Membrana rettangolare e membrana circolare

Prendiamo ora in considerazione due situazioni bidimensionali nelle quali possiamo esemplificare

la teoria precedentemente sviluppata: l’equazione di D’Alembert per le deformazioni trasversali

di una membrana, piana a riposo, rettangolare o circolare, imponendo l’annullarsi della

deforma-zione sul bordo di essa. Dal punto di vista fisico queste due membrane possono pensarsi come

le membrane di tamburi. Diamo esplicitamente la forma delle autofunzioni, degli autovalori

dell’operatore di Laplace e delle frequenze di risonanza.

Membrana rettangolare.

Nel caso della membrana rettangolare, di lati L

1

e L

2

, autofunzioni dell’operatore di Laplace

sono date dalle funzioni con norma unitaria:

φ

n,m

(x, y) = √ ¹

4L

1

L

2

sin^{Å nπx}

L

1

ã

sin^{Å mπy}

L

2

ã

l’autovalore corrispondente `e:

λ

n,m

= −ñÅ nπ

L

₁

ã

2

+^{Å mπ}

L

₂

ã

2

ô

, n, m = 1, 2, 3, . . .

La verifica di tali fatti `e immediata tenendo conto del fatto che:

∆ = ^∂

2

∂x

2

+ ^∂

2

∂y

2

.

Si pu`o provare che questa classe di autofunzioni determina una base hilbertiana dello spazio

di Hilbert L

²

([0, L

₁

] × [0, L

₂

], dxdy). Dalla teoria spettrale [Mo18], il fatto che le autofunzioni

trovate formino una base hilbertiana implica automaticamente che non ci possono essere altri

autovalori del laplaciano (con le condizioni al bordo dette) oltre a quelli menzionati sopra.

Le frequenze di risonanza per piccole deformazioni di una membrana rettangolare di lati L

₁

e

L

2

sono dunque date da:

ν

_n,m

= ^v

2π

 

Å nπ

L

1

ã

2

+^{Å mπ}

L

2

ã

2

, n, m = 1, 2, 3, . . . (7.26)

Membrana circolare.

Passiamo a considerare il caso di una mambrana circolare di raggio r

0

> 0. In questo caso

conviene lavorare in coordinate polari piane θ, r centrate nel centro della memebrana. In queste

coordinate l’operatore di Laplace si scrive:

∆ = ¹

r

2

∂

²

∂θ

2

+¹

r

∂

∂r^r

∂

∂r ^{. (7.27)}

Vista la simmetria del sistema, conviene provare a cercare autofunzioni della forma semplificata:

φ(θ, r) = Θ(θ)R(r), dove la funzione di θ deve “chiudersi” dopo un giro completo, cio`e deve

avere periodo 2π o un multiplo intero di tale numero. L’equazione agli autovalori,

∆φ = λφ ,

si scrive, tenendo conto della (7.27):

R(r)¹

r

2

∂

²

Θ(θ)

∂θ

2

+¹

r^Θ(θ)

∂

∂r^r

∂R(r)

∂r ^{= λΘ(θ)R(r) ,}

da cui, nei punti in cui Θ(θ)R(r) 6= 0:

1

Θ(θ)

∂

²

Θ(θ)

∂θ

2

= λr

²

− ^r

R(r)

∂

∂r^r

∂R(r)

∂r ^.

Dato che il primo membro `e solo funzione di θ mentre il secondo `e solo funzione di r, concludiamo

che deve essere, per qualche costante µ:

1

Θ(θ)

d

²

Θ(θ)

dθ

2

= µ , λr

²

− ^r

R(r)

d

dr^r

dR(r)

dr ^{= µ .}

La prima equazione ammette soluzione:

Θ(θ) = Ce

^√µθ

+ C

⁰

e

^−√µθ

.

Dato che tale funzione deve essere periodica con periodo 2π o un multiplo di esso, concludiamo

che deve essere:

µ = −n

²

, n = 0, 1, 2, . . .

e quindi, possiamo considerare candidati autofunzioni del tipo

φ

^(±)

(θ, r) = e

^±inθ

R

n

(r) , n ∈ N ,

dove la funzione R soddisfa:

λr

²

R

n

(r) − r ^d

dr^r

dR

n

(r)

dr ^{= −n}

2

R

n

(r)

cio`e, portando tutto a destra dell’uguale,

0 = r

²

^d

2

R

n

(r)

dr

2

+ r^dR

ⁿ

^(r)

dr ^{+ (−λr}

2

− n

²

)R

n

(r) .

Ricordando che λ < 0 per la proposizione 7.1 e definendo ρ := ^√−λr, concludiamo che la

funzione f (ρ) := R

_n

(ρ/^√−λ) soddisfa l’equazione di Bessel di ordine n

ρ

²

^d

2

f (ρ)

dρ

2

+ ρ^{df (ρ)}

dρ ^{+ (ρ}

2

− n

²

)f (ρ) = 0 , ρ ∈ R . (7.28)

Le soluzioni di questa equazione sono ben note e sono tutte della forma (A

_n

e B

_n

costanti

arbitrarie complesse):

R

n

(ρ/^√−λ) = f (ρ) = A

_n

J

n

(ρ) + B

n

Y

n

(ρ)

dove J

_n

e Y

_n

, per n = 0, 1, 2, . . . sono le funzioni di Bessel di ordine n di prima e seconda

specie:

J

n

(ρ) := ¹

π

Z

π 0

cos(nτ − ρ sin τ )dτ ,

Figura 7.2: Le prime 3 funzioni di Bessel di primo tipo.

