Un pizzico di topologia algebrica: il gruppo fondamentale e i suoi amici
Corollario 7.6.16. Sia X uno spazio topologico e γ un laccetto in X. Allora γ borda un disco se e solo se
7.8. Automorfismi di rivestimento
Esercizio 7.7.1. Dimostrare che la procedura appena descritta produce un rivestimento di X di grado d.
Esercizio 7.7.2. Trovare un criterio, basato sulle monodromie, che assicuri che il rivestimento ottenuto sia connesso.
Esercizio 7.7.3. Dimostrare che tutti i rivestimenti di grado d di X si ottengono in questo modo. Esempio 7.7.4. A meno di omeomorfismi, l’unico grafo connesso che sia un rivestimento di grado due di `e . (Provare tutte le combinazioni possibili per convincersene).
Esercizio 7.7.5. Trovare tutti i rivestimenti connessi e di grado due, del grafo della Figura 7. Occhio che se anche due rivestimenti sono omeomorfi come spazi topologici, le proiezioni di rivestimento potrebbero essere diverse. (Provare con gli esempi appena discussi).
7.8. Automorfismi di rivestimento
Definizione 7.8.1. Siano p : bX → X e q : bY → Y due rivestimenti. Un morfismo di rivestimenti tra p e q `e una coppia di funzioni continue f : X → Y e bf : bX → bY tali che q ◦ bf = f ◦ p. In altre parole, un morfismo di rivestimenti `e un diagramma commutativo:
b X Yb b f X Y f p q
In altre parole ancora, un morfismo `e il dato di f e di un sollevamento bf di f ◦ p.
Un morfismo si dice isomorfismo se entrambi f e bf sono omeomorfismi. Nel caso in cui X = Y si richiede di solito che f sia l’identit`a.
Definizione 7.8.2. Siano p : X1 → X e q : X2 → X due rivestimenti dello stesso spazio X. Un
isomorfismodi rivestimento `e un omeomorfismo F : X1→ X2tale che q ◦ F = p. In altre parole, un isomorfismo di rivestimenti `e un diagramma commutativo ove F `e un omeomorfismo:
X1 X2
F
X
p q
In altre parole ancora, un isomorfismo `e un sollevamento di p che sia un omeomorfismo.
A meno di isomorfismi, i rivestimenti sono determinati dall’immagine del loro gruppo fonda-mentale.
Teorema 7.8.3. Siano p : (X1, x1) → (X, x0)e q : (X2, x2) → (X, x0)due rivestimenti dello stesso spazio puntato (X, x0). Supponiamo che X1 e X2 siano entrambi connessi e localmente connessi per archi. Allora esiste un isomorfismo f : (X1, x1) → (X2, x2)se solo se p∗(π1(X1, x1)) = q∗(π1(X2, x2)).
170 7. UN PIZZICO DI TOPOLOGIA ALGEBRICA: IL GRUPPO FONDAMENTALE E I SUOI AMICI
DIMOSTRAZIONE. Se f esiste, allora da p = q ◦ f si deduce p∗ = q∗◦ f∗; siccome f `e invertibile p∗◦ f−1
∗ = q∗ e l’uguaglianza richiesta segue. Viceversa se p∗(π1(X1, x1)) = q∗(π1(X2, x2)), allora per il Teorema 7.4.7 p si solleva a una funzione f : (X1, x1) → (X2, x2); similmente q si solleva a una g : (X2, x2) → (X1, x1). Ne segue che p = p ◦ g ◦ f . Dunque g ◦ f `e un sollevamento di p che fissa x1, per cui pu `o solo essere l’identit`a (Lemma 7.4.2). Discorso analogo vale per f ◦ g, ed f risulta essere
l’isomorfismo cercato.
In particolare, se due rivestimenti di uno stesso spazio sono semplicemente connessi e localmente connessi per archi, allora sono isomorfi.
Definizione 7.8.4. Sia X uno spazio localmente connesso per archi. Il rivestimento universale di X `e, se esiste, un rivestimento semplicemente connesso di X. Esso `e unico a meno di isomorfismi e si indica generalmente con
π : eX → X. Esempio 7.8.5. R `e il rivestimento universale di S1. Esempio 7.8.6. R2 `e il rivestimento universale del toro T2.
Esercizio 7.8.7. Dimostrare che R2 `e il rivestimento universale della bottiglia di Klein. Esercizio 7.8.8. Determinare il rivestimento universale del nastro di Moebius.
Esercizio 7.8.9. Sia X la variante della sinusoide topologica chiusa (Esempio 7.4.8) descritta in Figura 8. Si costruiscano, se esistono, due rivestimenti connessi di X, di grado due e non isomorfi.
