reale.
DIMOSTRAZIONE. Siano a, b, c, d quattro punti distinti e sia f l’unica Moebius che manda b, c, d in 1, 0, ∞. Se a, b, c, d stanno su un cerchio o retta, allora per il Teorema 6.9.2 f (a) giace sull’unico cerchio/retta che passa per 1, 0, ∞, cio`e su R. Viceversa, se f (a) `e reale allora a, b, c, d stanno su f−1(R) che, sempre per il Teorema 6.9.2, `e un cerchio o una retta.
Esempio 6.10.6. I punti 0, 2i + 1, 2i, 1 stanno su un cerchio in quanto (0, 2i + 1; 2i, 1) = −4 ∈ R.
6.11. Esercizi
Esercizio 6.11.1. Sia M una variet`a topologia connessa avente un punto di taglio locale. Dimostra-re che la dimensione di M `e uno.
Esercizio 6.11.2. In R2siano X = B((0, 0), 10), Y = B((5, 0), 1), Z = B((−5, 0), 1). Dimostrare che X \ Y non `e omeomorfo a X \ (Y ∪ Z).
Esercizio 6.11.3. In R2sia X = {x2+y2< 1}. Dimostrare che X e X \{(0, 0)} non sono omeomorfi. Esercizio 6.11.4. Sia X = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2 = 1}. Sia Y un toro privato di un punto. Dimostrare che X e Y non sono omeomorfi.
Esercizio 6.11.5. Per ogni n ≥ 3 sia Pn un poligono regolare con n lati inscritto in un cerchio unitario e sia Xnla chiusura della regione compresa tra il cerchio e il poligono. Dimostrare che Xn `e omeomorfo a Xmse e solo se m = n.
Esercizio 6.11.6. Dimostrare che S2 privato di un punto non `e omeomorfo a S2 privato di due punti.
Esercizio 6.11.7. Si dia un esempio di uno spazio X tale che X meno un punto sia omeomorfo a Xmeno due punti.
Esercizio 6.11.8. Dimostrare che R2con la metrica dei raggi ha un punto di taglio. Esercizio 6.11.9. Dimostrare che ogni punto di R2con la metrica dei raggi `e di taglio. Esercizio 6.11.10. Dimostrare che R con la topologia di Zariski non ha punti di taglio. Esercizio 6.11.11. Dimostrare che R con la topologia di Zariski non ha punti di taglio locali. Esercizio 6.11.12. Siano X = {(x, y, z) ∈ R3 : −1 ≤ x ≤ 1}e Y = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2 ≤ 1}. Dimostrare che X e Y non sono omeomorfi.
Esercizio 6.11.13. Sia X = {(x, y, z) ∈ R3 : |xzy| ≤ 1}. Siano A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2 ≤ 1}, B = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ z2≤ 1}, C = {(x, y, z) ∈ R3: z2+ y2≤ 1} e sia Y = A ∪ B ∪ C. Dimostrare che X non `e omeomorfo a Y .
Esercizio 6.11.14. Dimostrare che un cubo e una piramide sono omeomorfi.
Esercizio 6.11.15 (Superficie di genere tre). Dimostrare che questi due spazi sono omeomorfi:
148 6. TOPOLOGIA DAL VIVO
Esercizio 6.11.17. In R2sia X = [−10, 10] × [−10, 10] \ (((−5, −3) × (−1, 1)) ∪ ((3, 5) × (−1, 1))). (Esso `e un quadrato con due buchi quadrati). In R3sia Y = ∂([−1, 1] × [−1, 1]) × [−10, 10]. (Esso `e un cilindro a base quadrata). Su X t Y mettiamo la relazione generata da
(x, 10) ∼ (x, −10) (10, x) ∼ (−10, x) (x, y, −10) ∼ (x − 4, y) (x, y, 10) ∼ (−x + 4, y). Dimostrare che X t Y / ∼ `e una superficie di genere due.
Esercizio 6.11.18. Si provi che la superficie di una tazzina da caff`e classica `e omeomorfa a un toro. Esercizio 6.11.19. Dimostrare che un pallone da rugby e uno da calcio sono omeomorfi.
Esercizio 6.11.20. Dimostrare che R2meno una retta `e omeomorfo a S2meno una circonferenza. Esercizio 6.11.21. Dimostrare che R2
meno una retta e un punto `e omeomorfo a R2 meno una circonferenza.
Esercizio 6.11.22. Dimostrare che R3
meno una retta e un punto `e omeomorfo a R3 meno una circonferenza.
