare di modificare G

n

in modo da far sparire in (4.10) il termine

con-tenente il gradiente di ϕ e cercare di usare i soli dati di Dirichlet. In questo modo potremmo

riuscire a produrre un candidato della soluzione del problema. Con un problema di Neumann

si pu`o procedere similmente anche se noi ci limiteremo a trattare il problema di Dirichlet

unica-mente. Abbiamo la seguente proposizione che ci porta verso la direzione voluta.

Proposizione 4.1. Sia Ω ⊂ R

n

insieme aperto non vuoto a chiusura compatta e con bordo

dato da una superficie regolare orientabile. Sia {v

Ω

(x, ·)}

x∈Ω

⊂ C

2

(Ω) una classe di soluzioni

dell’equazione:

∆

_y

v

_Ω

(x, y) = 0 , (x, y) ∈ Ω × Ω

per le quali valga anche:

v

Ω

(x, y) + G

n

(x, y) = 0, se x ∈ Ω e y ∈ ∂Ω .

Allora valgono i fatti seguenti.

(a) Per ogni funzione ϕ ∈ C

⁰

(Ω) ∩ C

²

(Ω) con ∇ϕ e ∆ϕ limitate su Ω, vale:

ϕ(x) =

Z

Ω

G

_Ω

(x, y)∆ϕ(y)d

ⁿ

y +

I

∂Ω

N

_Ω

(x, y)ϕ(y)dS(y) , per ogni x ∈ Ω, (4.13)

dove G

Ω

(x, y) := G

n

(x, y)+v

Ω

(x, y) e N

Ω

(x, y) := ∇

y

G

Ω

(x, y)·n|

_y∈∂Ω

(con n versore uscente da

∂Ω) sono detti rispettivamente la funzione di Green ed il nucleo di Poisson per il problema

di Dirichlet per l’equazione di Poisson su Ω.

(b) Per ogni fissato x ∈ Ω, Ω \ {x} 3 y 7→ G

Ω

(x, y) si estende univocamente per continuit`a ad

una funzione C

²

(Ω \ {x}), armonica su tutto Ω \ {x} e nulla su ∂Ω.

(c) Se (x, y) ∈ Ω × Ω, allora

In particolare, quindi per ogni fissato y ∈ Ω, Ω \ {y} 3 x 7→ G

_Ω

(x, y) si estende univocamente

per continuit`a ad una funzione C

²

(Ω \ {y}), armonica su Ω \ {y} e nulla su ∂Ω. ♦

Schema di dimostrazione. (a) Fissiamo x ∈ Ω e quindi scegliamo una classe di domini Ω

_

,

con le stesse caratteristiche di Ω, per  ∈ (0, δ) con δ > 0, in modo tale che Ω



⊂ Ω

_0

⊂ Ω se

 < 

⁰

e ∪

_∈(0,δ)

Ω

_

= Ω.

Dato che, se x ∈ Ω `e fissato, vale ∆

_y

v

_Ω

(x, y) = 0 quando y ∈ Ω (per y ∈ ∂Ω, ci`o vale per

continuit`a tenendo conto che la funzione `e C

²

fino al bordo), pertanto:

Z

Ω

ϕ(y)∆

_y

v

_Ω

(x, y)d

ⁿ

y = 0

per ogni funzione ϕ : Ω → R. Se ammettiamo che ϕ ∈ C

²

(Ω), dalla seconda identit`a di Green

abbiamo come conseguenza:

0 =

Z

Ω

v

Ω

(x, y)∆

y

ϕ(y)d

ⁿ

y +

I

+∂Ω

ϕ(y)∇

y

v

Ω

(x, y) · ndS(y) −

I

+∂Ω

v

Ω

(x, y)∇

y

ϕ(y) · ndS(y) .

