Costruzioni con spazi topologici
Teorema 3.5.27. Sia X uno spazio localmente compatto e sia Y una sua compattificazione T 2 . Allora b
Y = Y ∪ {∞}.
DIMOSTRAZIONE. Y `e compatto e quindi `e una compattificazione di Y . Siccome bX `e T2 anche Y lo `e. Siccome Y `e chiuso in X, se Y non `e compatto allora `e diverso da Y e quindi Y = Y ∪ {∞}. Quindi Y `e una compattificazione T2di Y in cui il complementare di Y `e un punto. Ergo Y = bY.
Esempio 3.5.25. Le compattificazioni di sottoinsiemi chiusi A ⊆ R2si possono fare in S2
= CP1. Un altro modo di fare le compattificazioni di Alexandroff di sottoinsiemi di Rn `e attraverso il seguente teorema.
Lemma 3.5.26. Sia X uno spazio localmente compatto e sia Y uno spazio T2. Allora ogni immersione topologica f : X → Y con immagine densa `e aperta.
DIMOSTRAZIONE. Siccome f `e un’immersione, X `e omeomorfo a f (X). Possiamo quindi limi-tarci al caso in cui X sia un sottospazio denso di Y e f sia l’inclusione naturale. Ogni aperto di X `e l’intersezione con X di un aperto di Y . Ci basta quindi dimostrare che X `e un aperto di Y .
Sia x ∈ X. Per locale compattezza, esistono un compatto K ⊆ X e un aperto U di X tali che x ∈ U ⊆ K. Inoltre esiste un aperto V di Y tale che U = V ∩ X. In particolare V ∩ X ⊆ K ⊆ X. Quindi U = V ∩ X = V ∩ X ∩ K = V ∩ K e da
(V ∩ X) t (V ∩ Xc) = V = (V ∩ K) t (V ∩ Kc) = U t (V ∩ Kc) = (V ∩ X) t (V ∩ Kc) si deduce che V ∩ Kc = V ∩ Xc⊆ Xc.
Siccome K `e compatto in un T2allora `e chiuso, per cui V ∩ Kc `e un aperto di Y contenuto in Xc. Siccome X `e denso il complementare ha parte interna vuota, dunque V ∩ Kc= ∅e V = V ∩ X = U `e
aperto in Y . Ne segue che ogni x ∈ X `e interno a X.
Teorema 3.5.27. Sia X uno spazio localmente compatto e sia Y una sua compattificazione T2. Allora b
3.6. ESERCIZI 81
DIMOSTRAZIONE. Siccome X si immerge in Y possiamo supporre X ⊆ Y = X. Per il Lem-ma 3.5.26 X `e aperto in Y . In particolare Xc = ∂X `e un chiuso. Ne segue che la proiezione al quoziente Y → Y /Xc `e chiusa (il saturato di un chiuso A `e A oppure A ∪ ∂X, quindi `e chiuso). Sic-come Y `e compatto, per il Corollario 3.1.26, Y /Xc `e un compatto T2. Chiaramente esso contiene una copia di X, il cui complementare `e un punto (la classe di Xc). Per il Teorema 3.5.20 bX = Y /Xc.
Corollario 3.5.28. Sia Y uno spazio T2. Sia X un sottoinsieme localmente compatto di Y . Se X `e compatto, allora la compattificazione di Alexandroff di X `e X/(X \ X).
DIMOSTRAZIONE. Segue dal Teorema 3.5.27 in quanto X `e una compattificazione T2di X. Esempio 3.5.29. Sia X = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2+ y2 < 4}. X `e una corona circolare aperta. Esso `e localmente compatto perch´e per ogni P ∈ X, per ε sufficientemente piccolo B(P, ε) ⊂ X `e un intorno compatto di P . Inoltre R2 `e T2. Quindi basta considerare la corona circolare chiusa X = {(x, y) ∈ R2: 1 ≤ x2+ y2≤ 4} e bX = X/∂X`e una sfera con due punti identificati.
3.6. Esercizi
Esercizio 3.6.1. Si dimostri che RPn `e compatto.
Esercizio 3.6.2. Dimostrare che R con la topologia di Zariski `e compatto per successioni. Esercizio 3.6.3. Si dimostri che R2con la metrica dei raggi non `e compatto.
Esercizio 3.6.4. Si dica se B (0, 0), 1 in R2con la metrica dei raggi `e compatto. Esercizio 3.6.5. Si dica se B (10, 10), 1 in R2con la metrica dei raggi `e compatto. Esercizio 3.6.6. Si dica se [0, 1]2
in R2dotato della metrica dei raggi `e compatto. Esercizio 3.6.7. Si dica se R2con la metrica dei raggi `e localmente compatto. Esercizio 3.6.8. Si dica se R2con la topologia dell’ordine lessicografico `e compatto.