Esercizio 6.11.23. Dimostrare che la bottiglia di Klein `e ottenuta unendo due nastri di Moebius lungo la frontiera.
Esercizio 6.11.24. Sia X lo spazio ottenuto incollando tra loro i lati opposti di un esagono rego-lare mantenendo le orientazioni. Dimostrare che X `e una variet`a topologica. Dimostrare che X `e omeomorfo a un toro.
Esercizio 6.11.25. Sia X lo spazio ottenuto incollando tra loro i lati opposti di un ottagono rego-lare mantenendo le orientazioni. Dimostrare che X `e una variet`a topologica. Dimostrare che X `e omeomorfo a una superficie di genere due.
Esercizio 6.11.26. Sia A un ottagono regolare in R2e sia X lo spazio ottenuto identificando i due lati orizzontali tra loro e i due lati verticali tra loro. Sia B un quadrato privato di un disco aperto e sia Y lo spazio ottenuto identificando i due lati orizzontali tra loro e i due lati verticali tra loro.
@ @ @ @ @ @ > > ∧ ∧ X ∧∧ > > ∧ ∧ ∧∧ Y
Dimostrare che X e Y sono omeomorfi, che sono variet`a a bordo e che sono omeomorfi a un toro a cui `e stato rimosso un disco.
Esercizio 6.11.27. Sia X lo spazio ottenuto da una forma a “L” identificando i lati come in figura:
Dimostrare che X `e omeomorfo a una superficie di genere due.
6.11. ESERCIZI 149
Dimostrare che X `e omeomorfo a una superficie di genere due.
Esercizio 6.11.29. Sia X lo spazio ottenuto da una forma a “L” identificando i lati come in figura:
Convincersi che X non `e omeomorfo a una superficie di genere due (`e una superficie di genere tre). Esercizio 6.11.30. Dimostrare che lo spazio R/Z dell’Esempio 2.2.11 `e un bouquet di infinite copie di S1.
Esercizio 6.11.31. Sia X = { 1
n+1 : n ∈ N} ∪ {0} con la topologia indotta da R. Esso `e una successio-ne convergente a zero. Sia Y = {0, 1} con la topologia discreta. Sia f la funziosuccessio-ne che vale 1 in zero e 0 altrove. Sia fnla funzione che vale 1 per x > 1/n e 0 altrove. Dimostrare che fn → f per la topologia compatto-aperta. Dimostrare che fnnon converge uniformemente a f .
Esercizio 6.11.32. Sia X uno spazio topologico e Y uno spazio metrico. Sia fn : X → Y una successione di funzioni continue. Dimostrare che se fn→ f uniformemente allora f `e continua.
Esercizio 6.11.33. Siano X, Y spazi topologici e sia fn : X → Y una successione di funzioni che converge a f nella topologia compatto-aperta. Dimostrare che per ogni x ∈ X si ha fn(x) → f (x).
Esercizio 6.11.34. Sia G un gruppo che agisce su X. Dimostrare che se y = gx allora stab(y) = g stab(x)g−1.
Esercizio 6.11.35. Su S2
facciamo agire G = Z/6Z via rotazioni di angolo 2π/6 attorno all’asse Z. Si dimostri che il quoziente `e una variet`a topologica.
Esercizio 6.11.36. Sia G ≤ omeo(R2) il gruppo generato da una rotazione di angolo π/3 e da un’omotetia di ragione 2. Si determini il quoziente (R2\ {0})/G .
Esercizio 6.11.37. Sia G ≤ omeo(R2) il gruppo generato dalle riflessioni rispetto all’asse X e rispetto alla retta y = 2x. Si dica se R2/G `e T2.
Esercizio 6.11.38. Sia G ≤ omeo(R2) il gruppo generato dalle riflessioni rispetto all’asse X e rispetto alla retta y = 2x. Sia S1
⊆ R2. Si determini S1/G. Esercizio 6.11.39. Dimostrare che R/Z `e omeomorfo a S1
. Dimostrare che R2
/Z2 `e omeomorfo al toro T2
. Dimostrare che Rn
/Zn `e omeomorfo a Tn.
Esempio 6.11.40. Consideriamo l’azione di SO(2) in R3per rotazioni orizzontali, i.e. per ogni A ∈ SO(2)sia A(x, y, z) = (A(x, y), z). Si dimostri che il quoziente S2/SO(2) `e uno spazio di Hausdorff. Si dica se `e omeomorfo a un segmento.