FIGURA8. L’omino coi baffi: una variante della sinusoide topologica chiusa
Esercizio 7.8.10. Esistono due rivestimenti dell’omino coi baffi (Figura 8) connessi, di grado due e non omeomorfi come spazi topologici? (Si veda l’Esempio 7.7.4).
Esercizio 7.8.11. Si costruiscano due rivestimenti connessi dell’omino coi baffi (Figura 8) di grado tre e non omeomorfi.
Esercizio 7.8.12. Esibire due rivestimenti semplicemente connessi dell’omino coi baffi (Figura 8) non isomorfi n´e omeomorfi tra loro.
Definizione 7.8.13(Il gruppo Aut(π)). Sia π : bX → X un rivestimento. Un automorfismo di π `e un isomorfismo di rivestimento da bX in s´e; in altre parole, un sollevamento di π che sia un omeomorfismo. Il gruppo degli automorfismi di π si chiama spesso gruppo delle trasformazioni deck, o deck tranformations3, e si indica con Aut(π) oppure con Aut( bX → X)o con Aut( bX)(se la proiezione di rivestimento `e chiara dal contesto).
Esempio 7.8.14. Sia X = R e bX = R × Z. La proiezione π(x, n) = x `e chiaramente un rivestimento. La mappa f : bX → bX data da f (x, n) = (x, n + 1) `e un automorfismo di π. Se invece bX = R × N, la mappa f (x, n) = (x, n + 1) `e un sollevamento di π che non `e un omeomorfismo (non `e suriettiva).
7.8. AUTOMORFISMI DI RIVESTIMENTO 171
Per definizione, ogni automorfismo preserva le fibre e quindi Aut(π) agisce su ogni fibra attra-verso permutazioni.
OSSERVAZIONE7.8.15. Sia bX → X un rivestimento, sia x ∈ X e sia bXx la sua fibra. In termini di azioni a destra e a sinistra, il gruppo Aut( bX)agisce a sinistra su Xxmentre l’azione di π1(X, x) attraverso la monodromia `e a destra. Le due azioni sono compatibili nel senso che f (yγ) = (f y)γ per ogni f ∈ Aut( bX)e per ogni γ ∈ π1(X, x). Altrimenti detto f (ψ(γ)(y)) = ψ(γ)(f (y)). Ci `o discende immediatamente dalla definizione di monodromia e di automorfismo di rivestimento.
Teorema 7.8.16. Sia π : bX → Xun rivestimento connesso. Allora l’azione di Aut(π) su ogni fibra `e libe-ra (cio`e nessun automorfismo, eccetto l’identit`a, ha punti fissi). In particolare, ogni automorfismo `e determinato dall’immagine di un sol punto.
DIMOSTRAZIONE. Segue direttamente dal Lemma 7.4.2 (con C = bX, f = π, F ∈ Aut(π) e G = Id). Diamo qui una dimostrazione alternativa, supponendo che bXsia connesso per archi, che a nostro avviso getta maggior luce sulla natura dell’azione di Aut(π) sulle fibre.
Sia f ∈ Aut(π) non banale. Allora esiste y ∈ bXtali che f (y) 6= y. Sia ora x ∈ bXun punto qualsiasi e mostriamo che f (x) 6= x. Siccome bX `e connesso esiste un cammino γ da y a f (y) e un cammino α da ya x. Il cammino π(α−1)π(γ)π(α), che `e un cammino chiuso basato in π(x), si solleva a un cammino che termina in un elemento x1della fibra di x. Per il Teorema 7.5.2 applicato ad α ∈ Ω(X, y, x), x16= x. Per definizione di automorfismo di rivestimento, il sollevamento di π(α−1)π(γ)π(α)che parte da x non `e altro che α−1γf (α)e quindi f (x) = x16= x.
x y γ f (y) x1 π(x) π(y) α f (α) π(α) π(γ) π
Lemma 7.8.17. Sia π : ( bX,xb0) → (X, x0)un rivestimento connesso e localmente connesso per archi. Sia γ ∈ π1(X, x0)e sia bx1 il punto finale del sollevamento di γ che parte dabx0. Allora esiste (ed `e unico) f ∈ Aut(π)tale che f (bx0) =bx1se e solo se γ appartiene al normalizzatore di π∗(π1( bX,xb0))in π1(X, x0).
DIMOSTRAZIONE. Per il Teorema 7.8.3 esiste f ∈ Aut(π) tale che f (xb0) = xb1se e solo se i due gruppi π∗(π1( bX,xb0))e π∗(π1( bX,xb1))coincidono.
Per il Teorema 7.2.9 il coniugio per γ induce un isomorfismo tra π∗(π1( bX,bx0))e π∗(π1( bX,xb1)). Quindi π∗(π1( bX,xb0)) = π∗(π1( bX,xb1))se e solo se γ appartiene al normalizzatore di π∗(π1( bX,bx0)).