Sommando membro a membro con (4.10) calcolata su Ω

_

e definendo G

_Ω

(x, y) = G

_n

(x, y) +

v

Ω

(x, y), si ha:

ϕ(x) =

Z

Ω

G

_Ω

(x, y)∆

_y

ϕ(y)d

ⁿ

y +

I

+∂Ω

N

_Ω

(x, y)ϕ(y)dS(y) −

I

+∂Ω

G

_Ω

(x, y)∇

_y

ϕ(y) · ndS(y)

dove N

_Ω

(x, y) := ∇

y

G

_Ω

(x, y) · n|

_y∈∂Ω

. Se ora assumiamo che ϕ ∈ C

⁰

(Ω) ∩ C

²

(Ω) e che ∇ϕ e

∆ϕ siano limitati su Ω, possiamo calcolare il limite per  → 0 essenzialmente usando il teorema

della convergenza dominata ottenendo

ϕ(x) =

Z

Ω

G

_Ω

(x, y)∆

_y

ϕ(y)d

ⁿ

y +

I

+∂Ω

N

_Ω

(x, y)ϕ(y)dS(y) ,

dove abbiamo trascurato il contributo dovuto all’ultimo integrale di bordo che vale zero nelle

nostre ipotesi in quanto G

Ω

(x, y) = 0 se y ∈ ∂Ω. Nel passaggio precedente per l’integrazione

sul bordo si procede come segue, scegliendo con cura la classe dei domini Ω

_

in modo che

∂Ω



= f



(∂Ω), per una classe di funzioni regolari f



: ∂Ω → Ω parametrizzate in  ∈ [0, δ),

che prendono valori in un fissato intorno di ∂Ω in modo tale che, in particolare, f

0

sia la

funzione identit`a. La misura naturale su ogni ∂Ω

_

viene scritta come quella su ∂Ω moltiplicata

per una funzione continua positiva (la derivata di Radon Nykodim). In questo modo ogni

integrazione su ∂Ω



, componendo le funzioni integrate con la funzione f



, pu`o sempre vedersi

come un’integrazione su ∂Ω, con una misura che `e quella di ∂Ω moltiplicata per una funzione

che tiene conto di . Il teorema della convergenza dominata viene applicato per calcolare il limite

 → δ

⁻

per un integrale eseguito nella variabile y su ∂Ω per funzioni delle variabili y ∈ ∂Ω e

 ∈ [0, δ), congiuntamente continue sul compatto ∂Ω × [0, δ

⁰

], dove δ

⁰

< δ con δ > 0 e fissato a

piacere.

(b) La dimostrazione `e ovvia per definizione di G

_Ω

, dalle propriet`a note di v

_Ω

e G

_n

. Si noti che

G

Ω

resta comunque singolare per x = y dato che tale `e G

n

, mentre v

Ω

(x, x) `e comunque ben

definita.

(c) Fissiamo x

₁

, x

₂

∈ Ω con x

₁

6= x

₂

e consideriamo il volume, con ovvie notazioni, Ω

_

=

Ω \ (B



(x

1

) ∪ B



(x

2

)). Su tale volume le funzioni: y 7→ G

Ω

(x

1

, y) e y 7→ G

Ω

(x

2

, y) sono regolari,

armoniche e si annullano sul bordo esterno di Ω

_

, dato da ∂Ω. In conseguenza dell’armonicit`a :

0 =

Z

Ω

(G

_Ω

(x

₁

, y)∆

_y

G

_Ω

(x

₂

, y) − G

_Ω

(x

₂

, y)∆

_y

G

_Ω

(x

₁

, y)) d

ⁿ

y .

Applicando la seconda identit`a di Green al secondo membro scritto sopra e tenendo conto che il

contributo dovuto all’integrale di superficie su ∂Ω si annulla dato che G

_Ω

(x

₁

, y) = G

_Ω

(x

₂

, y) = 0

se y ∈ ∂Ω, otteniamo che:

I

+∂B(x1)

G

Ω

(x

1

, y)n · ∇

y

G

Ω

(x

2

, y) dS(y) −

I

+∂B(x1)

G

Ω

(x

2

, y)n · ∇

y

G

Ω

(x

1

, y) dS(y)

+

I

+∂B(x2)

G

Ω

(x

1

, y)n · ∇

y

G

Ω

(x

2

, y) dS(y) −

I

+∂B(x2)

G

Ω

(x

2

, y)n · ∇

y

G

Ω

(x

1

, y)) dS(y) = 0 .