Esercizio 6.11.41. In C2 consideriamo l’azione di S1 data per moltiplicazione su entrambe le coordinate: θ(z, w) = (θz, θw). Si dica se C2/S1 `e T2.
150 6. TOPOLOGIA DAL VIVO
Esercizio 6.11.42. In R3
consideriamo l’azione per isometrie di SO(3). Si dica se R3/SO(3)`e T2. Esercizio 6.11.43. Dimostrare che gli spazi degli Esempi 2.2.10 e 6.5.34 sono omeomorfi tra loro. Esempio 6.11.44. Sia S3= {x + iy + jz + kt : x2+ y2+ z2+ t2= 1}la sfera unitaria dei quaternioni, con la struttura di gruppo indotta. Sia S2= {p ∈ S3: <(p) = 0} = {iy + jz + kt : y2+ z2+ t2= 1}. Dimostrare che l’azione per coniugio di S3su s´e stesso preserva S2. Determinare gli stabilizzatori di tale azione, dedurne che S2= S3/S1. Confrontare questa costruzione con la fibrazione di Hopf.
Esercizio 6.11.45. Sia f (z) = 1/z definita su C∪{∞}. Sia Rαuna retta a distanza α > 0 dall’origine. Dimostrare che esiste z0 ∈ C di modulo uno tale che Rα = {λz0+ iαz0 : λ ∈ R}. Dimostrare che f (Rα)`e il cerchio di centro −i¯z0/2αe raggio 1/2α. (Suggerimento: Per z ∈ Rαcalcolare la distanza tra f (z) e il centro del cerchio).
Esercizio 6.11.46. Sia f (z) = 1/z definita su C ∪ {∞}. Dimostrare che per ogni z0 ∈ C e R 6= |z0|, f manda il cerchio di centro z0e raggio R nel cerchio di centro ¯z0/(|z0|2− R2)e raggio R/||z0|2− R2|. (Suggerimento: calcolare la distanza tra f (z) e il centro del cerchio immagine, ricordando che R = |z − z0| se z sta nel cerchio di partenza).
Esercizio 6.11.47. In R2sia X = {|x| ≥ 1} ∩ {|y| ≥ 1}. Dimostrare che la chiusura proiettiva e la compattificazione di Alexandroff di X non sono omeomorfe.
Esercizio 6.11.48. In R2sia X = {|x| > 1} ∩ {|y| > 1}. Dimostrare che la chiusura proiettiva e la compattificazione di Alexandroff di Xcnon sono omeomorfe.
Esercizio 6.11.49. Dimostrare che i quattro spazi degli Esercizi 6.11.47 e 6.11.48 sono tutti diversi tra loro.
Esercizio 6.11.50. Sia X = {xy ≥ 0}. Si dica se la compattificazione di Alexandroff e la chiusura proiettiva di X sono omeomorfe.
Esercizio 6.11.51. Si dica se i sei spazi degli Esercizi 6.11.47, 6.11.48, e 6.11.50 son tutti diversi tra loro.
Esercizio 6.11.52. In R2sia X = {(x, 2nx2
), x ∈ R, n ∈ Z}. Si determinino la chiusura proiettiva e la compattificazione di Alexandroff di X. Si dica se sono connesse e/o localmente connesse per archi. Esercizio 6.11.53. Dimostrare che la chiusura proiettiva di un’iperbole qualsiasi e quella di una parabola qualsiasi sono sempre omeomorfe a un’ellisse.
Esercizio 6.11.54. Sia A = {xy < 1} ⊆ R2. Dimostrare che la chiusura proiettiva di A `e omeomorfa a un nastro di Moebius.
Esercizio 6.11.55. Sia B = {xy > 1} ⊆ R2. Dimostrare che la chiusura proiettiva di B `e omeomorfa a una palla chiusa.
Esercizio 6.11.56. Sia C = B(0, 1) ⊆ R2. Dimostrare che la chiusura proiettiva del complementare di C `e omeomorfa a un nastro di Moebius.
Esercizio 6.11.57. Sia D = {y > x2}. Dimostrare che la chiusura proiettiva di C `e omeomorfa a un disco e che la chiusura proiettiva di Dc `e omeomorfa a un nastro di Moebius.
Esercizio 6.11.58. Dimostrare che date due quadruple di rette distinte e passanti per l’origine in R2, esiste un diffeomorfismo di R2 che manda le une nelle altre se e solo se i birapporti delle due quadruple (come punti di RP1) coincidono.
CAPITOLO 7