L’unicit`a di f discende dal Teorema 7.8.16.
Definizione 7.8.18. Un rivestimento π : bX → X si dice normale o regolare se il gruppo Aut(π) agisce transitivamente sulle fibre, cio`e se per ogni x ∈ X e per ogni y, z ∈ Xxesiste f ∈ Aut(π) tale che f (y) = z.
Esempio 7.8.19. Il rivestimento S2 → RP2 `e normale. L’antipodale `e infatti un automorfismo di rivestimento che permuta gli elementi delle fibre.
Teorema 7.8.20. Sia π : ( bX,xb0) → (X, x0)un rivestimento connesso e localmente connesso per archi. Allora esso `e normale se e solo se π∗(π1( bX,xb0))`e un sottogruppo normale di π1(X, x0).
DIMOSTRAZIONE. Siabx ∈ π−1(x0). Siccome bX `e connesso, esiste un cammino γ da bx0 a bx. Il cammino π(γ) determina un elemento di π1(X, x0)e per sollevamento ogni elemento si ottiene in
172 7. UN PIZZICO DI TOPOLOGIA ALGEBRICA: IL GRUPPO FONDAMENTALE E I SUOI AMICI
questo modo. Per il Lemma 7.8.17 esiste f ∈ Aut(π) tale che f (xb0) = bxse e solo se π(γ) `e nel normalizzatore di π∗(π1( bX,bx0)). Quindi Aut(π) agisce transitivamente sulla fibra di x0se e solo se il normalizzatore di π∗(π1( bX,bx0))`e tutto π1(X, x0), cio`e se π∗(π1( bX,xb0))`e normale in π1(X, x0). (Si noti che, per il Teorema 7.2.9, se π∗(π1( bX,xb0))`e un sottogruppo normale di π1(X, x0), ci `o rimane vero
anche se si cambia punto base).
Esempio 7.8.21. Se X `e connesso e localmente connesso per archi e π1(X)`e abeliano allora ogni rivestimento `e normale perch´e ogni sottogruppo di un gruppo abeliano `e normale.
Esempio 7.8.22. Il rivestimento universale `e normale perch´e il sottogruppo banale `e normale. Per il Lemma 7.8.17 se bX`e connesso e localmente connesso per archi, e se ( bX,bx0) → (X, x0)`e nor-male, allora la (anti)-rappresentazione di monodromia della fibra di x0induce una rappresentazione suriettiva, talvolta detta monodromia deck4o semplicemente monodromia (se non v’`e possibilit`a di confusione con la monodromia vera e propria)
ρ : π1(X, x0) → Aut( bX).
Per evitare equivoci si usa spesso la dicitura “π1(X)agisce su bXvia trasformazioni deck”, intendendo che l’azione `e data dalla rappresentazione di monodromia deck.
OSSERVAZIONE7.8.23. Anche se si tendono ad omettere i punti base, essendo definita attraverso il Lemma 7.8.17, la monodromia deck ρ : π1(X, x0) → Aut( bX)dipende dalla scelta di un punto base b
x0. Quando ci sar`a bisogno di specificare useremo la notazione ρxb0.
OSSERVAZIONE7.8.24. La rappresentazione di monodromia deck ρ : π1(X, x0) → Aut( bX)`e una rappresentazione vera e propria, cio`e non inverte la moltiplicazione destra con la sinistra, come invece fa la (anti)-rappresentazione di monodromia sulle fibre ψ : π1(X, x0) → Aut( bX0). In particolare, se il gruppo fondamentale non `e abeliano, l’elemento ψ(γ) ∈ Aut( bX0)non coincide con la restrizione di ρ(γ) ∈ Aut( bX)sulla fibra di x0. (Coincidono solo subx0.)
Siano infatti γ e η sono due laccetti in x0e siabx0∈ bXx0 il punto base scelto per definire ρ. Siabγil sollevamento di γ che parte da x0,ηbquello di η e siabγηil sollevamento di γ che parte daη(1).b
b γ(1) = ρ(γ)(xb0) = ψ(γ)(bx0) b x0 b η b x1=η(1) = ρ(η)(b bx0) = ψ(η)(xb0) γbη(1) = ρ(ηγ)(bx0) = ψ(ηγ)(bx0) = ψ(γ)ψ(η)(xb0) b γ b γη= ρ(η)(bγ) Si ha b γ(1) = ρ(γ)(xb0) = ψ(γ)(xb0) b η(1) = ρ(η)(bx0) = ψ(η)(bx0) per cuibγη= ρ(η)(bγ)e ρ(ηγ)(xb0) =bγη(1) = ρ(η)(ρ(γ)(xb0)) ψ(ηγ)(bx0) =bγη(1) = ψ(γ)(ψ(η)(bx0)).
