Se X ammette rivestimento universale allora Φ `e biunivoca

Dividiamo la dimostrazione in due lemmi, dimostrando prima la suriettivit`a e poi l’iniettivit`a.

Lemma 7.10.13(Costruzione del ρ-rivestimento). Φ `e suriettiva.

DIMOSTRAZIONE. Sia π : ( eX,_ex₀) → (X, x₀)il rivestimento universale e sia ρ : π1(X, x₀) → G una rappresentazione qualsiasi. Sappiamo che Aut( eX) = π1(X, x0)(Teorema 7.8.26) quindi per ogni γ ∈ π₁(X, x₀)e per ogni x ∈ eX `e chiaro cosa sia γx. Dotiamo G della topologia discreta. Come in Figura 10, su eX × Gfacciamo agire π1(X, x0)tramite

γ(x, g) = (γx, gρ(γ⁻¹)). Ci `o rende eX × Gun π1(X, x0)-spazio. Sia

b

Xρ= ( eX × G)/π1(X, x0)

il quoziente (che potrebbe essere anche sconnesso, per esempio se ρ `e la rappresentazione banale) ove scegliamo_bx0= [(_ex0, 1)]come punto base.

180 7. UN PIZZICO DI TOPOLOGIA ALGEBRICA: IL GRUPPO FONDAMENTALE E I SUOI AMICI G e X (x, g) (γx, g) (γx, gρ(γ−1)) [(x, g)] [(γx, g)] b X_ρ

FIGURA10. Costruzione di bX_ρ. I segmentini neri rappresentano aperti banalizzanti per eX → X.

Su bXρfacciamo agire G tramite

g[(x, h)] = [(x, gh)].

Vediamo com’`e fatta quest’azione. [(x, h)] e [(y, g)] stanno nella stessa G-orbita se e solo se ∃α ∈ G tale che [(y, g)] = α[(x, h)] = [(x, αh)]

se e solo se

∃α ∈ G, ∃γ ∈ π1(X, x0) tali che (y, g) = γ(x, αh) = (γx, αhρ(γ⁻¹)) il che, ponendo α = gρ(γ)h⁻¹equivale a chiedere che

∃γ ∈ π1(X, x0) tale che y = γx.

Quindi bXρ/G = X, la proiezione `e data da p([(x, g)]) = π(x) e se U `e un aperto banalizzante per π allora lo `e anche per p, che risulta quindi un G-rivestimento. La monodromia agisce semplicemente per

monodr(γ)(_bx₀) =monodr(γ)[(x0, 1)] = [(γx₀, 1)] ma

[(γx0, 1)] = [γ(x0, 1ρ(γ))] = [(x0, ρ(γ))] = ρ(γ)[(x0, 1)]

e quindi la monodromia `e proprio ρ. 

Lemma 7.10.14. Φ `e iniettiva.

DIMOSTRAZIONE. Sia (Y, y0) → (X, x₀)un G-rivestimento con monodromia ρ. Basta far vedere che esso `e isomorfo a ( bXρ,x<sub>b</sub>0). Per ognix ∈ e<sub>e</sub> X, siaα<sub>e</sub>un cammino da<sub>e</sub>x0a<sub>e</sub>x, sia α la sua proiezione su X e sia αY il suo sollevamento in Y che parte da y0. Poniamo f (<sub>e</sub>x) = α<sub>Y</sub>(1). Si noti che f : eX → Y `e il rivestimento universale della componente di Y che contiene y0. Usando la f , si definisce una funzione F : eX × G → Y ponendo

F (_ex, g) = gf (_ex)

(G agisce su Y perch´e Y `e un G-rivestimento di X). La funzione F `e costante sulle orbite dell’azione di π1(X, x₀). Infatti per definizione di monodromia, se γ ∈ π1(X, x₀), si ha γY(1) = ρ(γ)(y₀)e quindi f (γ_ex0) = ρ(γ)f (x_e0), da cui f (γx) = ρ(γ)f (_e x)_e per ognix_ee dunque