Y

_n

(ρ) := ¹

π

Z

π 0

sin(nτ − ρ sin τ )dτ − ¹

π

Z

+∞ 0

e

nτ

+ (−1)

ⁿ

e

^−nτ

 e

−ρ sinh τ

dτ .

Le funzioni Y

n

sono singolari per ρ = 0 (corrispondente al centro della memebrana) dove

diver-gono (per il secondo integrale nella definizione di Y

_n

), mentre noi cerchiamo funzioni ovunque

regolari perch`e le autofunzioni devono appartenere a D. Le funzioni J

n

sono invece C

^∞

(R) e

analitiche reali dato che sono sviluppabili in serie centrata in ρ = 0:

J

_n

(ρ) =

+∞

X

m=0

(−1)

^m

m!(m + n)!

ρ

2



2m+n

,

e la serie coinverge ovunque in R. Pertanto, tornando nella variabile r ∈ [0, +∞), rimaniamo

con l’opzione

R

n

(r) = A

n

J

n

(r^√−λ) .

Dobbiamo infine imporre che siano soddisfatte le condizioni di annullamento al bordo Θ(θ)R(r

0

) =

0 per le nostre candidate autofunzioni. Dunque, per n = 0, 1, 2, . . . fissato, deve valere:

J

_n

(r

₀

^√−λ) = 0 (7.29)

La funzione J

n

= J

n

(x) ha infiniti zeri non nulli in [0, +∞) (dato che oscilla attorno all’asse

x come un sinusoide smorzato). Indichiamo gli zeri che cadono in (0, +∞) con x

_nm

, dove

m = 1, 2, . . . ed abbiamo scelto la loro numerazione in modo tale che x

_{n m+1}

> x

_{n m}

. Per ogni

n i valori ammissibili di λ non sono arbitrari, ma deve risultare r

0

√

−λ = x

_nm

. In altre parole,

deve essere λ = λ

_n,m

dove

λ

n,m

:= −^{Å x}

^nm

r

0

ã

2

, n = 0, 1, . . . m = 1, 2, . . . . (7.30)

(Si osservi che se accettassimo gli zeri coincidenti con 0 avremmo λ = 0 che sappiamo essre

impossibile, per questo ci interessano solo gli zeri di J

n

che cadono in (0, +∞).) Dato che in

numeri x

_nm

sono noti e tabulati, questa identit`a determina possibili autovalori per il laplaciano

Figura 7.3: Il modo corrispondente alla frequenza di risonanza ν

_1,3

della membrana circolare

vibrante.

con condizioni di annullamento al bordo del disco di raggio r

0

quando si assume che le

autofun-zioni abbiano la forma di prodotto supposta inizialmente. In definitiva un set di autofunautofun-zioni,

con corrispondenti autovalori (7.30), `e quindi dato da

3

:

φ

^(±)_n,m

(θ, r) = C

_nm

J

_n

^Ärp−λ

_n,m

ä

e

^±inθ

, n = 0, 1, . . . m = 1, 2, . . . (7.31)

il valore assoluto di C

_nm

viene fissato imponendo che la norma L

²

dell’autofunzione sia unitaria.

`

E un noto risultato classico che effettivamente l’insieme di autofunzioni trovate, per n = 0, 1, . . .

e m = 1, 2, . . ., sia una base hilbertiana di L

²

(D, dxdy) dove D `e il disco di raggio r

0

. Dalla

teoria spettrale questo fatto implica automaticamente che non ci possono essere altri autovalori

del laplaciano (con le condizioni al bordo dette) oltre a quelli determinati dalla (7.30).

Le frequenze di risonanza di una membrana circolare di raggio r

0

sono dunque date da:

ν

n,m

= ^v

2π

x

nm

r

₀

^{, n = 0, 1, 2, . . . m = 1, 2, . . . (7.32)}

dove x

nm

`e l’m-esimo zero di J

n

in (0, +∞).

Osservazioni 7.5. Le frequenze di risonanza di una corda ad estremi fissati hanno forma

vn/(2L), per cui sono tutte un multiplo intero della frequenza pi`u bassa v/(2L). Per le

mem-brane oscillanti `e invece falso che esista una frequanza di valore minimo di cui tutte le altre

siano multipli interi di essa. Questo fatto, `e ci`o che distingue il suono degli strumenti musicali

a percussione, come i tamburi, da quelli a corde come il pianoforte, l’arpa, la chitarra, gli

stru-menti della famiglia del violino. Gli strustru-menti a fiato hanno comunque un suono con le stesse

caratteristiche di quelli a corde in cui tutte le frequenze di risonanza sono in multiplo intero

della pi`u bassa. I musicisti dicono per illustrare questo fatto che il suono prodotto da alcuni

strumenti a percussione

⁴

, come il tamburo, non `e armonico al contrario di quello prodotto dagli

strumenti a corde ed a fiato che lo `e.

3

Passando in coordinate cartesiane si pu`o verificare direttamente con un calcolo laborioso che le funzioni in esame sono C2 anche in un intorno dell’origine (x, y) = (0, 0), punto in cui le coordinate polari sono singolari.

4

Nel documento Fondamenti di FISICA MATEMATICA II: Introduzione alla Teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali del Secondo Ordine (pagine 193-198)