Spazi topologici
Lemma 1.7.49. Un’immersione topologica `e continua
DIMOSTRAZIONE. Sia f : X → Y un’immersione topologia e sia A ⊆ Y un aperto. Dobbiamo mostrare che f−1(A) `e aperto in X. Sia B = A ∩ f (X), esso `e un aperto di f (X) per la topologia indotta da Y su f (X). Siccome f `e un omeomorfismo tra X e f (X) allora f−1(B) `e aperto in X.
Chiaramente f−1(A) = f−1(B)per come `e definito B.
In altre parole un’immersione f da (X, τ ) in uno spazio topologico Y `e una funzione continua, iniettiva e tale che la topologia indotta da f su X coincida con τ .
Esempio 1.7.50. L’inclusione di R in R2con le topologie standard `e un’immersione. Esempio 1.7.51. Sia X = (−∞, π) con la topologia standard e sia
f (x) = (x, 0) x < −π π(cos x, sin x) x ∈ [−π, π) X f f (X) ) π −π f (−π) FIGURA5. La funzione f
La funzione f non `e un’immersione da X in R2standard perch´e gli intorni di −π con la topologia indotta contengono tutti insiemi del tipo (π − ε, π). Si noti che f `e continua e iniettiva, quindi `e una biiezione continua tra Y e la sua immagine.
Esempio 1.7.52. Sia f : R → R2
l’inclusione f (x) = (x, 0). Se R `e dotato della topologia Euclidea e R2di quella di Zariski, allora f `e continua e iniettiva, ma non `e un’immersione.
Teorema 1.7.53(Teorema dell’immersione aperta). Sia f : X → Y una funzione continua e iniettiva tra spazi topologici. Se f `e aperta allora `e un’immersione.
DIMOSTRAZIONE. Siccome f `e aperta f (X) `e un aperto di Y e chiaramente f `e una biiezione tra Xe f (X). In particolare, la topologia di X coincide con quella indotta da f e quindi X `e omeomorfo
a f (X) tramite f .
Esercizio 1.7.54 (Teorema dell’immersione chiusa). Dimostrare che se f : X → Y `e una funzione continua, iniettiva e chiusa tra spazi topologici, allora `e un’immersione.
4Vale la pena ricordare che spesso, e specialmente in topologia differenziale, il termine “immersione” si usa con una valen-za locale (l’iniettivit`a viene richiesta solo localmente). In inglese tale differenvalen-za `e resa esplicita attraverso i termini “embedding” e “immersion”.
48 1. SPAZI TOPOLOGICI
Definizione 1.7.55(Immersioni aperte/chiuse). Un’immersione topologica aperta si dice immer-sione aperta. Un’immerimmer-sione topologica chiusa si dice immerimmer-sione chiusa.
Visto che le immersioni sono parametrizzazioni di sottospazi topologici, le immersioni aperte corrispondono a sottospazi aperti, quelle chiuse a sottospazi chiusi.
Esempio 1.7.56. L’immersione R2
→ R3data da (x, y) → (x, y, 0) `e un’immersione chiusa. Esempio 1.7.57. L’immersione R2\ {0} → R2data da (x, y) → (x, y) `e un’immersione aperta. Esempio 1.7.58. L’immersione C∗→ C data da f(z) = 1/z `e un’immersione aperta.
Esempio 1.7.59. La funzione f (x, y) = (ex, ey)`e un’immersione aperta da R2→ R2.
1.8. Esercizi
Esercizio 1.8.1. In R Euclideo sia X = {x ∈ R : ∃0 6= n ∈ Z : |x − 1/n| < 1/n2}. Si dica se X `e aperto. Si dica se X `e chiuso. Si determini la frontiera di X.
Esercizio 1.8.2. In R Euclideo sia X = {x ∈ R : ∃0 6= n ∈ Z : |x − 1/n| < 1/2n}. Si dica se X `e aperto. Si dica se X `e chiuso. Si determini la frontiera di X.
