Uno spazio topologico si dice semplicemente connesso se `e connesso per archi e il suo gruppo fondamentale `e banale

Un pizzico di topologia algebrica: il gruppo fondamentale e i suoi amici

Definizione 7.2.11. Uno spazio topologico si dice semplicemente connesso se `e connesso per archi e il suo gruppo fondamentale `e banale

Esempio 7.2.12. Un punto `e semplicemente connesso.

Definizione 7.2.13. Siano X, Y spazi topologici e sia f : X → Y una funzione continua. Sia x0∈ X e sia y0= f (x0). Si definisce

f∗: π1(X, x0) → π1(Y, y0) come f∗(α) = f ◦ α.

Si noti che la definizione è ben posta perché se F è un’omotopia tra α e β allora f ◦F è un’omotopia tra f ◦ α e f ◦ β. Inoltre, è immediato verificare che f∗ è un morfismo di gruppi, cioè che f∗(αβ) = f_∗(α)f_∗(β)e f∗(α−1) = (f_∗(α))−1.

Lemma 7.2.14. Se f : X → Y e g : Y → Z sono funzioni continue, allora (g ◦ f )∗= g∗◦ f∗.

DIMOSTRAZIONE. (g ◦ f )∗(α) = g ◦ f ◦ α = g_∗(f_∗(α)).

Teorema 7.2.15. Siano f, g : X → Y due funzioni continue tra spazi topologici. Supponiamo che esista

un’ompotopia F tra f e g. Sia x0∈ X e sia γ : [0, 1] → Y dato da γ(s) = F (x0, s). Allora, se ϕγ `e come nel Teorema 7.2.9

g_∗= ϕ_γ◦ f_∗.

In altre parole f e g inducono lo stesso morfismo tra i gruppi fondamentali, a meno di isomorfismi. (Si noti che se l’omotopia `e relativa a x0allora f∗= g_∗.)

DIMOSTRAZIONE. Per ogni α ∈ π1(X, x0), la composizione F ◦ α `e un’omotopia, a priori senza estremi fissi, tra f∗(α)e g∗(α)(Figura 3). Si tratta quindi di sistemare i punti base. Il laccetto ϕγ(f∗(α))

X x₀ α F (α(t), s) Y f (x0) f (α) g(x0) g(α) γ F (α, s)

FIGURA3. Visualizzazione del fatto che ϕγ◦ f_∗= g_∗ `e dato da ϕ_γ(f_∗(α))(t) =          F (x0, 1 − 3t) t ∈ [0, 1/3] F (α(3t − 1), 0) t ∈ [1/3, 2/3] F (x0, 3t − 2) t ∈ [2/3, 1]

158 7. UN PIZZICO DI TOPOLOGIA ALGEBRICA: IL GRUPPO FONDAMENTALE E I SUOI AMICI

Per ottenere un’omotopia tra ϕγ(f_∗(α))e g∗(α), basta considerare

G(t, s) =          F (x₀, 1 − 3t(1 − s)) t ∈ [0, 1/3] F (α(3t − 1), s) t ∈ [1/3, 2/3] F (x₀, 3t(1 − s) − 2 + 3s) t ∈ [2/3, 1]

che `e un’omotopia tra ϕγ(f ∗ (α))e un cammino omotopo a g∗(α).

Corollario 7.2.16(Il gruppo fondamentale `e un invariante di omotopia). Se X e Y sono omotopica-mente equivalenti allora hanno lo stesso gruppo fondamentale.

DIMOSTRAZIONE. Se f : X → Y ha g : Y → X come inversa di omotopia, le composizioni g ◦ f e f ◦ g sono omotope all’identità. L’indentità induce un isomorfismo del gruppo fondamentale. Per il Lemma 7.2.14 e il Teorema 7.2.15 sia f∗che g∗sono isomorfismi. In particolare spazi omeomorfi hanno lo stesso gruppo fondamentale (il viceversa non è vero per ò). Come vedremo, ci ò sarà uno strumento molto potente per distinguere spazi diversi tra loro.

Esempio 7.2.17. Gli spazi contraibili sono semplicemente connessi in quanto un punto lo `e. Esempio 7.2.18. Rn `e semplicemente connesso.

Esempio 7.2.19. Il cono su uno spazio X `e sempre semplicemente connesso.

Teorema 7.2.20. Sia X uno spazio topologico, A ⊆ X e a0∈ A. Sia ı : A ,→ X l’inclusione. (1) Se A è un retratto di X, allora ı∗: π1(A, a0) → π1(X, a0)è un morfismo iniettivo. (2) Se inoltre A è retratto di deformazione, allora ı∗è un isomorfismo.

In particolare, X ha lo stesso gruppo fondamentale di ogni suo retratto di deformazione.

DIMOSTRAZIONE. Sia f : X → A una retrazione di X su A. Per definizione f ◦ ı = IdA. Per il Lemma 7.2.14 e il Teorema 7.2.15, f∗◦ ı∗= (IdA)∗= Id_π₁_(A,a₀₎è un isomorfismo e quindi ı∗è iniettiva (e f∗suriettiva). Se inoltre A è un retratto di deformazione, possiamo suppore che esista un’omotopia tra ı ◦ f e l’identità di X. Sempre per il Teorema 7.2.15, ı∗◦ f∗ è un isomorfismo. Quindi ı∗ è anche

suriettiva (e f∗iniettiva) ergo un isomorfismo.