Esercizio 3.6.9. Si dica se R2con la topologia dell’ordine lessicografico `e localmente compatto. Esercizio 3.6.10. Si dica se [0, 1]2con la topologia dell’ordine lessicografico `e compatto. Esercizio 3.6.11. [0, 1]2con la topologia dell’ordine lessicografico `e localmente compatto? Esercizio 3.6.12. Si dica se la topologia del punto particolare (Esercizio 1.1.11) `e compatta. Esercizio 3.6.13. Sia X uno spazio topologico e sia K ⊆ X un sottospazio compatto di X. Si dica se `e sempre vero che la chiusura di K in X `e compatta.
Esercizio 3.6.14. Sia X uno spazio compatto T2e sia A ⊆ X chiuso. Dimostrare che X/A `e T2. Esercizio 3.6.15. Siano K1, K2compatti di uno spazio T2. Dimostrare che K1∩ K2 `e compatto. Esercizio 3.6.16. `E sempre vero che intersezione di compatti `e compatto?
Esercizio 3.6.17. Sia X uno spazio T2e sia {Ki, i ∈ I}una famiglia di compatti di X. `E vero che ∩iKi `e compatto?
Esercizio 3.6.18. Si dica se un aperto di uno spazio localmente compatto `e sempre localmente compatto.
Esercizio 3.6.19. Si dica se un aperto di uno spazio T2e localmente compatto `e sempre localmente compatto.
82 3. COMPATTEZZA
Esercizio 3.6.20. `E vero che l’intersezione di due spazi localmente compatti `e localmente compat-ta?
Esercizio 3.6.21. Dimostrare che il prodotto di due spazi localmente compatti `e localmente com-patto.
Esercizio 3.6.22. Sia A = {2n
: n ∈ Z} e sia X = A × R ⊂ R2. (X `e una successione di rette verticali che si accumulano sull’asse Y .) Si dimostri che X `e localmente compatto.
Esercizio 3.6.23. Dimostrare che il quoziente di R2 per la relazione d’equivalenza generata da v ∼ 2v `e compatto.
Esercizio 3.6.24. In R2 sia ∼ la relazione d’equivalenza generata da (x, y) ∼ (2x, 2y) e (x, y) ∼ (x0, y). Si dica se R2/ ∼`e compatto. Detto P = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}si dica se P/ ∼ `e compatto. Si dimostri che R2/ ∼non `e una variet`a topologica. Si dimostri che P/ ∼ `e una variet`a topologica e se ne calcoli la dimensione.
Esercizio 3.6.25. Sia X un insieme e siano τ, σ due topologie T2e compatte su X. Dimostrare che se una `e pi `u fine dell’altra allora τ = σ.
Esercizio 3.6.26. Si dia un esempio di un insieme X con due topologie τ e σ, entrambe T2 e compatte ma tali che (X, τ ) non sia omeomorfo a (X, σ).
Esercizio 3.6.27. Si dimostri che sugli insiemi finiti la discreta `e l’unica topologia compatta e T2. Sugli insiemi finiti vi sono topologie non compatte?
Esercizio 3.6.28. Siano τ, σ due topologie su uno stesso insieme X. Supponiamo che τ ⊆ σ. Di-mostrare che se X `e compatto per σ allora `e compatto anche per τ . Fornire un esempio per cui il viceversa non vale.
Esercizio 3.6.29. Sia R con la topologia generata dagli intervalli del tipo [a, b). Si dica se [0, 1] `e compatto per tale topologia.
Esercizio 3.6.30. Sia X = R e sia {Kn} ⊂ P(R) una famiglia di chiusi tali che Kn+1⊆ Kn. `E vero che ∩nKn 6= ∅? Lo si dimostri o si fornisca un controesempio.
Esercizio 3.6.31. Ripercorrere la dimostrazione del Lemma 3.3.2 con X = R e An = [n, ∞)per vedere cosa va storto.
Esercizio 3.6.32. Provare a seguire passo passo la dimostrazione del Teorema 3.5.9 con Giuditta (Esempio 3.5.8) per vedere dove falla.
Esercizio 3.6.33. Sia Q = {(x, y) ∈ R2: |x|+|y| ≤ 1}e sia X = {(x, y) ∈ R2: |x|+|y| ≤ 1, x+y < 1} (Q `e un quadrato pieno e X `e Q meno un lato). Sia bX la compattificazione di Alexandroff di X. Si dimostri che X = Q `e omeomorfo a bX.
Esercizio 3.6.34. In R2consideriamo il seguente “orecchino hawaiano modificato” (si veda l’Esem-pio 3.5.5 per la definizione di M1): X = M1∪ (R × {0}) (cio`e M1pi `u l’asse delle ascisse). Si dica se X `e omeomorfo a M1, M2, M3o a nessuno di essi. Si dica se la sua compattificazione di Alexandroff `e omeomorfa a M1.
Esercizio 3.6.35. Si descrivano le compattificazioni degli orecchini hawaiani modello due e tre. Si dica se sono omeomorfe tra loro o no.
Esercizio 3.6.36. In R2sia X = {x2+ y2< 1}. Se ne determini la compattificazione di Alexandroff. Esercizio 3.6.37. In R2sia X = {x2+y2< 1}∪{(1, 0)}. Si studi la compattificazione di Alexandroff di X.