Esercizio 1.8.3. Dimostrare che Q non `e n´e aperto n´e chiuso in R, che ¯Q = R e Int(Q) = ∅. Esercizio 1.8.4 (non banale). Si provi che i razionali ciccioni (Esempio 1.1.48) non sono tutto R. Esercizio 1.8.5. Sia X = {1/n : n ∈ N} ⊂ R. Si calcoli la chiusura di X e la sua frontiera. Esercizio 1.8.6. Sia X = {1/n : n ∈ N} ⊂ (0, ∞). Si calcoli la chiusura di X e la sua frontiera. Esercizio 1.8.7. In R2Euclideo sia X = {(x, 2nx2), x ∈ R, n ∈ Z}. Si determinino X e ∂X.
Esercizio 1.8.8. In R2Euclideo sia X = {x2+ y2≥ 1, y ≥ 0} ∪ {x2+ y2< 1, y < 0}. Si determinino parte interna, chiusura e frontiera di X.
Esercizio 1.8.9. Per n ∈ Z sia Cn il cerchio di R2 centrato nell’origine e di raggio 2n. Sia X = ∪n≥0Cn. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.10. Per n ∈ Z sia Cn il cerchio di R2centrato nell’origine e di raggio 2n. Sia X = ∪n≤0Cn. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.11. Per n ∈ Z sia Cn il cerchio di R2centrato nell’origine e di raggio 2n. Sia Y = ∪n∈ZCn e sia X = Yc il suo complementare. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.12. In R2Euclideo siano A = {(x, y) : sup(|x|, |y|) ≤ 1} e B = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}. Sia X = A \ B. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.13. In R2Euclideo siano A = {(x, y) : sup(|x|, |y|) ≤ 1} e B = {(x, y) : |x| + |y| < 1}. Sia X = A \ B. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.14. In R2Euclideo siano A = {(x, y) : sup(|x|, |y|) < 1} e B = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}. Sia X = A \ B. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.15. In R2Euclideo siano A = {(x, y) : sup(|x|, |y|) < 1} e B = {(x, y) : |x| + |y| < 1}. Sia X = A \ B. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.16. In R2Euclideo siano A = {(x, y) : x2+ (y − 1)2≤ 4} e B = {(x, y) : x2+ y2≤ 1}. Sia X = A \ B. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
1.8. ESERCIZI 49
Esercizio 1.8.17. In R2Euclideo siano A = {(x, y) : x2+ (y − 1)2≤ 4} e B = {(x, y) : x2+ y2< 1}. Sia X = A \ B. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.18. In R2Euclideo siano A = {(x, y) : x2+ (y − 1)2< 4}e B = {(x, y) : x2+ y2≤ 1}. Sia X = A \ B. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.19. In R2Euclideo siano A = {(x, y) : x2+ (y − 1)2< 4}e B = {(x, y) : x2+ y2< 1}. Sia X = A \ B. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.20. In R2Euclideo sia X = {(x, y) : x > 0 e 0 ≤ y ≤ sin x
x } Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.21. In R2 Euclideo sia X = {(x, y) : cos x ≤ y < sin x}. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.22. In R2 Euclideo sia X = {(x, y) : cos x ≤ y ≤ sin x}. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.23. In R2Euclideo sia X = {(x, y) : 1 ≤ y < sin x}. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.24. In R2Euclideo sia X = {(x, y) : 1 ≤ y ≤ sin x}. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.25. Sia f : (0, ∞) → R2la funzione f (t) = arctan t(cos t, sin t), sia G la sua immagine (G = {f (t), t ∈ (0, ∞)}) e sia X = Gc il suo complementare. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.26. Sia f : [0, ∞) → R2 la funzione f (t) = t(cos t, sin t), sia G la sua immagine (G = {f (t), t ∈ (0, ∞)}) e sia X = Gc il suo complementare. Si dica se X `e aperto e/o chiuso, si determinino X, ˚X, ∂X.
Esercizio 1.8.27. In R2
Euclideo sia X il grafico di f : (0, ∞) → R definita da f (x) = sin(1/x). Si dica se X `e aperto o chiuso, si determinino ¯X, ˚X e ∂X.
Esercizio 1.8.28. In R2
Euclideo sia X il complementare del grafico di f : (0, ∞) → R definita da f (x) = sin(1/x). Si dica se X `e aperto o chiuso, si determinino ¯X, ˚Xe ∂X.
Esercizio 1.8.29. In R2
Euclideo sia X il complementare della chiusura del grafico di f : (0, ∞) → R definita da f (x) = sin(1/x). Determinare ¯X, ˚X e ∂X.
