Topologia degli Spazi metrici
Definizione 5.7.5. Il diametro di un sottoinsieme A di uno spazio metrico `e l’esetremo superiore delle distanze tra punti di A
diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.
Teorema 5.7.6(Ascoli-Arzel`a). Siano X uno spazio compatto e Y uno spazio metrico. Sia F una famiglia di funzioni da X a Y equicontinue ed equilimitate, e cio`e tali che:
• Equilimitatezza: esiste un totalmente limitato A ⊆ Y tale che f (X) ⊆ A per ogni f ∈ F ;
• Equicontinutit`a: per ogni ε > 0 per ogni x ∈ X esiste un intorno Uxdi x tale che per ogni f ∈ F il diametro di f (Ux)sia minore di ε.
Allora F `e un insieme totalmente limitato rispetto alla metrica del sup di YX. In particolare, se Y `e completo allora F `e relativamente compatto.
DIMOSTRAZIONE. L’ultima affermazione deriva dal Lemma 5.7.4 e dal Corollario 5.6.15 perch´e se Y `e completo, allora YX `e completo (Teorema 5.4.15.)
Mostriamo ora che per ogni ε > 0 lo spazio F ha un 4ε-reticolo finito. Vista l’arbitrariet`a di ε, ci `o sar`a sufficiente. Sia {yi}i∈I un ε-reticolo finito in A. Per equicontinuit`a, ogni x in X ha un intorno Uxtale che f (Ux)ha diametro al pi `u ε. Il ricoprimento aperto {Ux} ha un sotto ricoprimento finito Ux1, . . . , Uxn. Sia Σ l’insieme delle funzioni da {1, . . . , n} a I. Esso `e chiaramente un insieme finito. Ad ogni funzione f da X in A possiamo associare una (non unica in generale) σ(f ) ∈ Σ tale che
d(f (xi), yσ(f )(i)) < ε per ogni i = 1, . . . , n.
Per ogni funzione σ ∈ Σ scegliamo, se esiste, una funzione fσ∈ F tale che σ(fσ) = σ. L’insieme
{fσ: σ ∈ Σ}
`e un 4ε-reticolo finito in F , con la metrica del sup di YX. Infatti se g ∈ F , per ogni i = 1, . . . , n si ha: d(g(xi), fσ(g)(xi)) ≤ d(g(xi), yσ(g)(i)) + d(yσ(g)(i), fσ(g)(xi)) < 2ε
5.8. ESERCIZI 115 e quindi se x ∈ Uxi d(g(x), fσ(g)(x)) ≤ d(g(x), g(xi)) + d(g(xi), fσ(g)(xi)) + d(fσ(g)(xi), fσ(g)(x)) < ε + 2ε + ε quindi d∞(g, fσ(g)) = sup x∈X d(g(x), fσ(g)(x)) < 4ε. OSSERVAZIONE5.7.7. Si noti che se Y `e completo allora A `e compatto. L’insieme AX delle fun-zioni da X ad A `e dunque compatto per il teorema di Tychonoff. A prima vista potrebbe sembrare quindi che il Teorema di Ascoli-Arzel`a sia una banale conseguenza del teorema di Tychonoff. Ma un prodotto infinito di compatti fornisce il classico esempio di compatto che non `e compatto per suc-cessioni (Esempio 3.4.2). In particolare la metrica della convergenza uniforme su YXnon induce la topologia prodotto (che `e quella della convergenza puntuale). Il teorema di Ascoli-Arzel`a ci dice che la famiglia F `e compatta in YXrispetto alla metrica del sup (ergo compatta per successioni).
OSSERVAZIONE5.7.8. Spesso l’equicontinuit`a si riduce a una stima uniforme (quasi ovunque) sulle derivate prime.
Esempio 5.7.9. Il tappeto di Sierpinski `e connesso per archi.