3.6. ESERCIZI 83
Esercizio 3.6.38. In R2sia X = {x2+ y2< 1} ∪ {x2+ y2= 1, y ≥ 0}. Si studi la compattificazione di Alexandroff di X.
Esercizio 3.6.39. In R2sia X = {x2+ y2< 1} ∪ {x2+ y2= 1, y > 0}. Si studi la compattificazione di Alexandroff di X.
Esercizio 3.6.40. Si dimostri che lo spazio R/Z dell’Esempio 2.2.11 non `e localmente compatto. Se ne deduca che non `e omeomorfo all’orecchino hawaiano.
Esercizio 3.6.41. Sia Cn = ∂B((0, 2n), 2n)la famiglia di cerchi usata per costruire l’orecchino ha-waiano. Sia M1 = ∪n<0Cne sia X = ∪n>0Cn. Sia f : M1 → X la funzione che manda Cn in C−n
tramite un’omotetia. Dimostrare che la restrizione di f a ogni Cn `e continua ma f non `e continua da M1a X. Di dimostri che l’inversa di f `e continua da X a M1.
Esercizio 3.6.42. In R2sia X l’immagine di (0, ∞) tramite f (t) = e−1/t2(cos(t + 1/t), sin(t + 1/t)). Si dimostri che la compattificazione di Alexandroff di X `e omeomorfa a S1. Se ne deduca che non `e omeomorfa a X.
Esercizio 3.6.43. Dimostrare che si pu `o ottenere una sfera come quoziente di un toro. Esercizio 3.6.44. Dimostrare che si pu `o ottenere un toro come quoziente di una sfera.
Esercizio 3.6.45. Si dimostri che ogni sottoinsieme aperto dell’insieme di Cantor `e localmente compatto.
Esercizio 3.6.46. `E vero che ogni sottoinsieme dell’insieme di Cantor `e localmente compatto? Esercizio 3.6.47. Si dica se la proiezione canonica R3
\ {0} → RP2`e propria.
Esercizio 3.6.48. Sia X = GL(2, R) lo spazio delle matrici reali 2 × 2 invertibili, con la topologia data dall’identificazione dello spazio delle matrici 2 × 2 con R4
. Si dimostri che la funzione f : X → R data da f (M ) = det(M ) `e continua. Se ne deduca che X non `e compatto.
Esercizio 3.6.49. Sia X = O(2) lo spazio delle matrici reali 2 × 2 ortogonali. Si dimostri che X `e compatto.
Esercizio 3.6.50. Sia X lo spazio delle isometrie di R2, con la topologia compatto-aperta (Esem-pio 1.2.20 ove K `e la famiglia dei compatti). Si dimostri che X non `e compatto.
Esercizio 3.6.51. Sia X lo spazio delle isometrie di R2, con la topologia compatto-aperta (Esem-pio 1.2.20 ove K `e la famiglia dei compatti). Si dimostri che l’applicazione ϕ : X → R2 data da ϕ(g) = g(0, 0)`e continua e propria.
Esercizio 3.6.52. Siano A, B ⊆ R compatti. Dimostrare che l’insieme AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B} `e un compatto di R.
Esercizio 3.6.53. Siano A, B ⊆ R2compatti. Dimostrare che l’insieme A−B = {a−b : a ∈ A, b ∈ B} `e un compatto di R2.
Esercizio 3.6.54. Siano A, B ⊆ R3compatti. Dimostrare che l’insieme S = {sin(||a||)b : a ∈ A, b ∈ B}`e un compatto di R3.
Esercizio 3.6.55. Sia X uno spazio T2e sia K ⊆ X un sottospazio localmente compatto. Dimostrare che K `e aperto in K.
Esercizio 3.6.56. Si fornisca un esempio di un sottoinsieme A di R2 Euclideo tale che A non sia aperto in A.
84 3. COMPATTEZZA
Esercizio 3.6.57. Sia D = {0, 1} dotato della topologia discreta. Consideriamo P(R) identificato con DR= {f : R → {0, 1}}, dotato della topologia prodotto. Sia K la famiglia dei sottoinsiemi al pi `u numerabili di R. Per ogni a ∈ R sia Ua = {A ∈ P(R) : a /∈ A}. Dimostrare che Ua `e aperto in DR. Dimostrare che U = {Ua}a∈Rricopre K. Dimostrare che U non ha sottoricoprimenti finiti e dedurne che K non `e compatto.
Esercizio 3.6.58. Sia K come nell’Esercizio 3.6.57. Sia (Xn)n∈Nuna successione in K. Dimostrare che esiste X tale che Xn→ X. Dedurne che K `e compatto per successioni. (Suggerimento: l’insieme S = ∪nXn `e al pi `u numerabile. A questo punto, interpretando gli Xn come funzioni fnche valgono zero fuori da S, e numerando S, si usi un argomento diagonale per trovare una sottosuccessione fnk
CAPITOLO 4
Connessione
4.1. Connessione
Definizione 4.1.1. Uno spazio topologico X si dice connesso se gli unici suoi sottoinsiemi