7.11. IL TEOREMA DI VAN KAMPEN 181

Per il Teorema 2.2.16 F discende a una funzione continua F : bXρ→ Y . In oltre, dalla definizione di f , si vede che F `e una G-mappa e che `e un rivestimento, in particolare `e aperta. Per ogni y ∈ Y sia x = [y] ∈ X = Y /G e siax ∈ e<sub>e</sub> X un suo sollevamento. Per costruzione f (<sub>e</sub>x) e y stanno nella stessa fibra Yx. Esiste quindi g ∈ G tale che y = gf (x) = F [(<sub>e e</sub>x, g)]. Dunque F `e suriettiva. Se F [(x, g)] = F [(_{e e}x1, g1)]allora f (_ex)e f (x_e1)stanno nella stessa G-orbita, da cui segue che_exex_e1stanno nella stessa π1(X, x0)-orbita et ergo (come abbiamo visto nella dimostrazione del Lemma 7.10.13) [(_ex, g)]e [(x_e1, g1)]stanno nella stessa G-orbita.

Per il Lemma 7.10.9 F `e biunivoca sulle G-orbite e dunque `e biunivoca globalmente. Quindi `e un

omeomorfismo, ergo un G-isomorfismo. 

7.11. Il teorema di Van Kampen

Uno degli strumenti principali che si hanno per calcolare il gruppo fondamentale a mano `e il celeberrimo Teorema di Van Kampen. Daremo un paio di dimostrazioni, quella classica che `e generale ma richiede dettagli assai tediosi (lasciati con affetto al lettore volenteroso) e una “alla Grothendieck” che usa la teoria dei G-spazi, pi `u concisa, ma che vale solo per spazi che possiedono il rivestimento universale.

Prima di enunciare e dimostrare il teorema, richiamiamo (senza dimostrazioni) alcuni fatti sui prodotti amalgamati.

Siano A, B, C gruppi e siano f : C → A, g : C → B morfismi di gruppi. Sia A ∗ B il prodotto libero di A e B e sia K il sottogruppo normale di A ∗ B generato dagli elementi del tipo f (c)g(c⁻¹), al variare di c ∈ C. Il prodotto amalgamato A ∗CB `e il quoziente (A ∗ B)/K.

Se A, B sono sottogruppi di un gruppo G e C `e un sottogruppo comune, se non altrimenti specificato le funzioni f, g sono le inclusioni di C in A e B rispettivamente.

Se A = hGA|RAi, B = hGB|RBi, C = hGC|RCi sono dati in termini di generatori e relazioni di equivalenza, allora A ∗CB = hGA, GB|RA, RB, Riove R `e l’insieme delle relazioni f (c) = g(c) al variare di c ∈ GC.

Il prodotto amalgamato si pu `o caratterizzare anche attraverso la sua propriet`a universale (vedasi il diagramma in figura 11) come segue. Dati A, B, C come sopra, a meno di isomorfismi, esiste un unico gruppo H con morfismi jA: A → H, jB: B → Htali che jA◦ f = jB◦ g, tale che per ogni altro gruppo G e morfismi fA: A → Ge fB : B → Gtali che fA◦ f = fB◦ g, esista un unico F : H → G tale che fA= F ◦ jAe fB = F ◦ jB. Tale gruppo H `e il prodotto amalgamato.

C A B A ∗CB G fA fB F f j_A jB g

FIGURA11. La propriet`a universale del prodotto amalgamato

Teorema 7.11.1 (Van Kampen). Sia X uno spazio topologico localmente connesso per archi e siano A, B ⊆ Xtali che

• A, B sono aperti e connessi; • A ∪ B = X;

182 7. UN PIZZICO DI TOPOLOGIA ALGEBRICA: IL GRUPPO FONDAMENTALE E I SUOI AMICI

Sia x0∈ A∩B e siano iA: π1(A∩B, x0) → π1(A, x0), iB: π1(A∩B, x0) → π1(B, x0)le inclusioni naturali. Allora il gruppo fondamentale di X `e il prodotto amalgamato di π1(A, x0)e π1(B, x0)lungo π1(A ∩ B, x0):

π1(X, x0) = π1(A, x0) ∗π₁(A∩B,x₀)π1(B, x0).