Esercizio 1.8.30. In R2Euclideo, sia A = {(x, 0) : 1 < x < 2}. Dimostrare che A non `e n´e aperto n´e chiuso in R2.
Esercizio 1.8.31. In R2
Euclideo sia X la striscia verticale X = (1, 2) × R e sia A = {(x, 0) : 1 < x < 2}. Dimostare che A `e chiuso in X ma non `e aperto in X.
Esercizio 1.8.32. In R2
Euclideo sia X l’insieme X = (1, 2) × Z e sia A = {(x, 0) : 1 < x < 2}. Dimostrare che A `e aperto e chiuso in X.
Esercizio 1.8.33. Sia X uno spazio topologico e A ⊆ X. Dimostrare che ∂A `e un chiuso.
Esercizio 1.8.34. Sia X uno spazio topologico e siano A ⊆ B sottoinsiemi di X. Dimostrare che se A`e denso in X allora anche B lo `e. Si discuta la validit`a del viceversa.
Esercizio 1.8.35. Sia f : X → Y una funzione continua e suriettiva tra spazi topologici. Dimostrare che se A `e denso in X allora f (A) `e denso in Y .
50 1. SPAZI TOPOLOGICI
Esercizio 1.8.37. Descrivere gli aperti di R2per topologia indotta dall’ordine lessicografico. Esercizio 1.8.38. Descrivere gli aperti di R2per topologia indotta dall’ordine prodotto.
Esercizio 1.8.39. Sia X = R2con la metrica dei raggi. Sia A = {(x, 0) : x ∈ 1 < x < 2)}. Dimostrare che A `e aperto in X.
Esercizio 1.8.40. Sia X = R2con la metrica dei raggi. Sia A = {(x, 0) : x ∈ 1 < x < 2)}. Dimostrare che A non `e chiuso in X.
Esercizio 1.8.41. Sia X = R2con la metrica dei raggi e sia O l’origine. Dimostrare che l’insieme C = DEuclid(O, 1) \ {(x, 0) : 0 < x < 1}
`e chiuso. Dimostrare che l’insieme
C = DEuclid(O, 1) \ {(x, 0) : −1 < x < 1} non lo `e.
Esercizio 1.8.42. Sia τ la topologia su R2indotta dall’ordine lessicografico. Si descriva un sistema fondamentale di intorni dell’origine per τ . Si dica se τ e quella Euclidea sono una pi `u fine dell’altra. Si dica se esiste una metrica su R2che induce τ e nel caso se ne esibisca una.
Esercizio 1.8.43. Sia τ la topologia su R2 indotta dall’ordine prodotto. Si descriva un sistema fondamentale di intorni dell’origine per τ . Si dica se τ e quella Euclidea sono una pi `u fine dell’altra. Si dica se esiste una metrica su R2che induce τ e nel caso se ne esibisca una.
Esercizio 1.8.44. Dimostrare che l’insieme (−∞, 0] ∪ (53, ∞) con la topologia dell’ordine (indotto da R) `e omeomorfo a R Euclideo.
Esercizio 1.8.45. In R2 con la topologia di Zariski sia X = {xy > 0}. Si dica se X `e aperto. Si determini la chiusura di X.
Esercizio 1.8.46. In R2 con la topologia di Zariski sia X = {xy 6= 0}. Si dica se X `e aperto. Si determini la chiusura di X.
Esercizio 1.8.47. In R2con la topologia di Zariski sia X = {y − ex6= 0}. Si dica se X `e aperto. Si determini la chiusura di X.
Esercizio 1.8.48. Sia X = R con la topologia di Zariski. Sia {An, n ∈ N} una famiglia numerabile di chiusi ognuno dei quali diverso da X. Dimostrare che ∪nAn 6= X.
Esercizio 1.8.49. Sia X = R2con la topologia di Zariski. Sia {An, n ∈ N} una famiglia numerabile di chiusi ognuno dei quali diverso da X. Dimostrare che ∪nAn 6= X.
Esercizio 1.8.50. Sia X = R2 con la topologia Euclidea. Trovare una famiglia {An, n ∈ N} numerabile di chiusi ognuno dei quali diverso da X e tali che ∪nAn = X.
Esercizio 1.8.51. Trovare un insieme X con due topologie τ e σ. Con σ che non sia a base numera-bile ma τ pi `u fine di σ (e quindi con pi `u aperti) e a base numeranumera-bile.