Si osservi che la divergenza che si ha nel primo integrale per  → 0

⁺

`e unicamente dovuta alla

divergenza di G

n

(x

1

, y) per y → x

1

. Fissando coordinate polati centrate in x

1

, tale divergenza

`

e di ordine 

²⁻ⁿ

se n > 2 oppure ln  se n = 2. Tuttavia l’area della superficie ∂B



(x

1

) tende a

zero con rapidit`a 

ⁿ⁻¹

oppure  rispettivamente. Da ci`o si conclude che il primo integrale tende a

0 per  → 0

⁺

. Lo stesso discorso vale per il quarto integrale. Nel secondo integrale, la divergenza

`

e invece dovuta a n · ∇

y

G

n

(x

1

, y), y → x

1

. Usando un sistema di coordinate polari centrate in x

1

si vede che n · ∇

_y

G

_n

(x

₁

, y) = 1/vol(∂B

_

(x

₁

)) come gi`a osservato nella dimostrazione di (c) del

teorema 3.1. Tale divergenza si compensa esattamente con il limite a 0 dell’area della superficie

∂



(x

1

) quando  → 0

⁺

, lo stesso discorso vale per il terzo integrale. (Si osservi che il contributo

dovuto ai termini v

_Ω

(x, y) `e sempre nullo nel limite per  → 0

⁺

dato che tali funzioni sono

regolari nel dominio considerato e vengono integrate su domini di misura che tende a zero.)

Ragionando nella dimostrazione di (c) del teorema 3.1 si verifica facilmente che, prendendo il

limite per  → 0

⁺

si ottiene un valore finale dato dai seguenti contributi :

0 − G

Ω

(x

2

, x

1

) + G

Ω

(x

1

, x

2

) + 0 = 0 .

Da cui: G

Ω

(x

2

, x

1

) = G

Ω

(x

1

, x

2

). Dato che vale anche G

n

(x

2

, x

1

) = G

n

(x

1

, x

2

) per definizione,

concludiamo che v

_Ω

(x

₂

, x

₁

) = v

_Ω

(x

₁

, x

₂

) quando x

₁

6= x

₂

. Questa identit`a per v

_Ω

vale

banal-mente anche nel caso x

₁

= x

₂

, dato che v

_Ω

(x, x) `e definita per ogni x ∈ Ω.

Si osservi infine che, per definizione, per ogni x ∈ Ω, y 7→ G

Ω

(x, y) `e una funzione C

²

(Ω \ {x}),

armonica e nulla su ∂Ω. Pertanto per ogni y ∈ Ω, Ω 3 x 7→ G

_Ω

(x, y) = G

_Ω

(y, x) si estende

univocamente per continuit`a ad una funzione C

2

(Ω \ {y}), armonica e nulla su ∂Ω. 2

L’espressione (4.13) fornisce ϕ in termini delle sole quantit`a assegnate in un problema di

Diri-chlet su Ω. Tale formula pu`o essere usata per determinare la soluzione del problema di Dirichlet.

Sussiste infatti il seguente teorema.

Teorema 4.2. Sia Ω ⊂ R

ⁿ

insieme aperto, non vuoto, a chiusura compatta e con bordo dato

da una superficie regolare orientabile. Sia G

_Ω

una funzione di Green per il laplaciano su Ω con

nucleo di Poisson N

Ω

. Se valgono i seguenti fatti:

(i) la funzione v

_Ω

:= G

_Ω

− G

_n

`e di classe C

³

(Ω × Ω \ ∆), dove abbiamo definito ∆ :=

{(x, x) | x ∈ ∂Ω}, e

(ii) vale l’identit`a :

lim

x→x0

I

∂Ω

N

_Ω

(x, y)ψ(y)dS(y) = ψ(x

₀

) , per ogni ψ ∈ C

⁰

(∂Ω) e ogni x

₀

∈ ∂Ω, (4.14)

allora valgono i due seguenti fatti.