In altre parole, il gruppo fondamentale di X pu`o essere calcolato quozientando il prodotto libero π1(A, x₀) ∗ π₁(B, x₀)per la relazione d’equivalenza generata da iA(γ) = i_B(γ)al variare di γ ∈ π1(A ∩ B, x₀).

In termini di generatori/relazioni, se π1(A, x0) = hGA|RAi, π1(B, x0) = hGB, RBi, π1(A∩B, x0) = hGC|RCi e R = {iA(γ)iB(γ)⁻¹ : γ ∈ GC}, allora

π1(X, x0) = hGA∪ GB|RA∪ RB∪ Ri.

Un enunciato equivalente si pu `o dare tramite la propriet`a universale. Se jA: π1(A, x0) → π1(X, x0) e jB : π₁(B, x₀) → π₁(X, x₀)sono le inclusioni naturali, il teorema di Van Kampen si pu `o enunciare dicendo che π1(X, x<sub>0</sub>)gode della propriet`a universale del prodotto amalgamato, ossia che vale jA◦ i_A= j_B◦ i_Be che per ogni gruppo G tale che esistano morfismi fA: π₁(A, x₀) → Ge fB: π₁(B, x₀) → Gcon fA◦i_A= f_B◦i_B, esiste unico morfismo di gruppi F : π1(X, x₀) → Gtale che fA= F ◦j_Ae fB = F ◦ j_B(si veda la Figura 12). Siccome tale propriet`a universale caratterizza il prodotto amalgamato a

π₁(A ∩ B, x₀) π1(A, x0) π₁(B, x₀) π₁(X, x₀) _G fA f_B F i_A jA jB iB

FIGURA12. La propriet`a universale del gruppo fondamentale

meno di isomorfimsi, dire che π1(X, x0)gode della propriet`a universale equivale a dire che `e isomorfo al prodotto amalgamato π1(A, x0) ∗_{π1(A∩B,x0)}π1(B, x0).

DIMOSTRAZIONE CLASSICA. Le inclusioni jA, jBdefiniscono naturalmente un morfismo ϕ : π1(A, x0) ∗ π1(B, x0) → π1(X, x0).

Si deve far vedere che ϕ `e suriettivo e che il suo nucleo coincide con K = {iA(γ)i<sub>B</sub>(γ)−1 : γ ∈ π<sub>1</sub>(A ∩ B, x<sub>0</sub>)}. Sia γ : [0, 1] → X un laccetto basato in x0. In [0, 1] consideriamo le componenti connesse di γ<sup>−1</sup>(A)e quelle di γ<sup>−1</sup>(B). Esse forniscono un ricoprimento aperto ([0, 1] `e localmente connesso per archi). Per compattezza se ne estrae un sottoricoprimento finito. Da ci `o si ricava una partizione

0 = t0< t1< ... < tk= 1

tale che γ([ti, t_i+1]) `e interamente contenuto o in A o in B e ti ∈ A ∩ B. Essendo A ∩ B connesso (e localmente connesso per archi) per ogni tiesiste un cammino ηida x0 a γ(ti). Per cui γ si esprime come prodotto dei cammini

η_i+1⁻¹γ|_ti,ti+1η_i

che sono laccetti in basati in x0e interamente contenuti in A o B. Ci `o dimostra la suriettivit`a di ϕ. Passiamo al nucleo di ϕ. Esso contiene evidentemente tutti gli elementi di K, si deve far vedere che non c’`e altro. Lo si pu `o fare a mano, prendendo un elemento del nucleo di ϕ e suddividendolo accuratamente come prodotto di cammini omotopi a elementi di K. Per mettere a posto i dettagli di questa dimostrazione ci vogliono due-tre pagine di conti, che lasciamo volentieri al lettore (e che

7.11. IL TEOREMA DI VAN KAMPEN 183

si possono trovare in un qualsiasi libro di topologia algebrica, per esempio in quello famosissimo di

Hatcher “Algebraic Topology”). 