Esercizio 1.8.52. Siano τ, σ due topologie su un insieme X tali che σ < τ . `E vero che se τ `e localmente numerabile allora anche σ lo `e? `E vero che se σ `e localmente numerabile allora anche τ lo `e?
Esercizio 1.8.53. Sia X un insieme, sia x ∈ X e sia τx la topologia del punto particolare (Eserci-zio 1.1.11). Si dimostri che x `e denso in X per τx. Se ne deduca che la topologia del punto particolare `e sempre separabile.
1.8. ESERCIZI 51
Esercizio 1.8.54. Sia τ la topologia dell’ordine lessicografico su R2 e sia X = [0, 1] × [0, 1] ⊆ R2. L’ordine lessicografico di R2induce l’ordine lessicografico su X. Sia σ la topologia dell’ordine lessicografico su X. Dimostrare che τ |X 6= σ.
Esercizio 1.8.55. Dimostrare che un sottospazio di uno spazio a base numerabile ha base numera-bile.
Esercizio 1.8.56. Dimostrare che un sottospazio di uno spazio di Hausdorff `e Hausdorff.
Esercizio 1.8.57. Siano σ, τ due topologie su un insieme X tali che σ ⊆ τ . Si dimostri che se σ `e T2
allora anche τ lo `e. `E vero il viceversa?
Esercizio 1.8.58. `E vero che un sottospazio di uno spazio separabile `e separabile?
Esercizio 1.8.59. Sia (X, τ ) uno spazio topologico, sia ∗ un nuovo punto e sia Y = X ∪ {∗} con la seguente topologia σ = {A ∪ {∗}, A ∈ τ } ∪ {∅}. Si dimostri che σ `e una topologia e che ∗ `e denso in Y. (Si noti che X potrebbe non essere separabile).
Esercizio 1.8.60. Siano (X, τ ) e (Y, σ) spazi topologici e sia B una base di τ . Dimostrare che una funzione f : X → Y `e aperta se e solo se per ogni B ∈ B si ha f (B) ∈ σ. (Si veda il Teorema 1.7.5).
Esercizio 1.8.61. Dimostrare che la topologia del limite destro su R (Esempio 1.2.14) `e localmente numerabile.
Esercizio 1.8.62. Dimostrare che la topologia del limite destro su R (Esempio 1.2.14) non ha una base numerabile. (Suggerimento: si consideri per assurdo una base numerabile e per ogni x si tenti di scrivere [x, ∞) come unione degli aperti di base).
Esercizio 1.8.63. Dimostrare che la topologia del limite destro su R (Esempio 1.2.14) `e separabile. Se ne deduca che non `e indotta da una metrica.
Esercizio 1.8.64. Sia X = R dotato della topologia del limite destro (Esempio 1.2.14) e sia Y = R Euclideo. Dimostrare che una funzione f : X → Y `e continua se e solo se `e continua da destra per la topologia Euclidea su X.
Esercizio 1.8.65. Sia X ⊆ R2(Euclideo) il grafico della funzione ex
e sia f : X → R la restrizione della proiezione R2→ R. Si dica se f `e aperta/chiusa.
Esercizio 1.8.66. Sia S1
⊆ R2(Euclideo) la circonferenza unitaria e sia f : S1
→ R la restrizione della proiezione R2
→ R. Si dica se f `e aperta/chiusa. Esercizio 1.8.67. La funzione f (x) = x2
`e chiusa da R in R (Euclidei)? Esercizio 1.8.68. Si dimostri che R e (0, 1) (Euclidei) sono omeomorfi.
Esercizio 1.8.69. Si dimostri che R2e {x2+ y2< 1}sono omeomorfi (topologie Euclidee). Esercizio 1.8.70. Q e R con le topologie standard sono omeomorfi?
Esercizio 1.8.71. Esiste una topologia su R che lo rende omeomorfo a Q?
Esercizio 1.8.72. Esiste una topologia su R che lo rende omeomorfo a R2Euclideo? Esercizio 1.8.73. Q e Z con le topologie standard sono omeomorfi?
Esercizio 1.8.74. Esiste una topologia su Q che lo rende omeomorfo a Z con la topologia standard? Esercizio 1.8.75. Siano τ e σ due topologie su X. Se τ `e meno fine di σ si dimostri che ogni successione σ-convergente `e anche τ -convergente.