Teorema 7.2.21. Siano X, Y spazi topologici. Allora π1(X × Y, (x0, y0)) = π1(X, x0) × π1(Y, y0). DIMOSTRAZIONE. Denotiamo con fX e fY le proiezioni di X × Y su X e Y rispettivamente (per non far confusione col simbolo π1 usato per i gruppi fondamentali). Siano x0 ∈ X, y0 ∈ Y e p0= (x0, y0) ∈ X × Y i punti base dei gruppi fondamentali. Definiamo le mappe

× : π1(X, x0) × π1(Y, y0) → π1(X × Y, p0) (α × β)(t) = (α(t), β(t)) H : π₁(X × Y, p₀) → π₁(X, x₀) × π₁(Y, y₀) H(γ) = (f_X)_∗(γ), (f_Y)_∗(γ).

Chiaramente H(α × β) = (α, β). Quindi H ◦ × è l’identità di π1(X, x0) × π1(Y, y0). D’altronde ((× ◦ H)(γ))(t) = (fX)_∗(γ)(t), (fY)_∗(γ)(t) = γ(t). Quindi H e × sono una l’inversa dell’altra. Fin’ora abbiamo visto solo esempi di spazi con gruppo fondamentale banale. Possiamo intuire quali possano essere alcuni esempi di spazi con gruppo fondamentale non banale (che dite di S1?) Ma per poter dimostrare che determinati gruppi fondamentali siano effettivamente non banali, la via pi ù naturale è quella di introdurre la controparte del gruppo fondamentale: la teoria dei rivestimenti.

7.3. RIVESTIMENTI 159

7.3. Rivestimenti

Definizione 7.3.1. Sia X uno spazio topologico. Un rivestimento di X `e il dato di uno spazio topologico bX e una funzione continua π : bX → Xtale che ogni x ∈ X abbia un intorno aperto U — detto aperto banalizzante — tale che π⁻¹(U )sia unione disgiunta di aperti non vuoti in bX — detti

placchedi U — tali che la restrizione di π a ognuno di essi sia un omeomorfismo con U .

A volte pu ò succedere che con la parola rivestimento ci si riferisca alla sola proiezione, a volte al solo bX (se la proiezione è sottintesa o non rilevante). Ci si pu ò quindi imbattere in frasi del tipo “sia f un rivestimento” oppure “sia bX un rivestimento di X”. In alcuni testi la proiezione si chiama proiezione di rivestimento.

Esempio 7.3.2. Identificando S1

con R/Z, la proiezione naturale R → S1 `e un rivestimento, che si pu `o visualizzare agevolmente pensando R storto come una molla infinita (Figura 4).

x x + 1 x + 2 R [x] S¹= R/Z FIGURA4. Il rivestimento R → S1

OSSERVAZIONE7.3.3. La definizione di rivestimento è una di quelle che van lette con attenzione. Essa impone che esista un ricoprimento fatto di aperti banalizzanti. Si noti per ò che, affinché U sia un aperto banalizzante, non si richiede solo che π−1(U )sia un unione disgiunta di placche omeomorfe a U, ma anche che la proiezione di rivestimento realizzi l’omeomorfismo.

Inoltre si noti che la richiesta `e che “per ogni x ∈ X esista U intorno di x tale che. . . ”, e non che “per ogni y ∈ bX esista un intorno V tale che la proiezione ristretta a V sia omeomorfismo con π(V )”;

n´eche “la restrizione a ogni componente V di π−1(U )sia un omeomorfismo tra V e π(V )”.

Esempio 7.3.4. Sia X = R e sia bX = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1, x > 0} ∪ {y = 0}. La proiezione π(x, y) = xnon è un rivestimento. Infatti il punto 0 non ha un intorno con le proprietà richieste: Per ogni intorno U dello zero, il pezzo di π⁻¹(U )che giace sul ramo d’iperbole non contiene preimmagini dello zero. In particolare π ristretta a π⁻¹(U ) ∩ {iperbole} non pu ò essere suriettiva e quindi non pu ò essere un omeomorfismo con U .

Si noti tuttavia che:

• ogni punto di bXha un intorno V tale che la restrizione di π a V sia un omeomorfismo tra V e π(V );

• per ogni intervallo aperto U ⊆ R contenente lo zero, π−1(U ) è fatto di due componenti connesse e che la restrizione di π a ognuna di esse è un omeomorfismo con l’immagine. • π−1(−ε, ε)è fatto comunque di due componenti omeomorfe a (−ε, ε), ma la proiezione non

160 7. UN PIZZICO DI TOPOLOGIA ALGEBRICA: IL GRUPPO FONDAMENTALE E I SUOI AMICI

Esempio 7.3.5. Sia X = R e sia bX = R × Z. La proiezione π(x, n) = x è un rivestimento. Esempio 7.3.6. Sia X = R e sia bX = R × R. La proiezione π(x, y) = x non è un rivestimento. Esempio 7.3.7. Sia X la retta con due zeri (Esempio 2.2.10). La proiezione da R × {0, 1} su X non è un rivestimento (i due zeri non hanno la proprietà richiesta).