4Si `e scelto questo nome, ma non c’`e una notazione standard per l’azione del gruppo fondamentale via automorfismi deck.
7.8. AUTOMORFISMI DI RIVESTIMENTO 173
In particolare dettobx1=η(1)b ,
ψ(γ)(bx1) =bγη(1) = ρ(η)ρ(γ)(bx0) = ρ(η)ρ(γ)ρ(η)−1ρ(η)(bx0) = ρ(η)ρ(γ)ρ(η)−1(bx1) e in generale ρ(η)ρ(γ)ρ(η)−1(bx1) 6= ρ(γ)(bx1).
OSSERVAZIONE7.8.25. Con le notazioni di qui sopra, se si cambia punto base scegliendobx1 al posto dixb0, avremmo ρxb1(γ) = bγη(1)e l’ultimo calcolo fatto ci dice che la monodromia ρbx1 si ot-tiene da ρbx0 coniugando per ρxb0(η). In particolare, la classe di coniugio della rappresentazione di monodromia deck `e ben definita e non dipende dalle scelte dei punti base.
In generale, se π : bX → Xnon `e normale, la monodromia deck `e definita solo sul normalizzatore di π∗(π1( bX))in π1(X). Essa `e sempre suriettiva se bXconnesso.
In termini di successioni esatte, se bX `e connesso e localmente connesso per archi, abbiamo la seguente successione esatta
0 → K → N → Aut( bρ X) → 0
ove K = ker(ρ) `e il nucleo della rappresentazione di monodromia e N `e il normalizzatore di π∗(π1( bX)) in π1(X). Se inoltre bX → X `e normale, si ha
0 → K → π1(X)→ Aut( bρ X) → 0.
Si noti che il nucleo della monodromia `e formato esattamente dai laccetti che si sollevano in bX, quindi da π1( bX). Dunque tale successione esatta si pu `o leggere come
(3) 0 → π1( bX) → π1(X)→ Aut( bρ X) → 0. Il tutto pu `o essere riassunto come segue.
Teorema 7.8.26. Sia π : ( bX,xb0) → (X, x0)un rivestimento connesso e localmente connesso per archi. Identificando π1( bX,bx0)con π∗(π1( bX,xb0)), sia N (π1( bX,bx0))il suo normalizzatore in π1(X, x0). Allora
Aut(π) =N (π1( bX,xb0)) π1( bX,xb0) . In particolare, se π `e normale allora
Aut(π) = π1(X, x0) π1( bX,xb0). Se π : eX → X `e il rivestimento universale, allora
Aut( eX → X) = π1(X, x0);
e se bX`e normale, indicando con K = π1( bX)il nucleo della rappresentazione di monodromia di bX → X, si ha Aut( bX) = Aut( eX)
π1( bX) =
Aut( eX)
K .
DIMOSTRAZIONE. Per il Lemma 7.8.17, ad ogni γ ∈ N (π1( bX,xb0))possiamo associare un unico elemento ϕ(γ) di Aut(π). La funzione ϕ : N (π1( bX,xb0)) → Aut(π) `e un morfismo di gruppi per il Teorema 7.5.2. Il nucleo di ϕ `e formato precisamente da tutti i laccetti basati in x0che si sollevano a laccetti basati inxb0, cio`e da π∗(π1( bX, x0)).
Corollario 7.8.27. π1(S1) = Z.
DIMOSTRAZIONE. Il rivestimento universale di S1
`e R e la proiezione `e data da π(r) = e2πir. Si verifica facilmente che per ogni f ∈ Aut(π) si ha f (x) = x + f (0). Quindi f `e univocamente determinato da f (0) ∈ π−1
174 7. UN PIZZICO DI TOPOLOGIA ALGEBRICA: IL GRUPPO FONDAMENTALE E I SUOI AMICI
Teorema 7.8.28. Sia π : bX → Xun rivestimento normale connesso. Allora X `e omeomorfo a bX/ Aut(π). In particolare, se bX = eX`e il rivestimento universale, allora
X = eX/π1(X). Ove π1(X)agisce tramite l’identificazione con Aut(π).
DIMOSTRAZIONE. Siccome gli automorfismi preservano le fibre, la proiezione di rivestimento `e costante sulle classe di equivalenza e quindi induce una mappa quoziente f : bX/ Aut(π) → X che `e continua (Teorema 2.2.16). Se bX `e normale allora essa `e biunivoca perch´e l’azione di Aut(π) `e transitiva sulle fibre. Inoltre f `e aperta per i Teoremi 6.5.28 e 7.3.23 e quindi `e un omeomorfismo.