Esercizio 1.8.76. Siano τ e σ due topologie su X e sia Y uno spazio topologico. Se τ `e meno fine di σ si dimostri che ogni funzione f : X → Y che sia τ -continua `e anche σ-continua.
52 1. SPAZI TOPOLOGICI
Esercizio 1.8.77. Siano τ e σ due topologie su X e sia Y uno spazio topologico. Se τ `e meno fine di σ si dimostri che ogni funzione f : Y → X che sia σ-continua `e anche τ -continua.
Esercizio 1.8.78. Su R sia τ la topologia generata dagli intervalli del tipo (a, b]. (1) Si descrivano gli aperti di τ . (2) Si dica se τ `e pi `u fine della topologia Euclidea. (3) Si dica se la topologia Euclidea `e pi `u fine di τ . (4) Si descrivano le successioni τ -convergenti. (5) Si caratterizzino le funzioni τ -continue.
Esercizio 1.8.79. In R2 Euclideo, dimostrare che un quadrato, un cerchio e un triangolo sono sempre omeomorfi tra loro (considerati come figure unidimensionali).
Esercizio 1.8.80. In R2 Euclideo, dimostrare che un quadrato, un cerchio e un triangolo sono sempre omeomorfi tra loro (considerati come figure bidimensionali).
Esercizio 1.8.81. In R2Euclideo, dimostrare che due poligoni qualsiasi sono omeomorfi. Esercizio 1.8.82. In R2Euclideo sia X l’immagine di (0, ∞) tramite la funzione
f (t) = e−1/t2(cos(t + 1/t), sin(t + 1/t)).
Si dica se X `e omeomorfo a R Euclideo. Si dica se la chiusura di X `e omeomorfa a R Euclideo. Esercizio 1.8.83. Sia X = R2dotato della topologia delle palle annidate (Esempio 1.1.10). Dimo-strare che la funzione f : X → X data da f (x) = 2x `e un omeomorfismo.
Esercizio 1.8.84. Sia X = R2 dotato della topologia delle palle annidate (Esempio 1.1.10) e sia Y = R2Euclideo. Dimostrare che la funzione f : Y → X data da f (x) = 2x `e continua, biunivoca, ma non `e un omeomorfismo.
Esercizio 1.8.85. Sia X = R2, sia O l’origine e sia τ = {B(O, 2−n), n ∈ N} ∪ {∅, X}. Dimostrare che τ `e una topologia.
Esercizio 1.8.86. Sia X = R2e τ come nell’Esercizio 1.8.85. Dimostrare che f : X → X definita da f (x) = 2x`e continua e biunivoca, ma non `e un omeomorfismo.
Esercizio 1.8.87. Si esibisca uno spazio topologico X tale che esista un punto x ∈ X tale che nessuna successione non costante possa convergere a x.
Esercizio 1.8.88. Si esibisca uno spazio topologico X, con la propriet`a che i punti non siano aperti, tale che esista un punto x ∈ X tale che nessuna successione non costante possa convergere a x.
Esercizio 1.8.89. Sia (X, <) un insieme ben ordinato e sia x ∈ X. Sia τ = {[t, x], t < x} ∪ {∅, X}. Si dimostri che τ `e una topologia su X. La si confronti con la topologia dell’ordine.
Esercizio 1.8.90. Sia X = [0, 1], sia x = 1 e sia τ definita come nell’esercizio 1.8.89. Si dica se τ `e una topologia.
Esercizio 1.8.91. Sia X = N, sia x = 51 e sia τ come nell’esercizio 1.8.89. Si dica se τ `e T2. Si dica se τ soddisfa gli assiomi di numerabilit`a.
Esercizio 1.8.92. Sia X un insieme ben ordinato avente un elemento massimale x. Sia τ come nell’esercizio 1.8.89. Si dica se i punti di X sono aperti.
Esercizio 1.8.93. Sia X un insieme ben ordinato avente un elemento massimale x. Sia τ come nell’esercizio 1.8.89. Si discuta l’esistenza di successioni convergenti a x.
Esercizio 1.8.94. Sia X = ω1+ 1 = ω1∪ {ω1} e sia x = ω1il suo massimo. Sia τ come nell’eserci-zio 1.8.89. Si discutano le propriet`a di τ .
CAPITOLO 2