DIMOSTRAZIONE. Stiamo lavorando in R2Euclideo, che `e completo. Sia S il tappeto di Sierpinski e sia Snl’approssimazione n-esima. Cio`e S0`e un quadrato di lato 1, per formare S1si `e tolto l’interno del quadratino centrale di lato 1/3 e cos`ı via (si veda la figura dell’Esempio 1.1.17).
In particolare, S = ∩Sn. Dati x, y ∈ S, utilizzando solo segmenti orizzontali e verticali, si costrui-sce facilmente un arco αnin Snche unisce x a y e di lunghezza totale al massimo 2. Parametrizziamo αncon [0, 1] a velocit`a costante. Le funzioni αn: [0, 1] → S ⊆ S0sono quindi equicontinue. Esse sono anche equilimitate perch´e S0 `e compatto. Per il Teorema di Ascoli-Arzel`a la chiusura F dell’insieme F = {αn : n ∈ N} `e compatto. Siccome F `e numerabile, F `e separabile. Per il Teorema 3.4.9, F `e compatto per successioni. Esiste quindi una sottosuccessione di αnche converge, per la metrica del sup — che `e quella della convergenza uniforme —, a una funzione α : [0, 1] → S0. Per continuit`a α `e un arco continuo da x a y tale che α(t) ∈ Snper ogni n, ergo α(t) ∈ S. Lo stesso ragionamento funziona anche per mostrare la locale connessione per archi e vale anche per la guarnizione di Sierpinski.
5.8. Esercizi
Esercizio 5.8.1. Sia (X, d) uno spazio metrico. Dimostrare che per ogni x ∈ X e per ogni r > 0, la palla chiusa D(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} `e un chiuso.
Esercizio 5.8.2. Dare un esempio di spazio metrico non discreto in cui esistono palle aperte B(x, r) la cui chiusura non coincide col disco D(x, r).
Esercizio 5.8.3. Dare un esempio di spazio metrico non discreto X tale che esista x ∈ X e r > 0 per cui B(x, r) = B(x, r) 6= D(x, r).
Esercizio 5.8.4. Dare un esempio di spazio metrico non discreto X tale che esista x ∈ X e r > 0 per cui B(x, r) 6= B(x, r) 6= D(x, r).
Esercizio 5.8.5. Dare un esempio di spazio metrico non discreto X tale che esista x ∈ X e r > 0 per cui B(x, r) = B(x, r) = D(x, r).
Esercizio 5.8.6. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia x ∈ X. Dimostrare che la funzione f (y) = d(x, y)`e continua.
116 5. TOPOLOGIA DEGLI SPAZI METRICI
Esercizio 5.8.7. Sia X = [0, 1] e sia d(x, y) = p|x − y|. Verificare che d `e una distanza. Verificare che induce la stessa topologia della metrica Euclidea.
Esercizio 5.8.8. Sia δ(x, y) =
0 x = y
1 x 6= y la distanza 0/1 su R (dimostrare che δ `e una distanza) e sia
d((x, y), (a, b)) = |y − b| + δ(x, a).
Dimostrare che d `e una distanza su R2. Descrivere le palle aperte di centro (0, 0) e raggi 1/2, 1, 2 e la palla chiusa di centro (0, 0) e raggio 1. Dimostrare che d non `e equivalente alla topologia Euclidea. Qual `e la topologia indotta da d?
Esercizio 5.8.9. Dimostrare che la topologia dell’ordine lessicografico di R2 `e metrizzabile. Esercizio 5.8.10. Dimostrare che per 1 ≤ p, q < ∞ gli spazi lpsono tutti omeomorfi tra loro. (Usare la corrispondenza (xi) → (x
p q
i ); serviranno un po’ di disuguaglianze tipo convessit`a e di Holder.) Esercizio 5.8.11. Trovare funzioni f : R → [0, ∞) e θ : R → R tali che la spirale f (x)eiθ(x)abbia lunghezza finita. Trovare funzioni f e θ tali che la spirale f eiθabbia lunghezza infinita.
