L’equazione per la membrana oscillante per piccole deformazioni

Consideriamo una membrana orizzontale a riposo, descritta da z = z(x, y) in generale, rispetto

ad un sistema di coordinate x, y, z solidale con un sistema di riferimento inerziale, con z verticale.

Le coordinate x e y variano su tutto il piano R

2

oppure in un certo dominio dato un insieme

Ω dove Ω ⊂ R

²

`e un aperto (non necessariamente limitato) e ∂Ω `e una curva sufficientemente

regolare. Nel caso di ∂Ω 6= ∅, si impongono su di esso opportune condizioni al bordo, tipicamente

l’annullarsi della deformazione verticale z|

_∂Ω

= 0, come accade per le membrane dei tamburi.

Sia µ > 0, costante (nel tempo e nel punto della membrana) la densit`a superficiale di massa della

membrana e sia τ = ||T|| il valore costante (nel tempo e nel punto della membrana) del modulo

della tensione T della membrana assunta essere isotropa

2

. Supponiamo che la membrana, al

tempo t = 0, venga deformata in una funzione z = z(x, y) con |z(x)| “molto piccolo” nel senso

che vedremo poi, e che poi venga lasciata libera (sempre soddisfacendo le eventuali condizioni

al bordo su ∂Ω). A causa dell’elasticit`a del mezzo, accade che la configurazione della membrana

varier`a nel tempo e sar`a descritta da una funzione z = z(t, x, y). Vogliamo ricavare, dalle leggi

della dinamica, l’equazione a cui deve soddisfare questa funzione assumendo che il modulo della

tensione τ e la densit`a µ rimangano costanti e che le deformazioni trasversali siano piccole.

Consideriamo un punto p

0

di membrana individuato da (x

0

, y

0

) e quindi un pezzo di membrana

rettangolare, di lati 2h e 2k, centrato in p

₀

, con proiezioni dei lati sul piano z = 0 che risultano

essere parallele agli assi x e y (il tutto approssimativamente con approssimazione tanto migliore

quanto h e k sono presi piccoli). Su tale porzione di membrana agisce la tensione sui 4 lati.

Approssimativamente, su ciascun lato possiamo pensare la tensione costante, pari al valore che

assume nel punto medio del lato: T(x

₀

− h, y

₀

), T(x

₀

+ h, y

₀

), T(x

₀

, y

₀

+ k). T(x

₀

, y

₀

− k).

Questi vettori saranno uscenti dalla porzione di membrana perpendicolarmente ai lati e saranno

in ogni punto tangenti alla membrana stessa. In prima approssimazione l’accelerazione nella

direzione e

_z

della porzione di corda `e

^∂_∂t^2z2

, mentre la massa della porzione di corda `e 4hkµ. La

seconda equazione della dinamica afferma allora che deve valere, in prima approssimazione:

4hkµ^∂

2

z

∂t

2

= 2k(T(x

0

+ h, y

0

) + T(x

0

− h.y

₀

)) · e

z

+ 2h(T(x

0

, y

0

+ k) + T(x

0

, y

0

− k)) · e

_z

, (5.8)

Il primo addendo secondo membro si pu`o riscrivere come:

2k(T(x

₀

+ h, y

₀

) + T(x

₀

− h, y

₀

)) · e

_y

= 2kτ (sin α(x

₀

+ h, y

₀

) − k sin α(x

₀

− h, y

₀

)) ,

dove α(x

₀

+ h, y

₀

) e α(x

₀

− h, y

₀

) sono gli angoli che T(x

₀

+ h, y

₀

) e −T(x

₀

− h, y

₀

) individuano

rispetto a e

x

e quindi, approssimando sin α con tan α tenendo conto che lavoriamo con piccoli

|z| e tenendo conto che: tan α(x

₀

+ h, y

₀

) =

^∂z_∂x

|

_(x0+h,y0)

e tan α(x

₀

− h, y

₀

) =

^∂z_∂x

|

_(x0−h,y0)

, e

procedendo nello stesso modo per le due tensioni valutate sui lati paralleli all’asse y, la (5.8)

pu`o essere riscritta come:

µ

τ

∂

2

z

∂t

2

=

∂z ∂x

|

_(x0+h,y0)

−

∂z ∂y

|

_(x0−h,y0)

2h ⁺

∂z ∂y

|

_(x0,y0+k)

−

∂z ∂x

|

_(x0,y0−k)

2k ^.

2

Ricordiamo che la tensione T in un punto p della membrana attraversato dalla curva γ viene definita, a meno del segno, come densit`a lineare di forza che, tagliando idealmente la membrana lungo γ `e esercitata nel punto p dall’altro lembo della membrana. L’ipotesi di mezzo isotropo, per quanto riguarda la tensione, corrisponde alla richiesta che la tensione in p abbia modulo indipendente dalla scelta della curva γ che passa per p e sia sempre perpedicolare ad essa.