Esempio 7.3.8. Sia X la retta con due zeri (Esempio 2.2.10). La proiezione di X su R che identifica i due zeri non è un rivestimento (la preimmagine di un intorno dello 0 non è T2quindi non pu ò essere omeomorfa a un sottoinsieme di R).

Esempio 7.3.9. Sia X = R e sia bX = {(x, y) ∈ R² : xy = 1}. La proiezione π(x, y) = x non `e un rivestimento. Infatti il punto 0 non ha un intorno con le propriet`a richieste.

Esempio 7.3.10. Sia X = R e sia bX = {(x, y) ∈ R² : y = x²}. La proiezione π(x, y) = x `e un rivestimento.

Esempio 7.3.11. Sia X = R e sia bX = {(x, y) ∈ R2 : x = y2}. La proiezione π(x, y) = x non è un rivestimento. Infatti il punto 0 non ha un intorno con le proprietà richieste. In questo caso π⁻¹(−ε, ε)è omeomorfo ad un intervallo aperto ma la proiezione π : π⁻¹(−ε, ε) → (−ε, ε)non è iniettiva. Quindi non pu ò essere un omeomorfismo.

Esempio 7.3.12. Sia C = {(x, y, z) ∈ R3: z²= x²+ y²}. La proiezione C → R2data da π(x, y, z) = (x, y)non `e un rivestimento. Infatti l’origine non ha un intorno con le propriet`a richieste.

Esempio 7.3.13. Sia S1

= {z ∈ C, |z| = 1}. La funzione f : S1 → S1 data da f (z) = z2 è un rivestimento di S1su sé stesso. In generale z 7→ zn è un rivestimento di S1su sé stesso.

Esempio 7.3.14. Sia D = {z ∈ C, |z| ≤ 1}. La funzione f : D → D data da f (z) = z2non è un rivestimento. Infatti la restrizione di f a un qualsiasi intorno di zero non è mai iniettiva, dunque non pu ò essere un omeomorfismo. In generale f (z) = znnon è un rivestimento per n ≥ 2.

Esempio 7.3.15. Sia S1

= {z ∈ C, |z| = 1}. La funzione f : R → S1 data da f (x) = eix `e un rivestimento.

Esempio 7.3.16. La proiezione R2→ T2

data dal quoziente per Z2 `e un rivestimento.

Esempio 7.3.17. Sia X ⊆ C un insieme costituito da tre cerchi di raggio unitario e centrati in −2, 0, 2 e sia r(z) = −z la rotazione di 180 gradi. Ci ò determina un’azione di Z/2Z su X. Sia Y il quoziente di X per tale azione. Esso è omeomorfo all’unione di soli due cerchi attaccati per un punto e la pro-iezione π : X → Y è un rivestimento. Quest’ultima pu ò essere realizzata nella vita reale prendendo due anelli di legno (i cerchi laterali) e legandoli con due spaghi di uguale lunghezza (che formeranno il cerchio centrale). A questo punto si sovrappongono i due cerchi di legno e si arrotola due volte su sè stesso il cerchio centrale, in pratica formando un cerchio con ogni spago e poi sovrapponendoli (in questo modo il cerchio centrale dimezza la propria dimensione nell’arrotolamento, ma dal punto di vista della topologia la lunghezza non conta).

Esempio 7.3.18. Sia X ⊆ C un insieme costituito da due cerchi di raggio unitario e centrati in ±1 e sia r(z) = −z la rotazione di 180 gradi. Ci ò determina un’azione di Z/2Z su X. Sia X/ ∼ il quoziente. Esso è omemorfo a S1e la proiezione π : X → X/ ∼ non è un rivestimento. Ci ò si vede bene guardando le componenti connesse di un intorno dell’origine privato dell’origine.

7.3. RIVESTIMENTI 161

Esempio 7.3.19. La proiezione S2

→ RP2data dall’identificazione antipodale `e un rivestimento. Esempio 7.3.20. La proiezione D2

→ RP2data dall’identificazione antipodale al bordo non `e un rivestimento. Infatti se x ∈ ∂D2

e U è un intorno di [x] in RP2, allora π−1(U )non è unione disgiunta di copie di U . La restrizione della proiezione a ∂D2 è invece un rivestimento di π(∂D2

) = RP1' S1. Esempio 7.3.21. Sia X = R2\ {(0, 0)} con la metrica dei raggi. La proiezione su R+ data dalle coordinate polari (r, θ) 7→ r `e un rivestimento.

Esempio 7.3.22. Sia X = R2\ {(0, 0)} con la metrica Euclidea. La proiezione su R+ data dalle coordinate polari (r, θ) 7→ r non `e un rivestimento.

Nel documento TOPOLOGIA StefanoFrancaviglia (pagine 157-161)