Esercizio 5.8.12. Dimostrare che ogni aperto di R `e unione disgiunta di intervalli aperti. Esercizio 5.8.13. Esibire un aperto di R2che non sia unione disgiunta di palle aperte.
Esercizio 5.8.14. Si dica se la successione xn= ein`e di Cauchy in C. E la successione yn= ein/n? Esercizio 5.8.15. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia (xn)una successione di Cauchy. Si dimostri che d(xn, xn+1) → 0.
Esercizio 5.8.16. Si dia un esempio di uno spazio metrico (X, d) che contiene una successione (xn) che non sia di Cauchy ma tale che d(xn, xn+1) → 0.
Esercizio 5.8.17. Siano K, C sottoinsiemi disgiunti di uno spazio metrico (X, d), tali che K sia com-patto e C chiuso. Dimostrare che la distanza tra K e C, definita come inf
k∈K,c∈Cd(k, c), `e strettamente positiva.
Esercizio 5.8.18. Dimostrare che R2con la metrica dei raggi `e completo.
Esercizio 5.8.19. Trovare i completamenti metrici di R con le metriche degli Esempi 5.5.11 e 5.5.12, senza usare i teoremi sui sottoinsiemi di spazi completi, ma usando direttamente la costruzione delle successioni di Cauchy.
Esercizio 5.8.20. Sia (X, d) uno spazio metrico compatto e sia δ la metrica dei cammini su X. Dimostrare che per ogni x, y ∈ X tali che δ(x, y) < ∞ esiste un cammino γ da x a y la cui lunghezza realizza δ.
Esercizio 5.8.21. Dimostrare che uno spazio metrico compatto `e separabile, senza usare la com-pattezza per successioni.
Esercizio 5.8.22. Dimostrare che uno spazio metrico compatto `e a base numerabile.
Esercizio 5.8.23. Dimostrare che uno spazio compatto T2 `e metrizzabile se e solo se `e a base numerabile.
Esercizio 5.8.24. Sia X = {a, b, c, d}. Si dimostri che τ = {∅, X, {a, b}, {c, d}} `e regolare non T2. Esercizio 5.8.25. Sia X un insieme con almeno due punti. Sia τ la topologia banale e σ quella discreta. Si dimostri che τ × σ `e regolare ma non T2.
5.8. ESERCIZI 117
Esercizio 5.8.26. Si dimostri che Z con la topologia delle successioni aritmetiche (Esempio 1.2.5) `e metrizzabile. (Suggerimento: si usi il Teorema di Uryshon 5.2.10.)
Esercizio 5.8.27. Si dia un esempio di spazio topologico X non metrizzabile ma tale che ogni sottoinsieme A ⊂ X, con A 6= X, sia metrizzabile.
Esercizio 5.8.28. Si dia un esempio di spazio T2non metrizzabile, ma con un denso metrizzabile. Esercizio 5.8.29. Sia X uno spazio T3e sia A ⊆ X un chiuso. Dimostrare che X/A `e T2.
Esercizio 5.8.30. Sia X uno spazio metrico e A ⊆ X un chiuso. Dimostrare che X/A `e T2.
Esercizio 5.8.31. Sia X uno spazio metrico. Dimostrare che se ogni funzione continua f : X → R `e limitata, allora X `e compatto.
Esercizio 5.8.32. Si dia un esempio di uno spazio X con due metriche d, δ che inducono la stessa topologia, ma tali che d sia completa e δ no.
Esercizio 5.8.33. Dimostrare che il prodotto numerabile di spazi metrici `e metrizzabile.
Esercizio 5.8.34. Dimostrare che uno spazio metrico non separabile non `e compatto per successio-ni.
Esercizio 5.8.35. Si dimostri che ω1non `e metrizzabile.
Esercizio 5.8.36. Sia R con la topologia discreta e sia X la sua compattificazione di Alexandroff. Dimostrare che X `e compatto, T2, ma non metrizzabile.
CAPITOLO 6