Costruzioni con spazi topologici
Teorema 2.3.19. Sia X un grafo simpliciale finito. Allora X `e omeomorfo a un sottoinsieme di R n
(Euclideo) i cui lati siano segmenti Euclidei.
DIMOSTRAZIONE. Siccome X `e finito, ha un numero finito di vertici v1, . . . , vn, che identifichia-mo con gli elementi della base canonica di Rn. Se L `e un lato tra vi e vj esso `e identificato al seg-mento che congiunge ei, ei. Siccome X `e simpliciale ci `o definisce un omeomorfismo di X con un
sottoinsieme di Rncome richiesto.
Esercizio 2.3.20. Dimostrare che in un grafo ogni punto ha un intorno omeomorfo al cono su un insieme discreto.
2.4. Esercizi
Esercizio 2.4.1. Sia τ la topologia discreta su R e σ quella banale. Chi sono gli aperti di τ × σ? Esercizio 2.4.2. Sia τ la topologia dell’ordine lessicografico su R2
. Su R siano σ la topologia discreta ed ε quella Euclidea. Si dimostri che τ = σ × ε.
Esercizio 2.4.3. Siano (X, d) e (Y, δ) due spazi metrici e sia D((x, y), (x0, y0)) = max(d(x, x0), δ(y, y0)) Verificare che D sia una metrica su X × Y . Dimostrare che la topologia indotta da D su X × Y `e il prodotto delle topologie τdsu X e τδsu Y .
Esercizio 2.4.4. Si dimostri che S1× [0, 1] `e omeomorfo a {(x, y) ∈ R2: 1 ≤ x2+ y2≤ 4}. Esercizio 2.4.5. Si dimostri che [0, 1] × D2`e omeomorfo a D3.
Esercizio 2.4.6. Si dimostri che [0, 1]3`e omeomorfo a D3.
Esercizio 2.4.7. Si dimostri che S2× [0, 1] `e omeomorfo a {(x, y, z) ∈ R3: 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4}. Esercizio 2.4.8. Si dimostri che S2× D2
non `e omeomorfo a {(x, y, z) ∈ R3: 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4}. Esercizio 2.4.9. Si dimostri che T2× S1 `e omeomorfo a T3.
64 2. COSTRUZIONI CON SPAZI TOPOLOGICI
Esercizio 2.4.11. Sia X uno spazio topologico e sia x ∈ X. Siano U1, U2intorni aperti di x tali che esistano aperti V1, V2di Rn
+ = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : x1 ≥ 0} e omeomorfismi fi : Ui → Vi, i = 1, 2. Dimostrare che se f1(x)appartiene al piano {x1= 0}allora anche f2(x)vi appartiene. (Suggerimento: usare il teorema dell’invarianza del dominio).
Esercizio 2.4.12. Sia X = {(x, y) ∈ R2: xy = 0}. Dimostrare che X × R non `e omeomorfo a R2. Esercizio 2.4.13. Siano (X, τ ) e (Y, σ) due spazi topologici. Siano η1e η2due topologie su X ×Y che rendono continue le proiezioni naturali πXe πY. Si dimostri che η1∩ η2rende continue le proiezioni naturali. Se ne deduca che la Definizione 2.1.1 `e ben posta.
Esercizio 2.4.14. Sia X uno spazio topologico e sia I un insieme. Dimostrare che la topologia prodotto su XI `e la topologia K-aperta se K `e la famiglia dei singoletti di I.
Esercizio 2.4.15. Generalizzare il Teorema 2.1.6 al caso di prodotti infiniti. Cio`e dimostrare che il prodotto di una famiglia qualsiasi di spazi T2 `e T2e viceversa (se son tutti non vuoti).
Esercizio 2.4.16. Dimostrare che il prodotto di una quantit`a numerabile di spazi a base numerabile ha base numerabile.
Esercizio 2.4.17. Sia X = R la retta di Sorgenfrey (Esempio 1.2.14) e sia Y = X × X dotato della topologia prodotto (Y si chiama anche piano di Sorgenfrey). Dimostrare che Y `e T2e separabile. Sia Z = {(x, y) ∈ Y : y = −x}. Dimostrare che Z, dotato della topologia indotta da Y , non `e separabile. Che spazio `e Z?