(a) la funzione:

ϕ(x) :=

Z

Ω

G

Ω

(x, y)f (y)d

ⁿ

y +

I

∂Ω

N

Ω

(x, y)ψ(y)dS(y) , per x ∈ Ω (4.15)

estesa per continuit`a su Ω `e soluzione del problema di Dirichlet

ß

∆ϕ = f ,

ϕ|

∂Ω

= ψ , ^(4.16)

per ogni scelta delle funzioni assegnate f ∈ C

₀²

(Ω) e ψ ∈ C

⁰

(∂Ω).

(b) Esiste al pi`u una funzione di Green G

_Ω

per l’equazione di Poisson con condizioni di

Diri-chlet su Ω soddisfacente (i) e (ii) (e quindi un unico nucleo di Poisson associato). ♦

Dimostrazione. (a) Fissato un qualsiasi x

⁰

∈ Ω si consideri una palla aperta B(x

0

) ⊂ Ω con

B(x

⁰

) ⊂ Ω. La funzione B(x

⁰

) × suppf 3 (x, y) 7→ v

Ω

(x, y)f (y) `e limitata e lo sono tutte le sue

derivate in x di ogni ordine (essendo tale funzione con le sue derivate continue su un compatto),

dunque esister`a una funzione costante g ≥ definita sull’insieme, di misura finita per ipotesi, Ω, e

tale funzione maggiora i valori assoluti delle derivate in x fino al secondo ordine di v

Ω

(x, y)f (y)

per tutti i valori di y ∈ Ω uniformemente in x ∈ B(x

⁰

). Possiamo allora derivare sotto il segno

di integrale in x ∈ B(x

⁰

) due volte ottenendo, da (b) del lemma 4.1

∆

x

Z

Ω

v

Ω

(x, y)f (y)d

ⁿ

y =

Z

Ω

∆

x

v

Ω

(x, y)f (y)d

ⁿ

y = 0 .

Similmente, dato che f ha supporto compatto e pertanto

Z

Ω

G

_n

(x, y)f (y)d

ⁿ

y =

Z

Rⁿ

G

_n

(x, y)f (y)d

ⁿ

y

Per (d) del teorema 3.1 abbiamo che:

∆

x

Z

Ω

Mettendo tutto insieme abbiamo ottenuto che:

∆

_x

Z

Ω

G

_Ω

(x, y)f (y)d

ⁿ

y = f (x) .

La funzione B(x

0

) × ∂Ω 3 (x, y) 7→ N

_Ω

(x, y)f (y) `e derivabile in x e le sue derivate sono limitate,

essendo funzioni continue su un compatto: per costruzione x 6= y lavorando nell’insieme detto.

Come prima possiamo derivare due volte sotto il segno di integrale ottenendo

∆

_x

I

∂Ω

N

_Ω

(x, y)ψ(y)dS(y) =

I

∂Ω

∆

_x

N

_Ω

(x, y)ψ(y)dS(y) = 0 ,

dato che possiamo applicare il teorema di Schwartz, essendo v di classe C

³

e G

_n

di classe C

^∞

(per argomenti non coincidenti):

∆

x

n · ∇G

Ω

(x, y) = n · ∇∆

x

G

Ω

(x, y) = 0

in quanto G

Ω

(x, y) `e , per costruzione, armonica in x se x 6= y. In definitiva

∆

_x

ÅZ

Ω

G

_Ω

(x, y)f (y)d

ⁿ

y +

I

∂Ω

N

_Ω

(x, y)ψ(y)dS(y)

ã

= f (x) .

La funzione ϕ `e quindi in C

²

(Ω) per costruzione (anzi `e in C

⁴

(Ω)).

Se B(x

₀

) `e una palla aperta centrata in x

₀

∈ ∂Ω tale che ∂B(x

₀

) ∩ supp f = ∅, la funzione

(x, y) 7→ G

Ω

(x, y)f (y) per (x, y) ∈ (B(x

0

) ∩ Ω) × Ω `e continua con supporto compatto incluso in

(B(x

₀

) ∩ Ω) × supp f (le singolarit`a di G

_Ω

per x = y non hanno effetto visto che tali punti sono

fuori dal supporto). Sia C ≥ 0 una costante che maggiora (x, y) 7→ G

_Ω

(x, y)f (y) sul dominio

detto. La funzione costante Ω 3 y 7→ C `e integrabile dato che Ω ha chiusura compatta. Possiamo