In realt`a l’identit`a trovata `e solo approssimata. Tuttavia, nel limite per (h, k) → (0, 0) ci si

aspetta che diventi rigorosamente valida. In tal caso, si trova l’equazione:

µ

τ

∂

2

z

∂t

2

= ^∂

2

z

∂x

2

+^∂

2

z

∂y

2

.

Questa `e l’equazione di D’Alembert in R

3

per le perturbazioni ondose trasversali della membrana:

−¹

v

2

∂

²

z

∂t

2

+ ∆

_(x,y)

z = 0 ,

in cui la velocit`a di propagazione delle perturbazioni c `e data da:

v =

…τ

µ ^{. (5.9)}

Osservazioni 5.2.

(1) Si noti che, a differenza del caso della corda, ora le dimensioni di τ sono pari ad una forza

diviso una lunghezza e quelle di µ sono pari ad una massa diviso una superficie, per cui v definita

sopra ha correttamente le dimensioni di una velocit`a.

(2) Nel caso in cui sulla membrana agisca anche la forza di gravit`a , sulla porzione di corda usata

per ottenere l’equazione di D’Alembert agisce anche la forza verticale −λ4hkge

_z

. In questo caso,

ripetendo il ragionamento fatto sopra, l’equazione finale che si ottiene `e quella di D’Alembert

con sorgente:

−¹

v

2

∂

2

z

∂t

2

+ ∆z = ^µ

τ^{g .}

Si osservi che −µg `e la forza di gravit`a per unit`a di superficie che agisce sulla membrana in

direzione verticale. In generale, si vede facilmente che, se sulla membrana agisce qualche

den-sit`a superficiale di forza normale alla superficie individuata dalla funzione f = f (t, x) nella

direzione verticale, l’equazione che si ottiene alla fine `e :

− ¹

v

2

∂

²

z

∂t

2

+ ∆z = −^{f (t, x)}

τ ^{. (5.10)}

5.1.3 *L’equazione per la vibrazione di un tamburo ideale di topologia

arbi-traria.

In questa sezione useremo alcuni concetti elementari di geometria differenziale riemanniana ed

analisi globale, tuttavia l’argomento e le nozioni matematiche che saranno richieste sono

larga-mente al di fuori delle competenze usuali di uno studente del secondo anno di matematica. Di

conseguenza il contenuto di questa sezione `e completamente indipendente dalla parte rimanente

delle dispense che si occupa degli argomenti standard.

Consideriamo un tamburo descritto da una variet`a differenziabile M bidimensionale di classe

C

^∞

, connessa, compatta, orientabile, embedded nello spazio tridimensionale R

³

. Indicheremo

con g la metrica riemanniana indotta su M dalla metrica standard di R

3

. Possiamo pensare ad

una superficie sferica, una superficie torica o una superficie bidimensionale di genere arbitrario.

Assumiamo che questa superficie sia costituita da un materiale elastico che, rispetto ad una

certa configurazione di riposo fissata, possa deformarsi leggermente nella direzione normale alla

superficie stessa.

Se p ∈ M rappresenta un punto in situazione non deformata e p∗ la posizione dello stesso punto

dopo la deformazione avvenuta al tempo t, u(t, p)n

_p

indica il vettore posizione di p∗, valutato a

partire da p, dove n

_p

`e il versore normale uscente da M in p. In generale, se A ⊂ M , allora A∗

indica l’insieme dei punti q∗ individuati da u(q)n

q

con q ∈ A.

Assumeremo al solito che il materiale sia omogeneo ed isotropo con una densit`a superficiale di

massa µ ed una tensione τ entrambe costanti. L’ipotesi di omogeneit`a ed isotropia `e in realt`a

estremamente poco fisica, perch´e appare fiscamente improbabile per configurazioni di riposo

dif-ferenti da quella di una superficie sferica ed in assenza di forze esterne.

Consideriamo ora una piccola regione C attorno a p ∈ M individuata, in coordinate polari

geo-detiche

³

r, θ centrate in p, dal cerchio di raggio r

0

> 0. Su ogni punto q∗ di ∂C∗ agisce una

densit`a lineare di forza τ m

_q

diretta perpendicolarmente a ∂C∗ e tangente a C∗ in q∗.

Appros-simativamente la componete totale nella direzione n

_p

di tutte le forze che agiscono sui punti

q∗ ∈ ∂C∗ se q ha coordinate (r

0

, θ) `e:

T '

Z

π

−π

τ sin α(θ)r

0

dθ ,

dove α(θ) `e l’angolo tra la densit`a di forza e la normale a ∂C nel punto q in cui `e applicata

(abbiamo tenuto in particolare conto del fatto che n

_q

→ n

_p

quando r

₀

→ 0). Per piccole

deformazioni:

sin α ' tan α ' ^∂u

∂r ^.