Esercizio 2.4.18. Dimostrare che il prodotto di due spazi separabili `e separabile. Ci `o rimane vero per prodotti infiniti? (Quest’ultima domanda `e tutt’altro che banale).
Esercizio 2.4.19. Sia (Xi, τi)una famiglia finita di spazi topologici e sia X il loro prodotto, dotato della topologia prodotto τ = Πiτi. Dimostrare che se ogni τi `e la topologia discreta su Xiallora τ `e la topologia discreta su X. Ci `o rimane vero per prodotti infiniti?
Esercizio 2.4.20. Siano X, Y spazi topologici non vuoti. Dimostrare che se X × Y ha la topologia cofinita allora almeno uno tra X e Y ha cardinalit`a finita.
Esercizio 2.4.21. Siano X, Y spazi topologici con almeno due punti ciascuno. Dimostrare che se X × Y ha la topologia cofinita allora entrambi X e Y hanno cardinalit`a finita.
Esercizio 2.4.22. Sia ∼ una relazione d’equivalenza su un insieme X e siano A, B ⊆ X. Dimostrare che se A ⊆ B allora sat(A) ⊆ sat(B).
Esercizio 2.4.23. Sia ∼ una relazione d’equivalenza su uno spazio topologico separabile X. Dimo-strare che X/ ∼ `e separabile.
Esercizio 2.4.24. Dimostrare che nell’Esempio 2.2.11 la successione xn= [n +n1]non converge a z. Esercizio 2.4.25. Dimostrare che nell’Esempio 2.2.11 la proiezione π : R → R/Z non `e aperta. Esercizio 2.4.26. Sia X = [0, 2π] × [−1, 1] e sia ∼ la relazione d’equivalenza generata da (0, t) ∼ (2π, −t)per ogni t ∈ [−1, 1]. Lo spazio quoziente `e il nastro di Moebius. Chi `e il saturato di [0, 2π] × {1}? Chi `e il saturato di {0} × [−1, 0]? Se S1
= {z ∈ C : |z| = 1}, la funzione f : S1→ X/ ∼ data da f (z) = (arg(z), −1) `e ben definita e continua? E f (z) = (arg(z), 0)?
Esercizio 2.4.27. Siano X = R2, A = B(O, 1), Y = X/A e sia y0= [A]. Si dimostri che il comple-mentare di y0 `e chiuso. Si dimostri che y0non `e chiuso e se ne calcoli la chiusura. Si dimostri che Y non `e T2.
Esercizio 2.4.28. Siano X = R2, A = B(O, 1), Y = X/A e sia y0= [A]. Si dimostri che y0`e chiuso. Si dimostri che y0non `e aperto e se ne calcoli la parte interna. Si dimostri che Y `e omeomorfo a R2.
2.4. ESERCIZI 65
Esercizio 2.4.29. Si dimostri che [0, 1]/{0, 1} `e omeomorfo a S1.
Esercizio 2.4.30. Sia X = [0, 1] × [0, 1] e sia A = {0} × [0, 1] dimostrare che X/A `e omeomorfo a un triangolo. Dimostrare che X/A `e omeomorfo a X.
Esercizio 2.4.31. Sia X = [0, 1] × [0, 1] e sia ∼ la relazione generata da (x, 0) ∼ (x, 1). Dimostrare che X/ ∼ `e omeomorfo al cilindro S1× [0, 1].
Esercizio 2.4.32. Sia X = S1× [0, 1] un cilindro e sia A = S1 × {0}. Dimostrare che X/A `e omeomorfo a D2
= B(0, 1) ⊂ R2. Esercizio 2.4.33. Sia X = D2
⊂ R2 sia A = S1 = ∂D2. Dimostrare che X/A `e omeomorfo a S2
= {x ∈ R3: ||x|| = 1}.
Esercizio 2.4.34. Dimostrare che per ogni n il cono su Sn `e Dn+1.