allora applicare il teorema della convergenza dominata e concludere che

lim

x7→x0

Z

Ω

G

_Ω

(x, y)f (y)d

ⁿ

y =

Z

Ω

lim

x7→x0

G

_Ω

(x, y)f (y)d

ⁿ

y = 0 ,

dove abbiamo usato il fatto che lim

x7→x0

G

Ω

(x, y) = G

Ω

(x

0

, y) = G

Ω

(y, x

0

) = 0 quando x

0

∈ ∂Ω

e y ∈ Ω. Se infine vale anche la condizione 4.14, allora ϕ definita in (4.15) ed estesa su ∂Ω

come ϕ(x) := ψ(x) `e continua su Ω e, banalmente, soddisfa le condizioni al bordo. Mostriamone

la continuit`a in ogni punto x

0

∈ Ω = Ω ∪ ∂Ω. Se x

₀

∈ Ω la funzione ϕ `e continua in x

0

per

costruzione, essendo di classe C

²

, e non c’`e nulla da provare. Se invece x

₀

∈ ∂Ω si procede come

segue. Per ogni  > 0 possiamo trovare un intorno aperto A

_

di x

₀

tale che, se x ∈ A

_

∩ Ω

allora |ϕ(x) − ϕ(x

0

)| <  come conseguenza di (4.14). Dato che ψ `e a sua volta continua in x

0

,

per ogni  > 0 possiamo trovare un intorno aperto A

⁰_

di x

₀

tale che, se x ∈ A

⁰_

∩ ∂Ω allora

|ψ(x) − ψ(x

₀

)| < . In definitiva, tenendo conto del fatto che ϕ = ψ su ∂Ω, se  > 0, esiste un

intorno di x

0

∈ ∂Ω, B

_

:= A



∩A

⁰_

, tale che se x ∈ B



∩Ω = B

_

∩(Ω∪∂Ω), allora |ϕ(x)−ϕ(x

₀

)| < .

(b) Ovviamente `e sufficiente dimostrare l’unicit`a della funzione di Green quando `e valutata per

x, y ∈ Ω (con x 6= y), i rimanenti punti del bordo vengono inclusi nella dimostrazione per

continuit`a . Sia G

⁰_Ω

un’altra funzione di Green soddisfacente (4.14). Per ogni problema di

Dirichlet (4.16), l’unica (per il teorema 2.3) soluzione ϕ si potr`a anche scrivere come:

ϕ(x) :=

Z

Ω

G

⁰_Ω

(x, y)f (y)d

ⁿ

y +

I

∂Ω

N

_Ω⁰

(x, y)ψ(y)dS(y) .

Se scegliamo ψ identicamente nulla su ∂Ω, per differenza con (4.15) avremmo che, per ogni

x ∈ Ω e per ogni f ∈ C

₀²

(Ω):

0 =

Z

Ω

[G

⁰_Ω

(x, y) − G

Ω

(x, y)]f (y)d

ⁿ

y .

Supponiamo per assurdo che per fissati x, y ∈ Ω con x 6= y, G

⁰_Ω

(x, y) − G

Ω

(x, y) = l 6= 0.

Assumiamo senza perdere generalit`a l > 0. In una palla aperta di raggio finito B centrata in

y e con x fissato, G

⁰_Ω

(x, y) − G

_Ω

(x, y) si manterrebbe in [l − , l + ] con l −  > 0. Potremmo

allora trovare una funzione f ∈ C

₀²

(Ω) il cui supporto `e contenuto in B che abbia integrale

stret-tamente positivo pari a k. In modo tale che ^R

_Ω

[G

⁰_Ω

(x, y) − G

_Ω

(x, y)]f (y)d

ⁿ

y ≥ k(l − ) > 0 che

`

e impossibile. Quindi G

⁰_Ω

(x, y) = G

_Ω

(x, y) su Ω × Ω per x 6= y. 2

Osservazioni 4.2.