Quindi approssimativamente e tanto pi`u correttamente quanto r

₀

`e piccolo:

T ' τ

I

∂C

∂u

∂r^{d` ' τ}

I

∂C

∇

^(M,g)

u · td` ,

dove ∇

^(M,g)

`e la derivata covariante rispetto alla connessione di Levi-Civita della metrica g

indotta da quella euclidea su M , t `e il versore in T

_q

M normale a ∂C ⊂ M e d` `e la misura

naturale della lunghezza d’arco in M (che coincide con quella valutata in R

³

per costruzione).

Applicando il teorema della divergenza rispetto alla metrica g, concludiamo che

T ' τ

Z

C

∆

^(M,g)

u dν

^(M,g)

,

dove ∆

^(M,g)

`e l’operatore di Laplace-Beltrami associato alla metrica g su M e ν

^(M,g)

la misura

di Borel su M associata a g.

3Se x, y indica un sistema di coordinate locali riemanniane con origine p e definite in un intorno di p, allora x = r cos θ e y = r sin θ dove θ ∈ (−π, π) e r ∈ (0, R) per qualche R > 0 sufficientemente piccolo.

L’equazione del moto in R

3

per la porzione C di tessuto, nella direzione normale a p `e, tanto

pi`u precisamente quanto r

0

`e piccolo:

µ

ÅZ

C

dν

^(M,g)

^{ã ∂}

2

u

∂t

2

' τ

Z

C

∆

^(M,g)

u dν

^(M,g)

.

Di conseguenza:

µ

τ

∂

²

u

∂t

2

' _R ¹

C

dν

(M,g)

Z

C

∆

^(M,g)

u dν

^(M,g)

.

Prendendo il limite per r

0

→ 0 troviamo l’equazione di D’Alembert per piccole deformazioni

normali a M descritte dalla funzione u = u(t, p):

− ¹

v

2

∂

²

u

∂t

2

+ ∆

^(M,g)

u = 0 , (5.11)

dove v `e ancora data dalla (5.9). La differenza, importante, rispetto al caso della membrana

piatta `e che ora l’equazione di D’Alembert `e scritta “sopra” una variet`a differenziabile

rieman-niana e l’operatore di Laplace(-Beltrami) `e quello riferito alla metrica di cui la variet`a `e dotata.

Nel caso sia presente una forzante esterna, l’equazione ottenuta prende, al solito una sorgente:

− ¹

v

2

∂

²

u(t, p)

∂t

2

+ ∆

^(M,g)

u(t, p) = −^{f (t, p)}

τ ^{, (5.12)}

dove f `e la componente normale a M di una densit`a superficiale di forza agente su M che ha

direzione normale in ogni punto (componenti tangenti provocherebbero deformazioni

longitudi-nali che non trattiamo nel modello considerato).

Osservazione importante. L’equazione (5.11) ammette soluzioni palesemente non fisiche,

come quella del tipo u(t, p) = U

₀

con U

₀

6= 0 costante. Anche soluzioni che si ottengono

da questa aggiungendo (dato che l’equazione `e lineare) soluzioni apparentemente pi`u fisiche

sono similmente inaccettabili, perch´e ci si aspetta che il sistema deformato leggermente tenda

a tornare nella sua configurazione iniziale indeformata, dato che `e questo il meccanismo fisico

che, nella pratica, assicura che le deformazioni rimangano piccole. In generale se φ : M → R

`

e una funzione armonica su M , cio`e soddisfa ∆

^(M,g)

φ = 0 (e le funzioni costanti sono un caso

particolare di questo), allora:

u(t, p) := φ(p) per ogni p ∈ M e ogni t ∈ R,

soddisfa (5.11), ma non ha evidentemente senso fisico per gli stessi motivi esposti sopra. Per

dare un significato fisicamente sensato alle soluzioni dell’equazione (5.11) una scelta possibile `e

quella di restringersi a lavorare nell’ortogonale (rispetto al prodotto scalare di L

²

(M, dν

^(M,g)

))

al sottospazio delle funzioni armoniche, dove ν

(M,g)

`e la misura di Borel associata alla metrica

g di M .

5.2 Condizioni iniziali ed al contorno.

I problemi tipici che si incontrano lavorando con equazioni iperboliche come (5.3) e (5.4) sono

generalmente del seguente tipo.

Si cerca ϕ ∈ C

²

((α, β) × D) che soddisfi (5.3) oppure (5.4) in (α, β) × D per qualche ρ ∈

C

⁰

((α, β) × D) assegnata, dove:

(a) (α, β) 3 0

(b) D ⊂ R

ⁿ

`e un aperto, non vuoto, (non necessariamente connesso) con D compatto e ∂D

regolare orientabile.