Esercizio 2.4.35. Sia X = {a, b, c} con la topologia discreta e sia Y il sottospazio di R2 corrispon-dente al simbolo ipsilon (carattere maiuscolo, senza grazie). Dimostrare che il cono su X `e omeomorfo a Y .
Esercizio 2.4.36. Siano A, B due grafi. Si dimostri che se A × B `e una variet`a topologica allora ogni vertice di A e B ha valenza esattamente due.
Esercizio 2.4.37. Si dica se il nastro di Moebius `e una variet`a topologica (con bordo, se si considera il nastro chiuso).
Esercizio 2.4.38. Si dica se RPn `e una variet`a topologica. Esercizio 2.4.39. Si dica se CPn `e una variet`a topologica.
Esercizio 2.4.40. Si dimostri che due variet`a topologiche omeomorfe hanno la stessa dimensione. Esercizio 2.4.41. Si dimostri che se un grafo `e localmente numerabile allora `e localmente finito. Esercizio 2.4.42. Sia X = S1
con la topologia discreta. Si dica se il cono su X `e omeomorfo a R2
con la topologia indotta dalla metrica dei raggi, o a un suo sottoinsieme.
Esercizio 2.4.43. In R2con la metrica dei raggi, sia X la palla unitaria chiusa centrata nell’origine. Dimostrare che X, con la topologia indotta dalla metrica dei raggi, non `e un grafo topologico.
Esercizio 2.4.44. Dimostrare che se X e Y sono omeomorfi, allora i loro coni lo sono.
Esercizio 2.4.45. Sia X = S1× [0, 1] un cilindro e sia ∼ la relazione generata da (x, 0) ∼ (x, 1). Dimostrare che X/ ∼ `e omeomorfo a T2.
Esercizio 2.4.46. Sia X = S1× [0, 1] un cilindro e sia ∼ la relazione generata da (x, 0) ∼ (−x, 1). Dimostrare che X/ ∼ `e omeomorfo a T2.
Esercizio 2.4.47. Sia C il cerchio di centro (2, 0) e raggio 1 nel piano Y Z di R3
: C = {(0, y, z) ∈ R2: ||(y, z) − (2, 0)|| = 1} e sia T la superficie di rotazione di R3ottenuta ruotando C attorno all’asse Z. Dimostare che T `e omeomorfo a T2. Siano A il cerchio pi `u interno di T e B quello pi `u esterno:
A = {(x, y, 0) : x2+ y2= 1} B = {(x, y, 0) : x2+ y2= 9} Dimostrare che T /A, T /B, T /C sono tutti omeomorfi tra loro.
Esercizio 2.4.48. Sia X un n-pode regolare in R2. In coordinate polari X = {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, θ =
2kπ
n , k = 1, . . . , n}. Sia f la rotazione di angolo 2πn e sia Tf il toro di sospensione di f . Consideriamo ora S1
= {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 = 1}. Sia A = S1× [0, 1] e sia ∼ la relazione d’equivalenza su A generata da (x, 1) ∼ (f (x), 1). Dimostrare che A/ ∼ `e omeomorfo a Tf.
66 2. COSTRUZIONI CON SPAZI TOPOLOGICI
Esercizio 2.4.49. Sia X = [0, 1] × [0, 1] e consideriamo i seguenti quattro quozienti, dati dall’iden-tificazione dei lati di bordo secondo le frecce disegnate.
A B C D
Dimostrare che A `e omeomorfo al toro T2, B alla Bottiglia di Klein, C al piano proiettivo, D alla sfera S2.
Esercizio 2.4.50. Dimostrare, usando solo gli strumenti sviluppati sinora, che la bottiglia di Klein `e ottenuta incollando due nastri di Moebius lungo i bordi.
Esercizio 2.4.51. Sia ∼ la relazione su R2
generata da x ∼ 2x. Si dica se R2/ ∼ `e localmente numerabile, a base numerabile, T2.
Esercizio 2.4.52. In R2sia X l’immagine di (0, ∞) tramite f (t) = e−1/t2(cos(t + 1/t), sin(t + 1/t)). Si dica se Xc `e una variet`a topologica.