DIMOSTRAZIONE ALLAGROTHENDIECK. Useremo principalmente il Teorema 7.10.12 per dimo-strare la propriet`a universale del gruppo fondamentale. Siano G, fA, fB come in Figura 12. Per il Teorema 7.10.12 esistono unici (a meno di isomorfismo) G-rivestimenti di A e B con monodromie f<sub>A</sub> e fB rispettivamente. Il seguente Lemma 7.11.2 di incollamento ci fornir`a un unico (a meno di isomorfismi) G-rivestimento di X che si ottiene incollando i due rivestimenti di cui sopra, per il Teo-rema 7.10.12 tale rivestimento determina una rappresentazione di monodromia, che `e il morfismo F richiesto, unico perch´e in tutta la costruzione i rivestimenti usati sono unici. 

Lemma 7.11.2 (Di incollamento di rivestimenti). Sia X uno spazio topologico e supponiamo X = A ∪ Bcon A, B aperti. Siano πA : bA → Ae πB : bB → Brivestimenti tali che esista un isomorfismo, come rivestimenti di A ∩ B,

ϕ : π⁻¹_A (A ∩ B) → π_B⁻¹(A ∩ B).

Allora esiste, unico a meno di isomorfismi, un rivestimento π : bX → X e due isomorfismi di rivestimento ψA: π⁻¹(A) → bA ψB: π⁻¹(B) → bB

tali che su π⁻¹_A (A ∩ B)si abbia

ψ_B◦ ψ_A⁻¹= ϕ.

Inoltre, se i rivestimenti di partenza sono rivestimenti e ϕ `e un isomorfismo, allora anche π `e un G-rivestimento e ψAe ψBsono G-isomorfismi.

DIMOSTRAZIONE. Lo spazio X `e ottenuto dall’unione disgiunta di A e B incollando tra loro i punti di A ∩ B. Ripetendo tale operazione sulle preimmagini di aperti banalizzanti si costruisce bX. Pi `u precisamente, bX `e lo spazio ottenuto come quoziente dall’unione disgiunta bA t bB incollando b

a ∈ π⁻¹_A (A ∩ B)con ϕ(_ba). Siccome ϕ `e un isomorfismo di rivestimenti si ha che bX `e un rivestimento di Xcon proiezione π(x) = πA(x)se x ∈ bAe π(x) = πB(x)se x ∈ bB. Gli isomorfismi ψ⁻¹_A e ψ⁻¹_B sono le restrizioni, a bAe bBrispettivamente, della proiezione bA t bB → ( bA t bB)/ ∼= bX. Se tutti i rivestimenti sono G-rivestimenti e l’isomorfismo ϕ `e un G-isomorfismo, l’azione di G `e ben definita su bXe ψAe ψ_Bsono G-isomorfismi.

Vediamo infine l’unicit`a di bX. Sia p : Y → X `e un altro rivestimento tale che esistano isomorfismi ξ_A : p⁻¹(A) → bA e ξB : p⁻¹(B) → bB tali che su π⁻¹_A (A ∩ B)si abbia ξB ◦ ξ_A⁻¹ = ϕ. La funzione F : bX → Y data da F (x) =    ξ_A⁻¹◦ ψA(x) x ∈ π⁻¹(A) ξ_B⁻¹◦ ψB(x) x ∈ π⁻¹(B) `e un isomorfismo di (G-)rivestimenti