Il fatto di lavorare in D con D compatto si dice problema interno. Si pu`o anche considerare il

caso del problema esterno in cui si lavora in (α, β) × (R

ⁿ

\ D).

Riferendosi al solo problema interno, vengono quindi assegnate condizioni iniziali e condizioni

al bordo sulla funzione ϕ.

Le condizioni iniziali corrispondono alla coppia di richieste:

ϕ(0, x) = ϕ

0

(x) , ^∂ϕ

∂t









(0,x)

= ϕ

1

(x) , ∀x ∈ D, con ϕ

₀

∈ C

2

(D) e ϕ

1

∈ C

1

(D) assegnate. (5.13)

Le condizioni al bordo, riferite all’insieme S := (α, β) × ∂D con vettore normale uscente n,

possono essere di tre tipi distinti:

(i) (condizioni di Dirichlet) ϕ 

S

= ψ con ψ ∈ C

²

(S) funzione assegnata tale che ψ(0, x) =

ϕ

₀

(x);

(ii) (condizioni di Neumann) n · ∇ϕ 

S

= ψ con ψ ∈ C

¹

(S) funzione assegnata tale che

ψ(0, x) = n · ∇ϕ

₀



S

(x);

(iii) (condizioni di Robin) aϕ 

S

+bn · ∇ϕ 

S

= ψ con a, b ∈ R costanti assegnate tali che

ab 6= 0 e ψ ∈ C

¹

(S) funzione assegnata tale che ψ(0, x) = aϕ

₀



S

+bn · ∇ϕ

₀



S

.

Osservazioni 5.3.

(1) Le condizioni dette si possono notevolmente indebolire per esempio assumendo pi`u debolmente

che ϕ ∈ C

2

((0, β) × D) ∩ C

1

([0, β) × D) (e che soddisfi in tale insieme (5.3) oppure (5.4) per

qualche ρ ∈ C

⁰

((0, β) × D)), con ϕ

0

∈ C

1

(D) e ϕ

1

∈ C

0

(D), e ψ ∈ C

¹

(S) in (ii) e C

⁰

(S) in (i)

e (iii). In questo caso bisogna assumere pi`u precise ipotesi di regolarit`a sul dominio D al fine di

avere teoremi di esistenza ed unicit`a .

(2) Si possono considerare casi in cui D non `e limitato e sono assegnate condizioni iniziali. In

questo caso le condizioni al contorno, che sono importanti per i teoremi di esistenza ed

uni-cit`a sono, in generale, rimpiazzate da condizioni sull’andamento all’infinito spaziale (cio`e per

|x| → +∞ a t fissato) per il campo ϕ incognito. Nel caso in cui D = R e (α, β) = R, per

l’equa-zione di D’Alembert non `e necessario fissare alcun dato al contorno, come vedremo pi`u avanti,

per avere un teorema di esistenza ed unicit`a .

(3) Esaminando il significato delle condizioni al contorno nel caso di una corda orizzontale, di

lunghezza fissata, vibrante trasversalmente (dove quindi ϕ(t, x) = y(t, x)) si traggono le seguenti

conclusioni. Nel caso di condizioni al contorno di tipo (i) la funzione ψ (che in tal caso misura

la deformazione trasversale della corda) definita sul bordo S si riduce ad una coppia di funzioni

u = u(t) e v = v(t), definite sui due estremi della corda, che stabiliscono come oscilla la corda

ai suoi estremi al variare del tempo. Le condizioni al contorno di tipo (ii), per la corda vibrante

corrispondono a fissare l’andamento temporale della componente verticale della forza che agisce

sulla corda agli estremi. Infatti, se τ `e il modulo costante della tensione della corda e si lavora

in regime di piccole deformazioni trasversali come abbiamo fatto nella sezione 5.1.1, allora τ

^∂ϕ_∂x

valutata agli estremi, non `e altro che la componente trasversale (cio`e verticale se la corda `e tesa

in orizzontale lungo l’asse x) della tensione che agisce sulla corda. Pi`u precisamente, τ

^∂ϕ_∂x

valu-tata all’estremo destro `e la componente verticale della forza che agisce su tale estremo applicata

dall’esterno, mentre τ

^∂ϕ_∂x

valutata all’estremo sinistro `e, con il segno cambiato, la componente

verticale della forza che agisce su tale estremo applicata dall’esterno.

Le condizioni al contorno di tipo (iii) corrispondono a fissare una relazione (che dipende dal

tempo) tra ciascuna forza che agisce ad ogni estremo e la deformazione della corda nello stesso

estremo.

Nel documento Fondamenti di FISICA MATEMATICA II: Introduzione alla Teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali del Secondo Ordine (pagine 123-129)