Esercizio 2.4.53. In R2sia X l’immagine di (0, ∞) tramite f (t) = e−1/t2(cos(t + 1/t), sin(t + 1/t)). Si dica se R2/X `e una variet`a topologica.
Esercizio 2.4.54. In R2sia ∼ la relazione di equivalenza generata da (x, y) ∼ (x0, y0)se y/ex = y0/ex0(equivalentemente (x, y) ∼ (x0, yex0−x)). Descrivere le classi di equivalenza.
Esercizio 2.4.55. In R2sia ∼ la relazione di equivalenza generata da (x, y) ∼ (x0, y0)se y/ex = y0/ex0. Si dica se R2/ ∼`e T2.
Esercizio 2.4.56. In R2sia ∼ la relazione di equivalenza generata da (x, y) ∼ (x0, y0)se y/ex = y0/ex0
. Si dimostri che R2/ ∼`e omeomorfo a R.
Esercizio 2.4.57. In R2sia ∼ la relazione d’equivalenza generata da (x, y) ∼ (x + 1, y). Dimostrare che R2/ ∼`e omeomorfo a S1× R.
Esercizio 2.4.58. In R2sia ∼ la relazione di equivalenza generata da (x, y) ∼ (x0, y0)se y/ex = y0/ex0e da (x, y) ∼ (x + 1, y). Si dimostri che R2/ ∼non `e T2.
Esercizio 2.4.59. Su R2sia ∼ la relazione d’equivalenza generata da (x, y) ∼ (x+1, 2y). Si dimostri che R2/ ∼`e omeomorfo a S1
× R.
Esercizio 2.4.60. In R si consideri la relazione di equivalenza generata da x ∼ 2x. Sia X = (−∞, 1) ∪ {0} ∪ (1, ∞) con la topologia indotta da R. Sia ∼X la relazione di equivalenza indotta da ∼ su X. Si dica se l’immagine di X in R/ ∼ `e omeomorfa a X/ ∼X.
CAPITOLO 3
Compattezza
3.1. Ricoprimenti e compattezza
Definizione 3.1.1(Ricoprimenti). Sia X uno spazio topologico. Un ricoprimento di X `e una famiglia U = {Ui}i∈Idi sottoinsiemi di X tali che
∪i∈IUi= X.
Il ricoprimento si dice aperto se tutti gli Uisono aperti. Si dice chiuso se tutti gli Uilo sono.
Un sottoricoprimento di U `e un ricoprimento della forma {Ui}i∈J con J ⊆ I. Un raffinamento di U `e un ricoprimento V = {Vα}α∈Atale che
∀α ∈ A∃i ∈ I : Vα⊆ Ui.
Un ricoprimento si dice finito/numerabile se ha un numero finito/numerabile di elementi. Si dice localmente finito se per ogni x ∈ X esiste un intorno V di x tale che il numero degli Ui che intersecano V `e finito.
FIGURA1. Un ricoprimento di un sottoinsieme di R2tramite palle Euclidee
Esempio 3.1.2. Sia X uno spazio topologico. Allora {X} `e un ricoprimento (finito) di X.
Esempio 3.1.3. Sia (X, τ ) uno spazio topologico. Allora τ `e un ricoprimento aperto di X. Ogni ricoprimento aperto di X `e un sottoricoprimento di τ .
Esempio 3.1.4. Sia X uno spazio topologico T2con almeno due punti. Per ogni x ∈ X sia Ux = {x}c. Siccome in un T2i punti son chiusi, Ux `e aperto. Siccome X ha almeno due punti la famiglia {Ux}x∈X `e un ricoprimento aperto di X.
Esempio 3.1.5. Sia X uno spazio metrico e sia x ∈ X. La famiglia U = {B(x, r)}0<r∈R delle palle centrate in x `e un ricoprimento aperto di X. Anche la famiglia di tutte le palle unitarie V = {B(p, 1)}p∈Xlo `e. Inoltre, V `e un raffinamento di U.
Definizione 3.1.6. Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto di X