(1) Nelle ipotesi di validit`a del teorema precedente sappiamo risolvere, su Ω dato, ogni

proble-ma di Dirichlet con dati ψ ∈ C

⁰

(∂Ω) e f ∈ C

₀²

(Ω). La conoscenza della funzione di Green non

permette di risolvere un problema di Dirichlet, ma ogni problema di Dirichlet (se valgono tutte

le ipotesi richieste).

(2) La validit`a della condizione (4.14) `e abbastanza generale. Daremo una condizione sufficiente

affinch´e essa valga nella prossima proposizione.

(3) Cambiamenti della definizione della funzione G

_Ω

sull’insieme ∆ non alterano,

evidentemen-te, i risultati in (a). Si osservi che anche la relazione (4.14) `e indipendendte dal valore assunto

da G

_Ω

su ∆.

Proposizione 4.2. Nelle ipotesi del teorema 4.2, la condizione (4.14) `e verificata se, per ogni

x

0

∈ ∂Ω e per ogni palla aperta B

_δ

(x

0

) centrata in x

0

e con raggio δ > 0 vale:

I

∂Ω\Bδ(x0)

N

_Ω

(x, y)dS(y) → 0 per Ω 3 x → x

₀

.

♦

Dimostrazione. La dimostrazione usa il seguente lemma:

Lemma 4.1. Il nucleo di Poisson N

_Ω

(x, y) soddisfa:

N

_Ω

(x, y) ≥ 0 se x ∈ Ω, y ∈ ∂Ω ed anche

I

∂Ω

N

_Ω

(x, y) dS(y) = 1 , per ogni x ∈ Ω. (4.17)

♦

Dimostrazione del lemma. Infatti, se x ∈ Ω `e fissato e B

_r

(x) `e una palla aperta di raggio

r centrata in x con B

r

(x) ⊂ Ω, la funzione Ω \ B

r

(x) 3 y 7→ G

Ω

(x, y) = G

n

(x, y) + v

Ω

(x, y)

`

e sicuramente negativa su ∂B

_r

(x) scegliendo r sufficientemente piccolo, visto che G

_n

(x, y)

di-verge a −∞ quando y → x, mentre v(x, y) rimane limitata nell’intorno di x. Per costruzione

G

Ω

(x, y) = 0 se y ∈ ∂Ω. Dato che il massimo di Ω \ B

r

(x) 3 y 7→ G

Ω

(x, y) `e assunto sul bordo

del dominio (essendo la funzione armonica nell’interno del dominio e continua sulla chiusura),

concludiamo che tale massimo `e sicuramente 0 e che G

_n

(x, y) < 0 nell’interno del dominio per

il principio del massimo forte. Segue facilmente che −n · ∇

y

G

n

(x, y) ≤ 0 quando y ∈ ∂Ω, dove

−n punta verso l’interno: se ci`o non fosse, dato che G

_n

(x, y) = 0 su y ∈ ∂Ω, troveremmo una

curva C

1

, y = y(t), che entra in Ω partendo da y(0) ∈ ∂Ω, lungo la quale t 7→ G

_n

(x, y(t)) cresce

raggiungendo valori positivi. Notiamo poi che, se x ∈ Ω:

I

∂Ω

N

_Ω

(x, y) dS(y) =

I

∂Ω

n · ∇

_y

G

_n

(x, y) dS(y) +

I

∂Ω

n · ∇

_y

v

_Ω

(x, y) dS(y) .

Consideriamo i due integrali a secondo membro. Il secondo integrale vale 0, dato che y 7→ v

Ω

(x, y)

`

e armonica su Ω e vale il teorema 2.8. Il primo integrale vale invece 1, applicando la formula

(3.17) alla funzione g che vale costantemente 1 su R

ⁿ

. In definitiva:

I

∂Ω

N

Ω

(x, y) dS(y) = 1 , per ogni x ∈ Ω.

Questo conclude la dimostrazione. 2

Proseguendo con la dimostrazione principale, abbiamo che, in conseguenza del secondo risultato

in (4.17):

I

∂Ω

N

Ω

(x, y)ψ(y)dS(y) = ψ(x

0

)

I

∂Ω

N

Ω

(x, y)dS(y) +

I

∂Ω

N

Ω

(x, y)(ψ(y) − ψ(x

0

))dS(y) .

In altre parole, per ogni fissata palla B

_δ

(x

₀

):

I

∂Ω

N

Ω

(x, y)ψ(y)dS(y) − ψ(x

0

) =

I

∂Ω

N

Ω

(x, y)(ψ(y) − ψ(x

0

))dS(y) = A

δ

(x) + A

⁰_δ

(x) . (4.18)

dove:

A

_δ

(x) :=

I

∂Ω\B_δ(x0)

N

_Ω

(x, y)(ψ(y)−ψ(x

₀

))dS(y), A

⁰_δ

(x) :=

I

∂Ω∩B_δ(x0)

N

_Ω

(x, y)(ψ(y)−ψ(x

₀

))dS(y).

Consideriamo ora una successione di punti Ω 3 x

n

→ x

₀

se n → +∞. Avremo che

lim sup

n









I

∂Ω

N

Ω

(x

n

, y)ψ(y)dS(y) − ψ(x

0

)









≤ lim sup

n

|A

_δ

(x

n

)|+lim sup

n

|A

⁰_δ

(x

n

)| = lim sup

n

|A

⁰_δ

(x

n

)|,

dato che lim sup

_n

|A

_δ

(x

_n

)| = 0, essendo per ipotesi (usando anche il fatto che |N

_Ω

(x

_n

, y)| =

N

Ω

(x

n

, y)):

|A

_δ

(x

_n

)| ≤ sup

y∈∂Ω\B_δ(x0)

|ψ(y) − ψ(x

₀

)|

I

∂Ω\Bδ(x0)

|N

_Ω

(x

_n

, y)|dS(y) → 0 se n → +∞ ,

dato che sup

_y∈∂Ω\B

δ(x0)

|ψ(y) − ψ(x

₀

)| `e finito per la continuit`a di ψ sul compatto ∂Ω.

Concludiamo che:

lim sup

n









I

∂Ω

N

Ω

(x

n

, y)ψ(y)dS(y) − ψ(x

0

)









≤ lim sup

n

|A

⁰_δ

(x

n

)| ,

per ogni δ > 0. Mostriamo che possiamo rendere piccolo a piacere il secondo membro scegliendo

δ > 0 opportunamente. Dato che ψ `e continua su ∂Ω, per ogni fissato  > 0 deve esistere δ > 0

tale che |ψ(y) − ψ(x

₀

)| <  se y ∈ ∂Ω con ||y − x

₀

|| < δ e quindi:

|A

⁰_δ

(x)| ≤ sup

y∈∂Ω∩Bδ(x0)

|ψ(y) − ψ(x

₀

)|

I

∂Ω∩Bδ(x0)

|N

_Ω

(x, y)|dS(y) ≤ 

I

∂Ω

|N

_Ω

(x, y)|dS(y)

= 

I

∂Ω

N

Ω

(x, y)dS(y) =  .

Il risultato vale per ogni x ∈ Ω e quindi anche per x

_n

. Concludiamo che, per ogni  > 0:

lim sup

n









I

∂Ω

N

Ω

(x

n

, y)ψ(y)dS(y) − ψ(x

0

)









≤  .

Abbiamo ottenuto che, comunque fissiamo una successione Ω 3 x

_n

→ x

₀

se n → +∞

0 ≤ lim inf

n









I

∂Ω

N

Ω

(x

n

, y)ψ(y)dS(y) − ψ(x

0

)









≤ lim sup

n









I

∂Ω

N

Ω

(x

n

, y)ψ(y)dS(y) − ψ(x

0

)









≤ 0 .

E quindi, per ogni successione Ω 3 x

_n

→ x

₀

se n → +∞, vale:

lim

n→+∞









I

∂Ω

N

Ω

(x

n

, y)ψ(y)dS(y) − ψ(x

0

)









= 0 .

L’arbitrariet`a della successione implica che vale la tesi:

lim

Ω3x7→x0

I

∂Ω

N

Ω

(x

n

, y)ψ(y)dS(y) = ψ(x

0

) .

2

Nel documento Fondamenti di FISICA MATEMATICA II: Introduzione alla Teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali del Secondo Ordine (pagine 98-105)